Приложения математической логики к алгебре

и теории алгебраических систем
Применение алгебраических методов к все расширяющемуся кругу задач привело к расширению систем объектов, изучаемых алгеброй, и к обобщению понятия самих алгебраических операций. Большую роль в этом сыграло развитие аксиоматического метода, вызванное работами Н.И.Лобачевского по основаниям геометрии, а также развитие общей теории множеств.
Уже в первой работе А.И.Мальцева заключена весьма глубокая идея об общем методе получения так называемых локальных теорем. Доказанная в этой работе локальная теорема для языка узкого исчисления предикатов произвольной сигнатуры утверждает, что произвольное множество формул выполнимо (непротиворечиво) тогда и только тогда, когда непротиворечиво любое конечное подмножество этих формул. В этой же работе доказана теорема о расширении бесконечных моделей. Обе упомянутые теоремы являются одними из важнейших в математической логике и теории моделей – теории, одним из создателей которой по праву считается А.И.Мальцев. Опираясь на свой метод, А.И.Мальцев доказал ряд глубоких теорем теории групп и других алгебраических систем.
В теорию моделей им вводятся понятия, которые ранее обычно изучались в алгебре: операции порождения, производные операции и предикаты, прямые и подпрямые произведения, регулярное произведение, обобщается понятие определяющих соотношений. С этой целью используется язык теории категорий; в терминах категорий даются характеристики различных классов алгебр и моделей.

Мальцев неоднократно возвращался к общей локальной теореме, распространяя ее на классы многоосновных моделей, на проективные и квазиуниверсальные классы моделей, что значительно расширило область применимости этой теоремы.

академик