Задача №3 а Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями, указанными в - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Курсовая работа по дисциплине «Уравнения в частных производных» 1 53.13kb.
Задача о получении максимальной прибыли 1 95.43kb.
Конспект открытого урока по химии в 9 классе Тема: «Обобщение и систематизация... 1 131.54kb.
Лекция Предмет философии 1 137.98kb.
Используя структуру данных бинарное дерево поиска решить следующую... 1 14.82kb.
Решение дифференциального уравнения Решить задачу Коши 1 91.8kb.
Дискретное программирование 1 48.87kb.
Урок Реферат. Алгоритм работы над ним для учащихся 9-11 классов (2ч. 1 172.86kb.
Задание. Расчет размерных цепей. Основные термины и определения 1 91.44kb.
Задача стоит сейчас перед родителями, учителями, психологами и логопедами. 1 46.3kb.
Задание Прочитайте текст и письменно переведите его на русский язык 1 58.75kb.
Е. Д. Роговой*, к т. н.; В. А. Левашов 1 55.38kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Задача №3 а Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями, указанными в - страница №1/1

ПРИЛОЖЕНИЕ К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Вариант № 6 –Акимова Алена Афанасьевна

Задача №3

а) Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями, указанными в варианте

б) Проверить ортогональность полученной системы собственных функций

в) Разложить функцию φ(x) в ряд по собственным функциям

г) Выписать и вычислить первые 4 ненулевых члена

y'-12=y'-6=0

φx=sinx, &x∈-3π,-2π0, &x∈-12,-3π∪-2π,-6

Решение:

y''+λy=0

Характеристическое уравнение имеет вид: r2+λ=0



  1. λ>0; λ=ω2

  2. r2+ω2=0 r=±ω

  3. y=c1cosωx+c2sinωx 1

  4. y'=-c1ωsinωx+c2ωcosωx

  5. y'-12=c1ωsin12ω+c2ωcos12ωy'-6=c1ωsin6ω+c2ωcos6ω 2

  6. ∆=ωsin12ωωcos12ωωsin6ωωcos6ω=ω2sin12ωcos6ω-ω2cos12ωsin6ω=ω212sin18ω+sin6ω-12sin18ω-sin6ω=12ω22sin6ω=ω2sin6ω=0

  7. 6ω=sin-10=πn, n=z

  8. ω=16πn



  9. λn=ωn2=π2n236, n=0,1,2,…



  10. Из 2:

  11. c1πn6sin12πn6+c2πn6cos12πn6=0

  12. c1πn6sin2πn+c2πn6cos2πn=0

  13. c2=0; c1=cn



  14. Из 1:

  15. yn=cncos16πnx, n=0,1,2,…

  16. λ=0; y"=0

  17. y'=c1y=c1x+c2 c1=0y=cn

  18. λ<0

  19. λ=-ω2

  20. r2-ω2=0

  21. r1,2=±ω

  22. y=c1eωx+c2 e-ωx

  23. y'=c1ωeωx-c2ωe-ωx

  24. 0=c1ωe-12ω-c2ωe12ω

  25. 0=c1ωe-6ω-c2ωe6ω

  26. ∆=e-12ωe-6ω -e12ω-e6ω=0

  27. -e-6ω+e6ω=0

  28. e12ω=0

  29. 12ω=0

  30. ω=0 -нет нетривиального решения (т.к. λ<0)

  31. m≠0

  32. Проверка собственных функций на ортогональность:

  33. -12-6ynymdx=-12-6cncmcos16πnxcos16πmxdx=

  34. =-12-6cncm12cos16πnx+16πmx+cos16πnx-16πmxdx=

  35. =12cncm-12-6cos16πxn+m+cos16πx(n-mdx=

  36. =12cncm6πn+msin16πx(n+m)+6πn-msin16πx(n-m)-12-6=

  37. =12cncm6πn+msin-πn+m+6πn-msin-πn-m-

  38. -6πn+msin-6πn+m+6πn-msin-6πn-m=

  39. =12cncm0+0-0-0=0

  40. -12-6y0yndx=-12-6cncos16πnxdx=cn6πnsinπnx6-12-6=cn6πnsin-πn-sin(-6πn)=

  41. =cn6πn0-0=0

  42. ч.т.д. система собственных функций ynx ортогональна.

  43. Согласно теореме Стеклова:

  44. φx=sinx, &x∈-3π,-2π0, &x∈-12,-3π∪-2π,-6

  45. cn=1yn2-12-6φxyn(x)dx

  46. yn2=-12-6yn2xdx=-12-6cn2cos2πnx6dx=-12-6 1+cosπnx32dx=

  47. =-12-612+12cosπnx3dx=12x-12-6+123πnsinπnx3-12-6=

  48. =-62+122+123πnsin-2πn-123πnsin-6πn=-3+6=3 n=0,1,2,...

  49. y02=-12-6y02dx=-6+12=6 (если y0=1 )

  50. c0=1y02abφxy0(x)dx

  51. c0=16-3π-2πsinxdx=-16cosx-3π-2π=-16cos-2π-cos(-3π)=-161-(-1)=-13

  52. cn=13-3π-2πsinxcosπnx6dx=

  53. =16-3π-2πsinx+πnx6dx+16-3π-2πsinx-πnx6dx=-1611+πn6cos1+πn6x-3π-2π-

  54. -1611-πn6cos1-πn6x-3π-2π=-16+πncos2π+π2n3-cos3π+π2n2-

  55. -16-πncos2π-π2n3-cos3π-π2n2=-16+πncosπ2n3+cosπ2n2-

  56. -16-πncosπ2n3+cosπ2n2=-6+πn-6-πn6+πn6-πncosπ2n3+cosπ2n2=

  57. =-1236-π2n2cosπ2n3+cosπ2n2=24π2n2-36cos5π2n12cosπ2n6

  58. φx=-13+n=1∞24π2n2-36cos5π2n12cosπ2n6cosπnx6

  59. Обозначим φnx=Cnyn(x)



  60. Выпишем первые 4 ненулевых члена

  61. n=0:

  62. φ0x=-13

  63. n=1:

  64. φ1x=24π2-36cos5π212cosπ26cosπx6

  65. n=2:

  66. φ2x=244π2-36cos5*2π212cos2π26cos2πx6=6π2-9cos5π26cosπ23cosπx3

  67. n=3:

  68. φ3x=249π2-36cos15π212cos3π26cos3πx6= 83π2-36cos5π24cosπ22cosπx2,



  69. φx≈φ0x+φ1x+φ2x+φ3x

  70. Задача № 4

  71. Теоретическая часть

  72. Вывод уравнения колебания струны

  73. Рассмотрим струну длины l

  74. Струной будем называть тонкую туго натянутую упругую нить.

  75. При построении математической модели колебаний струны будем рассматривать малые колебания, происходящие в одной и той же плоскости. Пусть в состоянии покоя струна расположена вдоль оси Ox на отрезке [0,l] и при колебании каждая точка перемещается перпендикулярно оси (поперечные колебания). Тогда отклонение любой точки струны в произвольный момент времени U есть функция U(x,t) (см. рис.1).

  76. Рис. 1

  77. Предположим, что натяжение столь велико, что силой тяжести и сопротивлением при изгибе можно пренебречь. Кроме того, в силу малости колебаний, будем пренебрегать также величинами высшего порядка малости по сравнению с производной Ux.



  78. Рис. 2

  79. Выделим малый участок струны (см. рис.2) и рассмотрим силы, действующие на него. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение Tx;t направлено по касательной к струне в точке x. Более того, в рамках наших предположений можно считать величину силы натяжения постоянной. В самом деле, длина любого участка струны

  80. L=ab1+Ux2dx≈b-a

  81. величиной Ux2 можно пренебречь. Следовательно, в соответствии с законом Гука.

  82. T(x;t)=T0

  83. Пусть ρ(x)- линейная плотность в точке x, а γ(x,t)- плотность внешних сил, действующих на струну в момент времени t, и направленных перпендикулярно Ox.

  84. Результирующая сила, действующая на участок струны [x,x+∆x] в направлении перпендикулярном оси OX, равна (см. рис. 2)



  85. При выводе этой формулы учитываем, что при малых колебаниях

  86. sin Θ1≈tg Θ1=Ux(x,t); sin Θ2≈tg Θ2=Ux(x+Δx,t).

  87. По второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе mw=F, где w=Utt, поэтому

  88. ρ∆xUtt=T0[Ux(x+∆x,t)-Ux(x,t)]+γ(x,t)∆x.

  89. Разделим обе части равенства на Δx и устремим Δx к нулю:

  90. ρxUtt=T0[Ux(x+ ∆x,t)-Ux(x,t)]/∆x+ γ(x,t).

  91. Получим:

  92. ρxUtt = ToUxx + γx,t 1*

  93. Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. Если струна однородная, то есть ρ(x)=const, то уравнение (1) обычно записывают в виде

  94. Utt=a2Uxx+fx,t, где a2=T0/ ρ ; f(x,t)= γ(x,t) / ρ.

  95. В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны

  96. Utt = a2Uxx 2*

  97. Уравнения 1* и 2* являются одномерными волновыми уравнениями (соответственно, неоднородным и однородным).







  98. Практическая часть

  99. Решить задачу о свободном колебании струны длины l м с заданными краевыми условиями U0,t=Ul,t=0, a=1 и начальными условиями Ux,0=φx; ∂U∂tx,0=ψ(x)

  100. Выписать и вычислить приближенное отклонение середины струны в момент времени t0 сек, используя для этого первые 3 ненулевых члена в разложении Ux,t в ряд.

  101. l=3π,t0=3 секунды, φx,0=0

  102. Построить графики приближенного отклонения точек струны

  103. а) в момент времени t0 (U≈U1+U2+U3)

  104. б) при x=l2, a t меняется 0≤t≤t0 l=3π t0=3 секунды φx=0

  105. ψx=π2, xϵπ,2π0, xϵ0,π∪2π,3π

  106. Решение:

  107. Уравнение свободных колебаний струны:

  108. ∂2u∂t2=∂2u∂x2

  109. Решение уравнения свободных колебаний струны представимо в виде:

  110. u=XxTt

  111. ux=X'xTt

  112. ut=XxT't

  113. uxx=X''xTt

  114. utt=XxT''t

  115. XxT''t=X''xTt

  116. T''(t)T(t)=X''(x)X(x)=-λ

  1. T''t+λTt=0

  2. X''x+λXx=0X0=0;Xl=0 Задача Штурма-Лиувилля

  3. X''x+λXx=0







  4. Характеристическое уравнение: r2+λ=0

  1. λ<0

  2. λ=-ω2

  3. X''-ω2X=0

  4. r2=ω2

  5. r1,2=±ω, ω≠0 - действительное число

  6. X00=c1eωx+c2e-ωx

  7. Краевые условия:

  8. X0=c1+c2Xl=c1eωl+c2e-ωl

  9. c1+c2=0c1eωl+c2e-ωl=0

  10. -c1=c2c2eωl-e-ωl=0

  11. c1=0c2=0 - нет нетривиальных решений

  12. eωl=e-ωlωl=-ωl

  13. 2ωl=0 - нет решений, т.к. ω≠0, l>0

  14. λ>0

  15. λ=ω2

  16. X''+ω2X=0

  17. r2=-ω2

  18. r1,2=±ωi ω≠0 - действительное число

  19. X00=c1cosωx+c2sinωx



  20. Краевые условия:



  21. X0=c1Xl=c1cosωl+c2sinωl

  22. c1=0c1cosωl+c2sinωl=0

  23. c1=0c2sinωl=0

  24. c1=0c2=0 -нет нетривиальных решений

  25. с1=0sinωl=0

  26. c1=0ωl=πn

  27. c1=0ωn=πnl, n=0,1,2,…

  28. λn=π2n2l2, n=1,2,3,… - собственные значения.

  29. xn=c1sinπnxl - собственные функции.

  30. λ=0

  31. X''=0

  32. X00=c1x+c2

  33. Краевые условия:

  34. X0=c2Xl=c1l+c2

  35. c1=0c1e+c2=0

  36. c1=0c2=0 - нет нетривиальных решений.

  1. T''+λnT=0

  2. r2=-λn

  3. r=±iλn=±iπnl

  4. T00=c1cosπntl+c2sinπntl



  5. Частные решения уравнений колебания:



  6. ux,t=sinπnxlancosπntl+bnsinπntl

  7. u=n=1∞un=n=1∞sinπnxlancosπntl+bnsinπntl



  8. Подставим начальные условия:



  9. ux,0=n=1∞ansinπnxl=φx=0

  10. an=0

  11. ut=n=1∞sinπnxl-anπnlsinπntl+bnπnllcosπntl

  12. utx,0=n=1∞bnπnlsinπnxl=ψ(x)

  13. bnπnl=2l0lψ(x)sinπnxldx

  14. bn=2πn03πφ(x)sinπnxldx=2πnπ2ππ2sinπnxldx=1nπ2πsinπnx3πdx=-1n3ncosnx3π2π=

  15. =3n2cosπn3-cos2πn3sinnx3sinnt3

  16. Выпишем 3 первых ненулевых члена ряда:



  17. u1x,t=3cosπ3-cos2π3sinx3sint3

  18. u2x,t=34cos2π3-cos4π3sin2x3sin2t3

  19. u3x,t=39cosπ-cos2πsinxsint

  20. ux;t≈u1x;t+u2x;t+u3(x;t)





  21. Найдём приближенное отклонение середины струны x0=3π2 в момент времени t0=3

  22. Вычислим первые 3 члена ряда, отличные от нуля:

  23. u13π2,3=312cosπ3-cos2π3 sinπ2 sin33=312+12*1*sin1=3*sin1=3*0,842=2,524



  24. u23π2,3=322cos2π3-cos4π3 sinπsin2=34-12+12*0*sin2=0

  25. u33π2,3=332cosπ-cos2πsinxsint=13-1-1*-1*sin3=23sin3=23*0,141=0,0941

  26. Выпишем еще один ненулевой член

  27. u53π2,3=352cos5π3-cos10π3 sin5π2sin5t3=32512+12*1*sin5=325*sin5=325*-0,9589=-0,1151

  28. u3π2,3≈u13π2,3+u33π2,3+u53π2,3

  29. u3π2,3≈3cosπ3-cos2π3sinx3sint3+39cosπ-cos2πsinxsint+325cos5π3-cos10π3 sin5x3sin5t3

  30. u3π2,3≈2,524+0.0941-0.1151=2,503

  31. u3π2,3≈3cosπ3-cos2π3sinx3sint3+13cosπ-cos2πsinxsint+325cos5π3-cos10π3 sin5x3sin5t3



  32. Построим график приближенного отклонения точек струны

  33. при х∈0;3π, t=t0, t0=3 секунды

  34. u3π2,3≈3cosπ3-cos2π3sinx3sin1+13cosπ-cos2πsinxsin3+325cos5π3-cos10π3 sin5x3sin5







  35. Построим график отклонения точек струны

  36. при t∈0;3, x=3π2

  37. u3π2,3≈3cosπ3-cos2π3sinπ2sint3+13cosπ-cos2πsin3π2sint+325cos5π3-cos10π3 sin5π2sin5t3







  38. Задача №5

  39. Вывод уравнения теплопроводности

  40. При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:

  41. 1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;

  42. 2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;

  43. 3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

  44. Рассмотрим часть стержня на отрезке [x,x+∆x] (см. рис. 3) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

  45. Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.



  46. Рис. 3

  47. Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на ∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где C - удельная теплоемкость материала ( = количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

  48. Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k - коэффициент теплопроводности материала ( = количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux<0. Следовательно, чтобы Q1 был положительным, в формуле стоит знак минус.

  49. Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q2=-kSUx(x +∆x,t)∆t.

  50. Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

  51. ∆Q = Q1 – Q2 => CpS∆x∆U=kSUx(x + ∆х, t)∆t-kSUx (x, t)∆t.

  52. Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆x и ∆t к нулю, то будем иметь:



  53. так как



  54. Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

  55. Ut=a2Uxx,

  56. где a=kCρ - коэффициент температуропроводности.

  57. В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

  58. Ut=a2Uxx +fx,t, где fx;t=1CρSq(x;t)

  59. Задача

  60. Решить задачу о распространении тепла в стержне для тонкого однородного стержня длины l=10м, боковая поверхность которого теплоизолирована. Определить функцию u(x;t) – температуру в произвольной точке x стержня в произвольный момент времени t в общем виде при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией ux0=fx. Вычислить приближенную температуру стержня в точке x0 в момент времени t0 взяв 3 первых ненулевых члена ряда.

  61. Построить график приближенного решения

  62. а) в момент времени t0

  63. б) при x=x0

  64. Условия задачи:

  65. Тип краевых условий в.

  66. Правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой температуре.

  67. fx=0, 0≤x T0=-400, T1=120

  68. x0=l3; t0=40мин=2400

  69. Материал – сталь a2=1,27*10-5

  70. Решение:

  71. Ищем решение уравнения теплопроводности

  72. u∂t=a2∂2u∂x2





  73. Начальные условия:

  74. ux;0=fx=0, 0≤x

  75. Краевые условия:

  76. u∂xx=l=ux=0=0

  77. Метод Фурье. Решение всей задачи будем искать в виде

  78. ux;t=XtT(t)

  79. Подставим его в исходное уравнение

  80. XxT't=a2X''xT(t)

  81. 1a2T'T=X''X=-λ , λ=const,

  82. Следовательно

  83. X''+λX=0T'+a2λT=0

  84. Решим задачу Штурма - Лиувилля:

  85. X''+λX=0, X0=X'l=0

  1. λ<0

  2. λ=-ω2

  3. X''+ω2X=0

  4. r2-ω2=0

  5. r1,2=± ω, ω≠0 – действительное число

  6. Xo.o.(x)=C1eωx+C2e-ωx

  7. Краевые условия:

  8. X'l=c1ωeωl-c2ωe-ωl=0X0=c1+c2=0

  9. c2=-c1c1ωeωl+e-ωl=0

  10. eωl-e-ωl≠0→ C1=C2=0

  11. Xx≡0

  12. u(x;t)≡0 – тривиальное решение.

  13. λ=0

  14. r1,2=0 – кратный корень

  15. X=c1+c2x

  16. Краевые условия:

  17. X'l=c2=0X0=c1=0

  18. Xx≡0

  19. u(x,t)≡0 – тривиальное решение.

  20. λ>0

  21. λ=ω2

  22. ω2+r2=0

  23. r1,2=±iω, ω≠0действительное число

  24. X=c1cosωx+c2sinωx

  25. Краевые условия:

  26. X'l=c2ωcosωl-c1ωsinωl=0X0=c1=0

  27. c1=0c2ωcosωl=0

  28. Если c1≠0=>cosωl=0

  29. ωl=π2+πn, n=0,1,2,…

  30. ω=π2n+12l, (n=0,1,2,…)

  31. Пусть c1=1, тогда

  32. Xnx=sinπ2n+12lx, λn=ω2=π2n+12l2, (n=0,1,2…)

  33. Этим же значениям λn соответствуют решения уравнения

  34. T'+a2λT=0, имеющие вид: Tnt=Cne-a2λnt

  35. Частные решения уравнения теплопроводности:

  36. unx;t=XnxTnt=Cne-a2π2n+12l2tsinπ2n+12lx

  37. Тогда,

  38. ux,t=n=0∞unx,t=n=0∞cne- a2π(2n+1)2l2tsinπ(2n+1)2lx

  39. Подставим начальные условия:

  40. ux,0=n=0∞cnsinπ2n+12l=fx=0, 0≤x≤l3T1x+T0, l3≤x≤l

  41. fx=n=0∞fnsinπ(2n+1)2lx

  42. Разлагаем fx в ряд по собственным функциям в Xn(x):

  43. cn=fn=2l01f(x)sinπ(2n+1)2lxdx=2ll3lT1x+T0sinπ(2n+1)2lxdx=

  44. =-4T1π(2n+1)xcosπ(2n+1)2lxl3l-l3lcosπ(2n+1)2lxdx-4T0π2n+1cosπ(2n+1)2lxl3l=

  45. =4T0+43T1lπ(2n+1)cosπ(2n+1)6+8T1lπ22n+12sinπ(2n+1)2lxl3l=

  46. =43T0+T1l3π2n+1cosπ(2n+1)6+8T1lπ22n+12sinπ(2n+1)2-sinπ(2n+1)6=

  47. =9600π22n+12-1n-sinπ(2n+1)6

  48. Общее решение:

  49. ux,t=n=0∞9600π22n+12-1n-sinπ(2n+1)6e-a2π2n+12l2tsinπ2n+12lx

  50. Выпишем первые 3 члена ряда отличные от нуля:

  51. u0x.t=9600π21-sinπ6e-a2π2l2tsinπ2lx=9600π212e-a2π2l2tsinπ2lx =4800π2e-a2π2l2t sinπ2lx

  52. u1x,t=96009π2-1-sinπ2e-a23π2l2tsin3π2lx=96009π2(-2)e-a23π2l2tsin3π2lx=

  53. =-64003π2e-a23π2l2tsin3π2lx

  54. u2x,t=960025π21-sin5π6e-a25π2l2tsin5π2lx=960025π212e-a25π2l2tsin5π2lx=

  55. =192π2e-a25π2l2tsin5π2lx

  56. Найдем приближенное значение температуры стержня в точке x0=l3 м в момент времени t0=2400 секунд.

  57. Вычислим 3 первых члена ряда, отличные от нуля:

  58. u0l3;2400=4800π2e-a2π2l22400sinπ2ll3=48009,8596e-1.27*10-5*π2l22400sinπ6=

  59. =486,84e-1.27*10-5*9,85966*12=243,42e-0.000020891≈243,42

  60. u1l3;2400=-64003π2e-a23π2l22400sin3π2ll3=-640029,58*e-1.27*10-5*3π2l22400*1=

  61. =-640029,58e-1.27*10-5*88.82646=-640029,58e-0.000188016≈-216,36

  62. u2l3;2400=192π2e-a25π2l22400sin5π2ll3=1929,8596e-1.27*10-5*5π2l22400sin5π6=

  63. =19,47*e-1.27*10-5*246,496*12=19,472e-1.27*10-5*41,0817=19,472e-0.000521737≈9,73

  64. ul3;2400≈u0l3;2400+u1l3;2400+u2l3;2400=36,79

  65. График зависимости величины отклонения u(x,t0) в момент времени t0=2400 секунд:

  66. ux,t0=n=0∞9600π22n+12-1n-sinπ(2n+1)6e-1.27*10-5*π2n+12022400sinπ2n+120x

  67. ux;t0≈u0x;t0+u1x;t0+u2x;t0

  68. Построим график в момент времени t0 для x ∈0;10, l=10 м,t0=2400 секунд



  69. U=4800π2e-a2π2l2*2400sinπ2lx-64003π2e-a23π2l2*2400sin3π2lx+192π2e-a25π2l2*2400sin5π2lx







  70. Построим график для t∈0;2400, x=l3, l=10 м



  71. U=4800π2e-a2π2l2tsinπ6-64003π2e-a23π2l2tsinπ2+192π2e-a25π2l2tsin5π6l