Вступление. 1 Элементарная логика высказывани - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины логика для специальности 080507. 65 1 100.8kb.
Обеспеченность учебно-методической документацией по дисциплине «Элементарная... 1 39.03kb.
Элементарная теория элементарных частиц (К столетию постоянной Планка ) 1 11.92kb.
Программа дисциплины «математическая логика» 1 237.01kb.
Вопросы по курсу: Математическая логика и теория алгоритмов (2 курс) 1 30.21kb.
Лекции Логика как наука. Мышление как предмет логики 3 967.77kb.
Программа дисциплины Логика Карпенко И. А, к филос н. Москва, 2010... 1 110.98kb.
Учебная программа Дисциплины б5 «Математическая логика и теория алгоритмов» 1 127.27kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 1 37.49kb.
Вступление и предисловие 15 1823.34kb.
Книга первая вступление 3 1002.53kb.
Лекция тема10. Наука и методология. 2 597.69kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Вступление. 1 Элементарная логика высказывани - страница №1/3



Оглавление


Вступление. 1

Элементарная логика высказываний. 2

Высказывания и предметы. 2

Таблицы истинности логических операций. 6

Конъюнкция. 8

Дизъюнкция. 10

Импликация. 11

Импликация с ложной посылкой. 13

Эквивалентность 16

Отрицание 17

Логическая алгебра. 18

Что такое множество 21

Пустое множество. 24

Множества в школьной математике. 25

Простейшие операции над множествами. 29

Пересечение множеств. 29

Объединение множеств. 32

Подмножества. 33

Вычитание множеств. 35

Дополнение. 35

Функции 37

Произведение множеств. 37

Определение функции. 38

Числовые функции 39

Обратные функции. 40

Парадоксы теории множеств. 44

Заключение 46

Список литературы. 47





Вступление.


Всякое систематическое изложение математики основано на теории множеств. Не может быть исключением и школьный курс, даже если многие вопросы не входят в школьную программу. В работе рассматриваются основные понятия математической логики и элементарная часть теории множеств, имеющая непосредственное отношение к школьной математике. Школьные понятия систематически определяются и описываются с точки зрения теории множеств. Учитель математики должен хорошо владеть этим материалом, хотя он и не предлагается школьникам в полном объеме.

Особое внимание уделено вопросам логики и некоторым логическим ошибкам и недоразумениям, которые могли бы возникнуть при понимании не очень сложных, но абстрактных концепций. Материалы работы могут использоваться как на факультативных занятиях, так и на уроках математики.

Большинство разделов сопровождается списком вопросов по рассмотренной теме. Вопросы, как правило, элементарны, но рассчитаны на понимание. Более трудные вопросы отмечены знаком *.

Элементарная логика высказываний.


Математики всегда были уверены, что они доказывают „истины" или „истинные высказывания"; такое убеждение может иметь, очевидно, только чувственный или метафизический характер и, встав на почву математики, невозможно ни оправдать его, ни даже придать ему смысл, отличный от тавтологии.
Н.Бурбаки

Высказывания и предметы.

В обычном языке высказыванию соответствует повествовательное предложение, которое выражает некоторую мысль, и поэтому может быть истинным, или ложным. Не являются выражением законченной мысли такие фразы как: «парта», «школьная доска», или даже такие сложные конструкции как: «надпись сделанная мелом на доске». Мы здесь даем только обозначение предметов, которое еще не составляет содержание высказывания.

Для формирования мышления учащихся очень важно выработать понимание, какие выражения могут считаться высказываниями, а какие нет. В начальных классах еще есть определенные требования к правильной записи решения задачи, а именно, надо не только ее решить, но и правильно сформулировать развернутый ответ, так чтобы этот ответ был высказыванием, отвечающим на первоначальный вопрос задачи, а не просто называнием искомого числа. Конечно, в дальнейшем такая полная запись становится не обязательной, как и в старших классах не обязательно приводить элементарные арифметические вычисления. По мере дальнейшего освоения предмета такие простые вещи становятся подразумеваемыми, и не заслуживающими подробного упоминания, но только потому, что хорошо усвоены, а не потому, что еще не достигнута логическая ясность.

Итак, высказывание – это повествовательное предложение обычного языка, или же знакосочетание математической теории, такие, что оно выражает некое суждение о предметах, и может быть в таком отношении истинным, или ложным. Такое вольное изложение здесь носит только описательный характер и не может претендовать на роль настоящего определения, но в любом серьезном изложении оснований математической логики, этот вопрос получает подробное формальное рассмотрение. По заданному набору строго определенных формальных правил, некоторые сочетания знаков объявляются «термами», т.е. объектами, а некоторые –«соотношениями», т.е. высказываниями. Популярное изложение вопроса можно найти в книге В.А. Успенского [3]. (См. также [1] §1) Здесь же пока ограничимся несколькими простыми примерами на школьном уровне.




Объекты

Высказывания

1; 2; x2; sin(45o); 3+4; ∞;

f(x); квадрат; треугольник; ∅;

ax2+bx+c


22=4; 3>5; 2x2–3x+1=0;

y=f(x); x36; y=2x;

площадь квадрата со стороной a равна a3;

сумма углов треугольника = 180o;

ax2+bx+c=0

Из приведенных высказываний некоторые являются истинными, некоторые – ложными, а о некоторых мы еще должны получить дополнительные сведения (значения переменных), чтобы выяснить их значение. Важно только, что сам вопрос об истинности, или ложности имеет смысл в отношении высказываний, и не имеет смысла в отношении предметов.

«Переменное» высказывание S, истинность которого зависит от некоторой переменной x, записывается как Sx и называется предикатом. Переменная x здесь называется субъектом. Пример такого высказывания: «это животное весит более 100 кг» – что, очевидно, может быть или истинным, или ложным в зависимости от подразумеваемого животного (субъекта выказывания). Математическое выражение с переменной такого типа: x>2 также является примером предиката – переменного высказывания, истинность которого зависит от конкретного значения x. Но мы здесь не будем подробно рассматривать логику предикатов, а ограничимся преимущественно элементарной логикой высказываний.
Вопросы:
1.1 Какие из приведенных выражений русского языка являются высказываниями, а какие – нет:

а.) Графиня бежит к пруду.

б.) Грузите апельсины бочками.

в.) Крокодилы зимой улетают в теплые края.

г.) Вода мокрая

д.) Мокрая вода.

е.) Высказывание

ж.) Северный полюс

з.) Северного полюса не существует

и.) Это не высказывание

к.) Это высказывание

л.) Ферма не доказал теорему Ферма.

м.) Теорема Пифагора.

Ответ: а, в, г, з, и, к, л – высказывания (не обязательно истинные), остальные – нет. Насчет последнего (м.) надо заметить, что теорема Пифагора является высказыванием, но предложение русского языка «Теорема Пифагора» – это не высказывание.


1.2 Какие из математических выражений являются высказываниями:

а.) 2


б.) 2=1,4

в.) x2+y2<1

г.) 1+2+3+4+5

д.) 5+6=34

е.) ±7

ж.) (a+b)2



з.) x=4

и.) x2-3


к.) 3x+9=0

Ответ: б, в, д, з, к – высказывания, остальные – нет.


Таблицы истинности логических операций.


Первые основы всякой науки действительно далеко не ослепляют своим блеском: они скорее скромны, сухи и почти безобразны
Томас Гоббс.
Истинное и ложное значения принято обозначать и сокращать самыми различными способами: иногда пишут буквы «И», «Л», или английские слова «true», «false», мы же выберем самый простой и наглядный способ и обозначим: Истина – 1, Ложь – 0.

Из простых высказываний с помощью небольшого числа операций строятся сложные высказывания. Операции, называемые логическими связками или логическими функциями, примерно соответствуют тому, что в обыденной речи описывается словами «не», «и», «или», «если..., то» и т. п.

Сложные высказывания также обладают одним из двух свойств: «быть истинным» или «быть ложным». При этом истинность или ложность сложного высказывания зависит исключительно от истинности или ложности простых высказываний, из которых они с помощью связок получаются.

Все школьники хорошо знакомы с таблицей умножения, в такой форме она напечатана на обратной стороне многих тетрадей по математике:






2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

18

27

36

45

54

63

72

81

В такой же форме запишем и таблицы значений логических операций, с той лишь разницей, что таблица умножения, очевидно, существенно неполна. Строки и столбцы умножения на 0 и на 1 обычно опускаются по причине тривиальности. Более того, диапазон аргументов здесь ограничен только однозначными числами (от 2 до 9), а бесконечное множество других значений опущено по причине невозможности их изобразить. В случае же логических операций таблицы будут намного проще, поскольку, в отличии от чисел, логические аргументы (т.е. высказывания) могут принимать лишь 2 значения: 0 и 1 (т.е. «ложь» и «истина»). Соответственно, и логические таблицы, в отличие от таблицы умножения, будут не только малы, но и исчерпывающи – они будут описывать все возможные сочетания аргументов, и все возможны значения логической операции.
Вопросы:
2.1 Сколько возможных значений может иметь высказывание?

Ответ: 2 значения.

2.2 Как называются значения высказывания?

Ответ: «истина» и «ложь»

2.3 Сколько возможных значений может принимать произвольное математическое выражение?

Ответ: как правило, бесконечное количество значений.

2.4* Сколько комбинаций значений возможно для двух высказываний?

Ответ: из значений 2-х высказываний (a и b) можно составить 4 комбинации: (a=0, b=0); (a=0, b=1); (a=1, b=0); (a=1, b=1). Далее мы увидим все эти комбинации в виде таблицы 2x2.

2.5 Можно ли составить полную таблицу умножения всех чисел?

Ответ: очевидно, нет, потому что такая таблица будет бесконечной.


следующая страница >>