Вопросы на 3 балла по курсу математического анализа 4-ый семестр - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
О введении понятия производной в курсе математического анализа (математики) 1 43.39kb.
Основные вопросы по курсу общей физики (1 семестр Механика) 1 15.76kb.
Презентация «Первые уроки алгебры и начал анализа в 10 классе» 1 48.46kb.
Программа по дисциплине утверждено 1 182.74kb.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10» 2 599.31kb.
Программа курса «Основы математического моделирования» 1 25.35kb.
Экзаменационные вопросы: 1 курс, 1 семестр А. Стандартные вопросы. 1 41.49kb.
Программа по курсу "Функциональный анализ" 1 54.18kb.
Вопросы к экзамену по математическому анализу (2й семестр) 1 22.55kb.
Вопросы к экзамену по высшей математике (2 семестр) 1 11.7kb.
Вопросы к зачету (экзамену) по курсу "Проектирование трансляторов" 1 19.99kb.
Занятие №2 понятие вероятности для количественного сравнения шансов... 1 112.16kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Вопросы на 3 балла по курсу математического анализа 4-ый семестр - страница №1/1

ВОПРОСЫ на 3 балла

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4-ый семестр

Преподаватель: Е.П. Бокмельдер


  1. Тригонометрический ряд Фурье и формулы для вычисления коэффициентов Фурье.

  2. 1-ая и 2-ая теоремы Вейерштрасса

  3. Определение равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра

  4. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра

  5. Виды - и -функций и из области сходимости.

  6. Определение интеграла Римана на n-мерном параллелепипеде

  7. Критерий Лебега интегрируемости по Риману

  8. Формула замены переменных в кратном интеграле

  9. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  10. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  11. Дивергенция векторного поля.

  12. Ротор векторного поля.

  13. Определения потенциального и соленоидального полей.

  14. Запись характеристик скалярных и векторных полей с помощью вектора набла.

  15. Определение внешней меры Лебега

  16. Определение измеримого множества

  17. Определение измеримой функции

  18. Определение равномерной сходимости функциональной последовательности на множестве Е.

  19. Определение сходимости функциональной последовательности почти всюду на множестве Е.

  20. Определение сходимости функциональной последовательности по мере на множестве Е.

  21. Определение простой функции

  22. Определение интеграла Лебега на множестве Е.

  23. Определение полного метрического пространства

  24. Метрика в пространстве . Сходимость в среднем.

  25. Метрика в пространстве . Сходимость в средне-квадратичном.


ВОПРОСЫ на 4 балла

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4-ый семестр

Преподаватель: Е.П. Бокмельдер



  1. Равенство Парсеваля

  2. Достаточные условия возможности интегрирования и дифференцирования несобственного интеграла по параметру

  3. Теорема Фубини для функции двух переменных

  4. Приложения кратных интегралов

  5. Формулы площади гладкой поверхности, заданной явно, неявно и параметрически.

  6. Теорема Гаусса-Остроградского и ее физический смысл.

  7. Теорема Стокса и ее физический смысл.

  8. Свойства потенциального и соленоидального полей.

  9. -кольцо измеримых множеств и счетная аддитивность внешней меры на нем.

  10. Свойство регулярности меры Лебега в .

  11. Теорема Лебега о связи между сходимостью почти всюду и сходимостью по мере.

  12. Теорема Рисса о связи между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.

  13. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Леви о монотонной сходимости для последовательностей и рядов;

  14. Теорема Лебега об ограниченной сходимости.

  15. Связь между различными видами сходимости функциональной последовательности на множестве конечной меры.

  16. Полнота пространств и . Всюду плотные подмножества в и в .



ВОПРОСЫ, УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4-ый семестр

Преподаватель: Е.П. Бокмельдер
Ряды Фурье.


  1. Ортонормированные системы непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая система, ее ортогональность на отрезке длины Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.

  2. Тригонометрический ряд Фурье. Простейшие результаты о сходимости в точке. Ядра Дирихле и Фейера. Теорема Фейера и ее следствия.

  3. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Наилучшее приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье (теорема о наилучшем среднеквадратичном приближении. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье.

  4. Ряд Фурье в интервале произвольной длины.

  5. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. 2-ая теорема Вейерштрасса. Интеграл Фурье и его свойства.


УПРАЖНЕНИЯ


  1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале , считая ее периодической с периодом . Записать для нее равенство Парсеваля.

  2. Разложить в ряд Фурье функцию Записать равенство Парсеваля.

  3. Представить интегралом Фурье функцию

  4. Представить интегралом Фурье функцию , продолжая ее четным образом на интервал


Контрольная работа по рядам и интегралам Фурье.


  1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале Записать равенство Парсеваля.

  2. Разложить в ряд Фурье функцию . Записать равенство Парсеваля.

  3. При каком значении параметра функции ортогональны на отрезке


Интегралы, зависящие от параметра


  1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру. Интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

  2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость, критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.

  3. Предельный переход под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра, непрерывность по параметру. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (на отрезке). Дифференцирование интегралов по параметру.

  4. Интегралы Эйлера. -функция и ее свойства. -функция и ее свойства. Связь с -функцией.

  5. Вычисление интегралов с помощью интегралов Эйлера.



УПРАЖНЕНИЯ

  1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить , с учетом того, что .

  2. Найти производную функции .


Контрольная работа по теме «Интегралы, зависящие от параметра»


  1. Исследовать на непрерывность функцию

  2. Найти если

  3. Исследовать на равномерную сходимость при

  4. Исследовать на равномерную сходимость если ,

  5. Выразить через интеграл Эйлера .

  6. Вычислить интеграл Эйлера


Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы


  1. Интеграл Римана на n-мерном параллелепипеде.

  2. Критерий Лебега интегрируемости по Риману (формулировка). Критерий Дарбу.

  3. Мера Жордана. Критерий измеримости по Жордану.

  4. Точки разрыва характеристической функции множества. Интеграл по произвольному множеству.

  5. Свойства кратного интеграла Римана.

  6. Теорема Фубини. Геометрическая интерпретация для функции двух переменных.

  7. Замена переменных в кратном интеграле (подробная формулировка).

  8. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  9. Понятие гладкой и ориентированной поверхности в трехмерном пространстве. Поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края.

  10. Формулы площади гладкой поверхности, заданной явно, неявно и параметрически.

  11. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Их физический смысл.

  12. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса-Остроградского и ее физический смысл.

  13. Ротор векторного поля. Теорема Стокса и ее физический смысл.

  14. Потенциальные и соленоидальные поля и их свойства.

  15. Запись характеристик скалярных и векторных полей с помощью вектора набла.

ЗАДАЧИ
Контрольная работа по теме: «Двойные интегралы»

  1. Поменять порядок интегрирования в повторном интеграле

  2. Вычислить , где

  3. Вычислить , где ограничено линиями

  4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями


Контрольная работа по теме: «Теория поля», 4 семестр, прикладники.
Вариант 1
1. В каких точках пространства градиент поля перпендикулярен оси ?

2. Найти векторные линии поля

3. Найти массу части эллипса расположенной в первой четверти, если ее плотность

4. Найти площадь бок. поверхности цилиндра ограниченной плоскостями



5. Вычислить работу силового поля вдоль дуги

6. Найти поток вектора через верхнюю часть поверхности параболоида

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности симплекса

8. С помощью формулы Грина найти циркуляцию вектора вдоль эллипса против часовой стрелки.

9. Найти если

10. Проверить потенциальность и найти потенциал поля
Вариант 2

1. Найти производную функции в точке по направлению прямой в сторону возрастания поля.

2. Убедиться в ортогональности линий уровня скалярных полей

3. Найти массу дуги конической винтовой линии от точки до точки если ее плотность .

4. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности параболоида вырезаемой из него цилиндром если плотность заряда

5. Вычислить работу силового поля вдоль дуги

6. Найти поток вектора через поверхность параболоида

вырезаемую цилиндром ориентированную в соответствии с направлением орта

7. С помощью формулы Остроградского найти поток вектора через всю поверхность куба в направлении внешней нормали.

8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию вектора по сечению сферы плоскостью в положительном направлении относительно орта

9. Найти если .

10. Проверить соленоидальность поля


Мера и интеграл Лебега


  1. Внешняя мера Лебега и ее свойства.

  2. -кольцо измеримых множеств и счетная аддитивность внешней меры на нем.

  3. Классы измеримых множеств в : открытые, замкнутые, борелевские множества, множества меры нуль.

  4. Измеримые функции и их свойства.

  5. Сходимость функциональной последовательности почти всюду и теорема Егорова. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Лебега. Сходимость по мере, связь со сходимостью почти всюду - теорема Рисса.

  6. Простые функции. Приближение измеримой функции простыми функциями.

  7. Интеграл Лебега и его простейшие свойства.

  8. Свойства счетной аддитивности и абсолютной непрерывности интеграла Лебега как функции множества.

  9. Предельный переход под знаком интеграла Лебега: теорема Леви о монотонной сходимости для последовательностей и рядов; теорема Фату; теорема Лебега об ограниченной сходимости.

  10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

  11. Пространство . Сходимость в среднем. Полнота пространства .

  12. Пространство . Сходимость в средне-квадратичном. Связь с другими видами сходимости. Полнота пространства . Всюду плотные подмножества в и в .


УПРАЖНЕНИЯ


  1. Доказать, что множество измеримо по Жордану

  2. Доказать, что компактное множество меры Лебега нуль имеет меру Жордана (объем) нуль.

  3. Покажите, что множество меры Лебега 0 в не имеет внутренних точек.

  4. Покажите, что если множество таково, что , то и .

  5. Доказать, что борелевские множества измеримы по Лебегу.

  6. Доказать монотонность меры Лебега.

  7. Пусть - пространство с мерой, . Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: 1) множество измеримо для ; 2) множество измеримо для ; 3) множество измеримо для ; 4) множество измеримо для ;

  8. Доказать, что непрерывная функция измерима.

  9. Доказать, что монотонная функция измерима.

  10. Доказать, что если функции и - измеримы, измеримыми будут и функции и .

  11. Будем говорить, что функции и эквивалентны на множестве и писать: , если . Доказать, что это есть отношение эквивалентности.

  12. Доказать, что если функции и непрерывны на отрезке , то на .

  13. При каких значениях и функция , определенная на , интегрируема по Лебегу, несобственно интегрируема по Риману ?



Найти

Г-функция и В-функция (справочный материал)
-функция:





- функция:






Примеры

1. ( Замена в : ).
2. ( Замена: ).
3.

4. ( Замена ).

5. ( Замена )
6. ( Замена ).
7. ( Замена ).
8.
9.
10. ( Замена ).
11. ( Продифференцировать по функцию

).

12.
13. . (Универсальная подстановка).
14. ( Представить и, поменяв порядок интегрирования, получим Сделав замену приведем к виду примера 4.
15. Найдем площадь фигуры, ограниченной кривой