Вопросы к экзамену по дисциплине «теория чисел»

ВОПРОСЫ

к экзамену по дисциплине

«ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ»

Определение отношения делимости в кольце целых чисел. Доказать рефлексивность, транзитивность отношения делимости.
Доказать, что отношение делимости сохраняется при изменении знаков и делимость суммы и разности двух чисел.
Доказать делимость суммы конечного числа слагаемых на число.
Доказать делимость произведения двух чисел на третье, на которое делится одно из чисел и доказать следствие из этого свойства.
Доказать свойства о делимости суммы (разности) двух чисел, из которых одно делится, а другое не делится на 3-е число, о делимости нуля и делении на единицу.
Свойство и следствия из него о модулях делимого и делителя.
Теорема о делении с остатком (доказать существование и единственность).
Наибольший общий делитель.
Алгоритм Евклида.
Теорема и следствие о наибольшем общем делителе нескольких чисел.
Свойства наибольшего общего делителя (доказать 1 и 2 свойства).
Свойства наибольшего общего делителя (доказать 3 и 4 свойства).
Взаимно простые числа (определение, необходимые и достаточные условия).
Свойства взаимно простых чисел (доказать 1 и 2 свойства).
Свойства взаимно простых чисел (доказать 3 и 4 свойства).
Свойства взаимно простых чисел (доказать 5 и 6 свойства).
Наименьшее общее кратное (определения и теорема единственности).
Теорема о связи наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Теорема о наименьшем общем кратном нескольких чисел.
Свойства наименьшего общего кратного (доказать свойства 1 и 2).
Свойства наименьшего общего кратного попарно взаимно простых чисел.
Простые и составные числа (определения и примеры, доказать свойства 1 и 2).
Простые и составные числа (доказать свойство 3).
Свойство простых чисел (доказать свойство 4).
Свойство простых чисел (доказать свойство 5).
Основная теорема арифметики (доказать существование представления).
Основная теорема арифметики (доказать единственность представления).
Каноническое представление чисел (доказать следствие).
Бесконечность множества простых чисел.
Теорема об интервалах.
Теорема о наименьшем простом делителе числа. Решето Эратосфена.
Сравнения (определение и примеры). Необходимые и достаточные условия сравнения чисел.
Свойства сравнений (доказать 1, 2 и 3 свойства).
Свойства сравнений (доказать 4, 5 и 6 свойства).
Свойства сравнений (доказать 7, 8 и 9 свойства).
Свойства сравнений (доказать 10, 11 и 12 свойства).
Свойства сравнений (доказать 13, 14 и 15 свойства).
Общий признак делимости Паскаля.
Признак делимости на , являющееся делителем .
Признак делимости на , являющееся делителем . Признак делимости на 7, 11, 13.
Класс вычетов по модулю .
Полная система вычетов.
Приведенная система вычетов.
Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма.
Неопределенные уравнения.
Теоремы о сравнении 1 степени с одним неизвестным, имеющем одно решение и не имеющем решений.
Теоремы о сравнении 1 степени с одним неизвестным, имеющем несколько решений.
Конечные непрерывные (цепные) дроби.
Свойства подходящих дробей.
Использование непрерывных дробей при решении сравнений 1 степени с одним неизвестным.
Система сравнений 1 степени с одним неизвестным.
Сравнения по простому модулю с одним неизвестным.
Сравнения по простому модулю с несколькими неизвестными.
Сравнения по составному модулю.
Показатели классов по заданному модулю.
Число классов с заданным показателем.
Первообразные корни.
Индексы (основные понятия).
Двучленные сравнения по простому модулю.
Квадратичные вычеты и невычеты.
Символ Лежандра (свойства).