Вычисление интеграла по области, занимаемой элементарным зарядом - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Вычисление площади криволинейной трапеции 1 56.03kb.
Вопросы по «Мат анализу» 1 8.83kb.
Экзаменационные вопросы для групп 2021-2023, 2028, весна 2004 г. 1 22.67kb.
Первая часть программы экзамена по курсу «Математический анализ»... 1 25.68kb.
Приложение №1 к Примерному положению об оплате труда работников государственных... 1 245.2kb.
Урок в 10 классе по теме «Вычисление производных» 1 190.54kb.
Должностная инструкция механика предпродажной подготовки 1 55.06kb.
Способы вычисления неопределенного интеграла. Теорема об аддитивной... 1 11.89kb.
Сзд будет проводиться 15 октября 2012 года на базе асош №2 1 330.23kb.
Лабораторная работа №6 определение удельного заряда электрона методом... 1 109.42kb.
Vii. Вероятности случайных событий 1 210.63kb.
Лабораторная работа по теме «Вычисление площадей фигур» 1 21.08kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Вычисление интеграла по области, занимаемой элементарным зарядом - страница №1/1

Вычисление интеграла по области, занимаемой элементарным зарядом

Поскольку считается, что заряд сокращается в размерах вдоль направления своего движения (примем, что заряд движется вдоль оси х), то вполне естественно предположить, что функция, описывающая плотность заряда, которая вначале была сферически симметричной, преобразуется при переходе к движущейся системе координат как



Тогда потенциал внутри заряда описывается уравнением



(1)

В (1) интегрирование ограничено внутренней областью заряда, форма которого – сжатый эллипсоид в координатах x = x’ – vt’, y = y’, z = z. Чтобы избавиться от этого ограничения в интегрировании, имеет смысл расширить область интегрирования функции  на все пространство, выбрав эту функцию в виде



где а – радиус заряда (считаем, что  = 0 на границе заряда), и  - функция Хевисайда.

Поскольку невозможно вычислить потенциал для произвольной функции , будем искать решение как ряд по малому параметру (v/c)2 (в предположении, что этот параметр мал).

На первом этапе ограничиваемся решением



Вначале разложим функцию ’ в ряд по (v/c)2:



где , и подставим это выражение в (1).

Строго говоря, разложение ’ в ряд по (v/c)2 даст производные от дельта-функций, то есть сингулярности. Но так как этот ряд входит как множитель в подынтегральное выражение, вклады от таких производных будут конечными величинами (пропорциональными производным от регулярной функции  на границе заряда). Поэтому такое разложение допустимо.

Получаем для (1):



Третий член разложения функции ’ опущен, так как он дает нуль из-за равенства нулю функции  при r = a. Первый член в (6) есть Ф0, который легко вычисляется в пределе точечного заряда, поэтому остается вычислить только второй интеграл. Для этого используем формулу



где Pl() есть полиномы Лежандра порядка l и функция F(r,,) не выписана явно, поскольку вклад от нее занулится при интегрировании по угловой переменной . Тогда Ф2 приобретет вид (после интегрирования по угловым координатам)



где в (7) использовано свойство ортогональности полиномов Лежандра.

Можно заметить, что этот метод разложения функции, описывающей плотность заряда, и применение формулы сложения для сферических гармоник позволяет представить ряд разложения потенциала (3) в форме, в которой угловые переменные  = cos() и радиальная R разделяются. Более того, поскольку функция  регулярна всюду, и тем более во внутренней области заряда, эта функция может быть разложена в этой области всюду в ряд Тейлора и, соответственно, разложение потенциала этим методом в ряд по (v/c)2 также регулярно всюду. Тогда получаем для Ф2

Поскольку нас интересует не сам потенциал, а его вторая частная производная по Х, то для ее вычисления используем следующую формулу пересчета производных:



Двойное применение этой формулы к Ф2 в форме (8) даст



Это выражение должно быть проинтегрировано по области, занимаемой зарядом, то есть по области, имеющей форму сжатого эллипсоида. Но поскольку перед Ф2 уже имеется множитель (v/c)2, то можно принять форму этой области – сферической (расчет ведется с точностью до (v/c)2), в то время как интегрирование второй производной от Ф0 надо проводить по эллипсоидальной области.

Для сферической области переменные разделяются и интегрирование по угловым переменным 22/Х2 дает

Уравнение (10) допускает дальнейшее упрощение, если выполнить интегрирование по R. Используя интегрирование по частям и свойства поизводных функции А, получаем:



Из (8) видно, что A(R,a) конечно при R  0, поэтому мы имеем



Вычислим производную от А:



так что


Этот результат означает, что вклад от 22/Х2 в интеграл по внутренней области равен нулю при любом распределении плотности заряда.

Но так как остается еще вклад от 20/Х2, (множитель 1/rнабл вынесен из-под знака интеграла)

(14)

и тогда с точностью до (v/c)2,



(15)