Задание исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: 29.; Задание 4 - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Задание исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость: 29.; Задание 4 - страница №1/1




ЗАДАНИЕ 3.

Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:



29. ;

ЗАДАНИЕ 4.

Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :



29. б)

ЗАДАНИЕ 5.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:



29) 30)

ЗАДАНИЕ 6.
Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :



Образцы решения и оформления задач

Вариант 0

ЗАДАНИЕ 1.

Найти сумму ряда:



а); б)

Решение.

а);

1. Разложим на множители знаменатель дроби:









2. Разложим дробь на сумму двух простых дробей:





3. Найдем сумму n первых членов ряда:




4. Предел частичной суммы при n→∞ существует



и равен сумме ряда

Ответ: S=1/3

б)

Решение.Разложим дробь на сумму трех дробей







Отсюда A=1/2, В=-1, С=1/2


  1. Найдем сумму n первых членов ряда




  1. Предел частичной суммы при n→∞ существу

2.Исследовать ряды на сходимость:

а) b) c) d)
Решение.

а)

Найдем предел общего члена данного ряда an при неограниченном возрастании его номера n




Необходимый признак сходимости для этого ряда не выполняется. Поэтому данный ряд расходится

Ответ: ряд расходится по необходимому признаку


b)

Решение.

Исследуем по интегральному признаку сходимость этого ряда



Заменим в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной x и убедимся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем интервале изменения x.

Затем находим несобственный интеграл от f(x) с бесконечным верхним пределом




Несобственный интеграл сходится, поэтому согласно интегральному признаку и ряд сходится.

Ответ: ряд сходится по интегральному признаку

c)

Решение.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера.



Зная n-й член ряда an, находим следующий за ним (n+1)-й член, заменяя в выражении n-го члена n через n+1 :

Затем ищем предел отношения последующего члена an+1 к предыдущему an при неограниченном возрастании n:




Так как ρ>1, то согласно признаку Даламбера ряд расходится.

Ответ: ряд расходится по признаку Даламбера

d)

Решение.
Исследуем сходимость этого ряда по признаку сравнения .

Сравним данный ряд с эталонным рядом. Каждый член данного ряда , начиная с третьего, меньше соответствующего члена бесконечной геометрической прогрессии,

которая представляет сходящийся ряд, ибо ее знаменатель q=1/2<1.

Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.

Ответ: ряд сходится по признаку сравнения



ЗАДАНИЕ 3.

Исследовать ряды на условную и абсолютную сходимость:



a) b) c)

Решение.

a)

Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:




Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится.



Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или условно (неабсолютно), исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда:

Применим интегральный признак:




Несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с положительными членами. А данный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: ряд сходится условно.


b)

Решение.

Заменим члены данного знакопеременного ряда , где ∝-любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд с положительными членами:

Сравним его с геометрической бесконечно убывающей прогрессией , которая есть ряд сходящийся. Каждый член полученного ряда не превосходит соответствующего члена прогрессии:

Поэтому согласно признаку сравнения ряд с положительными членами также сходится, а заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Ответ: ряд сходится абсолютно

c)

Решение.

Для данного знакопеременного ряда не выполняется необходимое условие сходимости: не существует. Вследствие этого он расходится.

Ответ: ряд расходится




ЗАДАНИЕ 4.

Найти интервал сходимости ряда, исследовать его границы :



б)

Решение.


По известному члену ряда un заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1




Далее, используя признак Даламбера, ищем предел




И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство






Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится ( абсолютно), а при расходится.

Граничные точки x=±3 этого интервала, для которых ρ=1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.



При x=-3 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом . (Каждый член исследуемого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда.)

При x=3 получим числовой знакочередующийся ряд который сходится согласно признаку Лейбница.( Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю.)

Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал -3<x3.

Ответ: -3<x3.



б)

Решение.

Используем признак Даламбера:





Определим, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решим неравенство


Границы двух найденных интервалов исследуем особо.



При x=-3 получим знакочередующийся числовой ряд с общим членом , который сходится согласно признаку Лейбница.

При x=-1 получим гармонический расходящийся ряд .

Следовательно, область сходимости данного ряда состоит из двух бесконечных интервалов -∞<x<-3, -1<x<+∞.


Ответ: -∞<x<-3, -1<x<+∞

ЗАДАНИЕ 5.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001:

Решение.

Пользуясь рядом Маклорена для cosx,( приложение 2) заменяя в нем x на , имеем


Интегрируя в указанных пределах, получим




Пятый член этого знакочередующегося ряда меньше 0,0001. Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:



Ответ: 0,7635



ЗАДАНИЕ 6.

Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y’=f(x,y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y :






Решение.

Пусть искомый интеграл есть степенной ряд




где a0, a1,… an— неизвестные, подлежащие определению постоянные.

Допуская, что такой ряд существует и сходится в некотором интервале значений x, найдем ряд для его производной почленным дифференцированием


Ряд y2 найдем почленным умножением ряда (1) на себя



.

Функцию cosx также разложим в ряд по степеням x:


Подставляя эти ряды вместо y и y2 и cosx в заданное уравнение, получим:







Согласно начальному условию y(0)=a0=1.




Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, поскольку два ряда будут тождественно равны только при этом условии, получим следующую систему:




Найдем первые коэффициенты : a1=2, a2=-1/2, a3=-5/3, a4=-5/4, a5=13/12 и т.д.



Следовательно, искомый интеграл есть

Ответ:

Приложение 1



Таблица основных интегралов

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23.

24.

Приложение 2

Ряды Тейлора и Маклорена


Ряд Тейлора

Ряд Маклорена




Приложение 3

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций