Вопросы к экзамену по математическому анализу за первый курс первый семестр для специальности прикладная математика и информатика

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Рациональные числа.
Понятие функции и отображения множеств.
Эквивалентность множеств.
Конечные и счётные множества.
Объединение и пересечение множеств.
Счетность объединения счетных множеств.
Теорема о том, что множество всех рациональных чисел счетно.
Несчётность множества бесконечных десятичных дробей.
Понятие вещественного числа.
Понятие n-значного нижнего и верхнего приближения вещественного числа.
Сравнение вещественных чисел.
Лемма о том, что нижние приближения не убывают, а верхние не возрастают.
Показать, что согласно определению операции сравнения два числа x = a₀ ,a₁ a₂…a_k (9) и y = a₀ ,a₁ a₂…a_k (0) + 10 ^– ^k равны друг другу.
Соответствие между вещественными числами и точками бесконечной прямой.
Упорядоченные и ограниченные множества.
Точные грани множеств. Теорема о существовании точных граней множеств.
Абсолютная величина числа.
Классы функций. Ограниченные, четные, нечетные, периодические функции.
Сложная функция.
Виды числовых последовательностей.
Предел последовательности.
Свойства пределов последовательностей. (Теоремы П1- П7)
Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Теоремы о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Теоремы о представлении переменной величины в виде суммы её предела и бесконечно малой величины.
Леммы о сумме и произведении бесконечно малых величин.
Основные теоремы о пределах (сумме, произведении и частном).
Теорема «Признак сходимости монотонной последовательности».
Следствия к теореме «Признак сходимости монотонной последовательности»
Лемма «Принцип Больцано-Вейерштрасса»
Теорема «Критерий Коши»
Неравенство Бернулли.
Число е.
Предельные точки множеств.
Предел функции (по Гейне и по Коши).
Теорема об эквивалентности определения предела функции по Гейне и по Коши.
Первый замечательный предел.
Односторонние пределы.
Бесконечно большие предельные значения функции и предел функции на бесконечности.
Теоремы о пределах функций (сумме, произведении, частном, сложной функции).
Второй замечательный предел.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые.
Непрерывные функции.
Виды точек разрыва функции.
Теорема о сумме, произведении и частном непрерывных функций.
Свойства непрерывных функций.
Лемма НФ.
Ограниченность непрерывных функций (Теорема НФ3).
Теорема Вейерштрасса.
Теорема Больцано-Коши.
Теорема о промежуточном значении.
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
Теорема о непрерывности сложной функции (Теоремы НФ8 и НФ9).
Равномерная непрерывность функции.
Лемма РНФ.
Теорема Кантора
Производная.
Геометрическое истолкование производной.
Уравнения касательной и нормали к кривой.
Непрерывность функции, имеющей производную.
Общие правила дифференцирования (суммы, произведения и частного).
Производные элементарных функций.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции.
Параметрическое задание функций. Примеры.
Производная функции, заданной параметрически.
Дифференциал.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная второго порядка от функции, заданной параметрически.
Теоремы Ферма, Ролля, Коши.
Теорема о конечных приращениях или теорема Лагранжа.
Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя. (Теоремы ПЛ1, ПЛ2).
Формулы Тейлора и Маклорена.
Разложения основных элементарных функций.
Возрастание и убывание функций.
Максимумы и минимумы функций.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Исследование функций на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора.
Асимптоты (вертикальные и наклонные).
Первообразная и неопределенный интеграл.
Простейшие свойства неопределенного интеграла.
Теорема о неопределенном интеграле от суммы функций.
Теорема о постоянном множителе.
Интегрирование методом замены переменной.
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.
Формула интегрирования по частям.
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование с помощью подстановок Эйлера.
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Интегрирование некоторых рациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.