Вектор направленный отрезок, вектор имеет начало и конец. Модуль вектора равен его длине - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Направленный отрезок или упорядоченная пара точек Нулевой вектор 1 81.72kb.
Вопросы к экзамену по математике I курс 1 семестр 1 27.65kb.
Определение линейного преобразования. Матрица линейного преобразования 1 30.27kb.
Программа по аналитической геометрии и топологии. Раздел I: Векторная... 1 140.76kb.
Элементы кинематики м т ур-е движ., скорости 1 139.32kb.
2. Электростатическая теорема Гаусса. Пусть имеется вектор А 1 25.31kb.
Def Ненулевой вектор, называется корневым вектором 1 88.15kb.
Урок 1 Понятие вектора. Равенство векторов Цели: ввести понятие вектора... 1 22.8kb.
Лекция №2 (16. 02. 10) Определение 4 1 51.51kb.
«Понятие вектора. Модуль и направление вектора. Равные вектора» 1 255kb.
А, b, с означает, что вектор а считается первым, b — вторым, с 1 32.68kb.
Математика элементарные функции, их графики, свойства и приложения 2 649.49kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Вектор направленный отрезок, вектор имеет начало и конец. Модуль вектора равен его - страница №1/1

Вопрос 1

Вектор – направленный отрезок, вектор имеет начало и конец.

Модуль вектора равен его длине.

Нулевой вектор – вектор начало и конец которого совпадают.

Равные векторы: 1) их длины равны, направления одинаковы.

2) !! совмещаются параллельным переносом.

Коллинеарные векторы – те, которые параллельны или совпадают. Могут быть сонаправленые или противоположно направлены. нулевые векторы коллинеарные всегда.

Линейные операции над векторами и их св-ва.



Сложение.

Складываются по правилу треугольника внешних букв.



  1. a+0=a



  1. a + b = b + a коммутативность

<а) а и b не коллинеарные

б)a и b коллинеарные

b=0

a=AB


a+b = a+0 = a

b + a = 0 + a = a

в) a и b ненулевые но коллинеарные

|a + b| = |a|+|b|=|b|+|a| = |b+a| >



  1. (a + b) + c = a + (b + c) ассоциативность

BC = b


CD = c

(AB + BC) + CD = AC + CD = AD

AB + (BC + CD) = AB + BD = AD>


  1. Правило Ломана \ многоугольника

A1A2+A2A3+…+An-1An

  1. Противоложности

Если a + b = 0 тогда a = -b и AB = - BA

Вычитание.

с = a – b верно если a = c + b

cвоства те же что и у сложения но b домнажаем на -1

a – b = c = -b + a = a + (-b)



Произведение.

вектор b наз-ся произведением лямбда на вектор а.

пишется b = λa если 1) |b|=|λ||a| и 2) a и b колл.

1) λ (μ a) = (λ μ) a ассоциативность

2) (λ + μ)a = λa + μa дистрибутивность относительно слож чисел

3) λ (a+b) = λa + λb

a и b не коллинеарные
критерии коллинеарности:

2 вектора являются коллинеарными <=> 1 из них получается умножением другого на некоторое число.

когда λ: b = λa или a = λb

Пусть a и b колл.

a = 0 => a = 0 b

a ≠ 0 => b = 0>


Угол между векторами.

a,b≠0


Углом между OA и OB наз. наименьший из углов AOB (0 < угол < pi)

Ось

Ось - прямая, снабжённая параллельным ей ненулевым вектором (направляющим).



Угол между вектором и осью - это угол между данным вектором и направляющим вектором оси.
Вопрос 2
три (или более) вектора, лежащие на параллельных плоскостях или на одной плоскости. Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Векторы компланарны если параллельны плоск.

a = α1 е1 + α2 е2 + … + αn еn

базисом

на прямой наз – ся всякий ненулевой вектор на этой прямой

на плоскости - упорядоченная пара неколлинеарных векторов

ab базис 1

ba базис 2

В пространстве – упорядоченная тройка некомпланарных векторов в пространстве

a = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3

α1 , α2 3 – координаты в базисе. Компоненты

a = (α1 , α2 3 )
Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.

Пусть фиксированный базис е1, е2, е3

a = (α1 , α2 3 )

b = (β1 , β 2 , β 3 )

тогда a + b имеет координаты (α1 + β1, α2 + β2 3 + β3)

а произведение λ a координаты (λα1 , λα2 , λα3 )



< a = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3

b = β1 е1 + β2 е2 + β3 е3

a + b = (α1 + β11 + (α2 + β22 + (α3 + β33>

< λ a = λ (α1 е1 + α2 е2 + α3 е3) = λ α1 е1 + λ α2 е2 + λ α3 е3>
Cуществование и единственность разложения вектора по базису

Всякий вектор на прямой, плоскости, в пространстве может быть разложен по базису, а координаты во всех случаях определены однозначно.



< 1) a = ± |a|e / |e|

2) a = α1 е1 + 0 е2



OA = OB + OC = α1 е1 + α2 е2

3) a = α1 е1 + α2 е2 + 0 е3

OA = OB + OC

OB = α1 е1 + α2 е2

OC = α3 е3

OA = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3

Доказываем от противного

a = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3

a = β 1 е1 + β 2 е2 + β 3 е3

α1 е1 + α2 е2 + α3 е3 = β 1 е1 + β 2 е2 + β 3 е3

1 - β11 + (α2 - β22 + (α3 - β33 = 0

Пусть α ≠ β

е1 = ((α2 - β2) е2 / (α1 - β1)) – ((α3 - β33 / (α1 - β1))

=> компланарны, противоречие с определением базиса.

Координаты равных векторов совпадают.>
Вопрос 3

Декартова система координат совокупность точки О и базиса. О – начало координат а оси – коорд. Оси корд ОМ в данном базисе наз-ся корд точки М в данной системе координат.

ОМ = α1 е1 + α2 е2 + α3 е3 М = (α1 , α2 3 )

Определения на прямой и плоскости аналогичны

Координаты точки

Нахождение координат вектора по координатам его начала и конца

AB = (α1 - β12 - β2 3 - β3)

< OA = (α1 , α2 3 )

OB = (β1 , β 2 , β 3 )

AB = OB – OA = (α1 - β12 - β2 3 - β3) >
Ортонормированный базис – базис векторы которого ортогональны и по длине равны еденицы.

Декартова прямоугольная система координат – декартова система координат базис которой ортонормирован.

a = axi + ayj + azk

a = (ax + ay + az)



Ax = |a| COS α

Ay = |a| COS β

Az = |a| COS γ

Координаты вектора в ортонормированном базисе совпадают с его проекциями на координатные оси.
Вопрос 4

Скалярное произведение векторов

Пусть a и b ненулевые векторы.

Φ = a^b


Скалярным произведением называется число (a,b) = |a||b|Cos Φ

Если a или b ненулевые ---> Φ неопределен и произведение = 0

Свойства скалярного произведения


  1. (a,b)=(b,a) следует из определения

  2. a2 = (a,a) = |a|2

  3. Скалярное произведение векторов = 0 тогда когда они ортогональны

  4. Свойство линейности

(λa,b) = λ (a,b)

а)<λ=0 => =0

λ=0 a,b≠0

Φ = a^b


Ψ = λa,b

(λa,b) = |λ a||b|Cos Φ = |λ||a||b|Cos ψ

б) λ > 0 ψ = φ | λ | = λ

(λa,b) = λ |a| |b| Cos Φ = λ (a,b)

в) λ < 0 ψ = π - φ

|λ| = -λ

(λa, b) = -λ |a||b| Cos (π - φ) = λ(a,b) >


  1. Дистрибутивность

(a + b, c) = (a,c) + (b,c)

<отметим след. Утверждении

Пусть V – произв. Вектор. L – ось С – напр. Вект. U причем |U|=1

Тогда проекция VL = (V,U)

VL = |V|Cosφ = |V||U| Cosφ = (V,U)

Док-во дистрибутивности

C ≠ 0 выберем дпск так чтобы х шла вдоль вектора С.

С = Сx i V = a + b в силу сформировавшегося выше утверждения

Vx = (V, i) = (a + b, i)

Vx = ax + bx = (a, i) + (b, i)

Из последних двух утв. =>

(a + b + i) = (a, i) + (b, i) |*Cx

(a + b, Cxi) = (a, CxI) + (b, Cxi)>



Вычисление скалярного произведения

(a, b) = axbx + ayby + azbz



< (a,b) = (a, bxi + byj + bzk) = (a , bxi) + (a, byj) + (a, bzk) = (a, i) bx + (a, j) by + (a, k) bz = ax bx + ay by + az bz>
Выражение длины вектора

|a| = √(ax2 + ay2 + az2)



< |a|2 = (a,a) = axax + ayay + azaz = ax2 + ay2 + az2

Частный случай когда а – еденичн вектор:

Ax = COS α

Ay = COS β

Az = COS γ

Cos2 α + Cos2 β + Cos2 γ = 1>


Нахождение угла между векторами

Формула расстояния между двумя точками

AB = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)

Доказывается по теореме Пифагора.


Вопрос 5

Ориентация тройки некомпланарных векторов.

Векторы a b c (некомп.) образуют правую тройку если с конца с кратчайший поворот виден против часовой стрелки. И левую тройку, если по часовой.

Векторное произведение и его св-ва

[a,b] – a * b – произв



Это вектор:

  1. равный нулевому, если a и b коллинеарные

  2. если a и b не колл => [a,b] удовлетворяют след условиям:

а) |c| - площадь параллелограмма на веторах a,b

|c| = |a||b|Sinφ

б) c┴a

c┴b


в) a,b,c – правая тройка

свойства:



  1. [a,b] = - [a,b] антикоммутативность

  2. [λa, b] = λ [a,b] = [a, λb]

< λ =0 очевидно

a, b очевидно

a, b неколл, λ >или< 0

[λa, b] и λ [a,b]

Имеют одинаковые длины>


  1. [a+b,c] = [a,c]+[b,c] дистрибутивность

Свойства смешанного произведения

А) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a) транспозция

Б) (λa, b, c) = λ (a,b,c) = (a, λb, c) = (a, b, λc) линейности

В)(a,b,c1+c2) = (a,b,c1) + (a,b,c2)

(a1+a2, b, c) = (a1, b, c) + (a2, b, c)

Аналогично с b

Теперь докажем дистрибутивность

[a + b, c] = [a, c] + [b, c]

Обозначим [a + b, c] = U [a,c] + [b, c] = V

Введем ДПСК и покажем что координаты U и V совпадают

Ux = (U, i) = ([a+b,c],i) = (a + b, c, i ) = (a, c, i ) + (b, c, i ) = ([a,c],i) + ([b,c],i) = ([a,c]+[b,c])i=(V,i) = Vx

Аналогично Uy = Vy, UZ = Vz => U=V
Теорема о вычислении координат векторного произведения через координаты сомножителей в ортонормированном базисе

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k, правый.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения a на b

a \ b i j k

i 0 k - j

j - k 0 i

k j - i 0

a = (a1,a2,a3) b = (b1,b2,b3)

тогда ab = (a2b3 – a3b2, a3b3 – a1b3, a1b2 – a2b1)

a = a1i + a2j + a3k b= b1i+b2j+b3k

ab=(a1i + a2j + a3k)b=a1(ib) + a2(jb) + a3(kb)

Ib = i(b1i + b2j + b3k) = b1(ii) + b2(ij) + b3(ik)

Ib = b2k – b3j jb= - b1k+b3i kb = b1j – b2i

Ab= a1(b2k – b3j) + a2 (-b1k + b3i) + (b1j – b2i) = (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k

Если в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы координаты векторов a,b то

| i j k |

| a1 a2 a3 | =

| b1 b2 b3 |


= i | a2 a3 | + j | a1 a3 | + k | a1 a2 |

| b2 b3 | | b1 b3 | | b1 b2 |


Вопрос 6

Смешанное произведение

(a,b,c) = ([a,b],c)

Ориентированный объем объекта, построенного на ветвях a,b,c

равн 0 если a,b,c компланарны,

иначе v – если прав тройка, -V если лев тройка.
Геометрическая интерпретация смеш. Произв.


  1. a,b,c компл.

Ориент. Объем = 0

  1. a,b,c комплан

правый треугольник V = Sh = |[a,b]||c|Cosφ

Левый треугольник V = Sh = [a,b]|c| = Cos (π - φ) = - |[a,b]||c|= Cosφ



([a,b],c) = - (a,b,c)

(a,b,c) = V если ПТ -V если ЛТ

A,b,c компл <=> смешанное произведение = 0

1) если a,b,c комп, то a,b,c = 0

<пусть a,b,c = 0

Предположим что они не компл тогда на них можно построить паралеллограмм ненулевого объема (a,b,c)≠0>


Свойства смешанного произведения

А) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a) транспозция

Б) (λa, b, c) = λ (a,b,c) = (a, λb, c) = (a, b, λc) линейности

В)(a,b,c1+c2) = (a,b,c1) + (a,b,c2)

(a1+a2, b, c) = (a1, b, c) + (a2, b, c)

Аналогично с b



Вычисление смешанного произведения

(a,b,c) =



ax ay az

bx by bz

cx cy cz


=

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3


=a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
Вопрос 7

Прямая на плоскости.



Общее уравнение :

Kx + b = y --- общий вид деленный на b

Всякая прямая на координатной плоскости задается уравнением ax + by + c = 0

Где a,b,c – константы, a и b одновременно не равны нулю. – a2 + b2 ≠ 0

Всякое такое уравнение задает прямую на плоскости.

<

Пусть n = (a,b) ≠ 0 тогда a2 + b2 ≠ 0 M (x,y) произвольная точка плоскости

M0M (x-x0, y-y0)

M(x,y) € L <=> (n, M0M) = 0 <=> a(x-x0) + b (y-y0) = 0 уравнение прямой по точке и нормальному вектору

ax + by - a x0 - by0 = 0

( c )>


Параметрические уравнения

M0 € L M € L M(x,y) M0M (x-x0, y-y0) V = (p,q) ≠ 0

M € L <=> M0M и V колл

Критерий коллин. <=> существуют t € R что M0M = Vt

{x-x0 = pt

{y-y0 = gt


{x = x0 + pt

{y = y0 + gt параметр уравнение прямой L t € R


Канонические уравнения

t = x-x0 / p

t = y-y0 / q

x-x0 / p = y-y0 / q каноническое уравнение прямой на плоскости (p,q) - корд напр вектора

появление нуля в знаменателе допускается и означает что вектор нулевой.

Уравнение прямой проходящей через две точки

M1M2 = (x1-x2, y1-y2)

M1 – начальная точка L – направляющий вектор

(x - x1)/(x2 – x1) = (y - y1)/(y2 – y1)


Расстояние от точки до прямой

Ax + bx + c = 0

P от M до L = |ax + by + c| / √( a2 + b2)

< введем M1(x11) - проекция n - направляющий вектор

{x1 = x0 + at

{y1 = y0 + at

M1 € L => ax1 + by1 + c = 0

a(x0 + at) + b(y0 + at) + c = 0

( a2 + b2)t + ax0 + by0 + c = 0

t = - (ax + by + c) / ( a2 + b2)

для получения значения t имеем M0M1 = nt

p = |M0M1| = |n||t| = |ax + by + c| / √( a2 + b2)>
Вопрос 8

Уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0

a2 + b2 + c2 ≠ 0

< M0 (x0 ,y0 ,z0) € π n = (a,b,c) ≠ 0 a2 + b2 + c2 ≠ 0

M (x ,y ,z) M0M(x-x0, y-y0, z-z0)

M € π <=> (n, M0M) = 0 <=> a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

Ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0

( d ) >

Формула расстояния от точки до плоскости



|ax+by+cz+d|/√(a2+b2+c2)

Вопрос 9

Уравнения прямой в пр-ве

Параметрическое



V (p,q,z) M0 € L M(x,y,z) M0M(x-x0, y-y0, z-z0)

M € L <=> M0M и V колл <=> существ t € R такие что M0M = Vt
{x-x0 = pt

{y-y0 = gt

{z-z0 = rt
{x = x0 + pt

{y = y0 + gt

{z = z0 + rt
Канонические

t = x-x0 / p

t = y-y0 / q

t = z-z0 / r


x-x0 / p = y-y0 / q = z-z0 / r
задание прямой как пересечения двух плоскостей

{a1x + b1y + c1z + d = 0

{ a2x + b2y + c2z + d = 0

Расстояние от точки до прямой в пространстве


Вопрос 10

Эллипс – множество точек на плоскости для каждой из которых сумма расстояний до фокусов (фиксированных2х точек) есть величина постоянная и большая чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса

На плоскости найдется такая ДПСК в которой эллипс задается x2/a2 + y2/b2 = 1



<пусть 2с – расстояние между фокусами, ох выбираем так что фокус принадлежит ох, а оу – серединный перпендикуляр. F1 (-c ; 0) F2 (c ; 0) c >=0 M(x,y) € эллипсу r1 r2 – фокальн. Радиус.

{r1 = MF1

{r2 = MF2

r1 + r2 = 2a

2a>2c

r1 = √((x + c)2 + y2)



r2 = √((x - c)2 + y2)

√((x + c)2 + y2) + √((x - c)2 + y2) = 2a

√((x + c)2 + y2) = 2a - √((x - c)2 + y2)

a√((x - c)2 + y2) = a2 – cx

a2 ((x - c)2 + y2) = a2 – cx

(a2 - c2 )x2 + a2y2 = a2(a2-c2) a2-c2 > 0 = b2

b2 x2 + a2y2 = a2 b2 : a2 b2

x2/a2 + y2/b2 = 1>



Эксцентриситет

ε = с/a 0 <= ε <= 1

ε -> 1 стремиться превратиться в линию ε -> 0 стремится к форме круга

фокальные радиусы – расстояния от фокусов до точки на эллипсе


Вопрос 11

Гипербола – мн-во точек плоскости для каждой из которых модуль разности расстояний до 2х фиксированных точек плоскости, называющихся фокусами, есть величина постоянная неравная нулю и меньшая расстояния между фокусами. ε < 1

Каноническое уравнение

На плоскости найдется такая ДПСК в которой гипербола задается x2/a2 - y2/b2 = 1




<{r1 = MF1

{r2 = MF2

|r1 - r2| = 2a

2a<2c


ar1 = √((x + c)2 + y2)

r2 = √((x - c)2 + y2)

|√((x + c)2 + y2) - √((x - c)2 + y2)|= 2a

(√((x + c)2 + y2) - √((x - c)2 + y2))2= 4a2

-4c2x2 = -4a2(x2 + y2 + c2) + 4a4

(c2 – a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2)

c>a c2>a2 c2 – a2 = b2

b2x2 – a2y2 = a2b2 : a2b2

x2/a2 - y2/b2 = 1

>

Асимптоты гиперболы



x2/a2 - y2/b2 = 1

y = (x2/a2 - 1) b2 = b2x2/a2 (1 - a2/x2 )

y = ± bx/a √(1 - a2/x2)

x -> к бесконечности y -> ± b/a
Вопрос 12

Z = a + bi

Комплексным числом называется всякая точка комплексной плоскости или её вектор z = a + bi

Где a,b € R

a - Re z действительная часть

b - Im z мнимая

z = a + bi запись комплексного числа в алгебраической форме.

Модуль и аргумент

Пусть z = a + bi

|z| - длина соотв. радиус вектора

|z| = √(a2 + b2)

Аргумент определен лишь для z ≠ 0 ?чтото еще?

φ = φ0 + 2πn, n € z

φ0 € (-π,π) – главное значение аргумента

φ = Arg z

φ0 = arg z


комплексное сопряжение

z = a + bi

z = a – bi

_

|z|=|z|



_

Арг z = - арг z

_

A € R => a = a



Сложение комплексных чисел

z1= a1 + b1i

z2= a2 + b2i

z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2)i

(геометрически выглядит аналогично сложению векторов)

Умножение на число

z= a + bi

λz = λa + λbi

Вычитание

z1= a1 + b1i

z2= a2 + b2i

z1 - z2 = a1 - a2 + (b1 - b2)i

|z1 - z2| = √((a1 - a2)2 + (b1 - b2)2)

Умножение

Зададим сначала умножение на базисных векторах 1, i а потом продолжим его по дистрибутивности.

11=1

1i = i


i1 =i

i i = -1


i2 = -1

z1= a1 + b1i

z2= a2 + b2i

z1 z2 = (a1 + b1i)( a2 + b2i) = a1 a2 + a2 b1i + a1 b2i + b1 b2i2=

a1 a2 - b1 b2 + (a2 b1 + a1 b2)I (можно добавить про отсутствие делителя нуля)

деление

делить можно на любое ненулевое комплексное число

z= a + bi любое компл число

w= c + di ≠ 0

V=z/w wV = z

покажем что данное уравнение имеет единственный корень

доказательство в его фактическом предъявлении

V = (1/ |w|2 ) z w

wV = w (1/ |w|2 ) z w = z

пусть V’ еще один корень

wV = wV’

wV – wV’ = 0

w (V- V’) = 0 в силу отсутствия делителя нуля w ≠ 0 => V=V’

на практике деление выполняется по правилу домножения на сопряженный к знаменателю

z/w = (a + bi)/( c + di) = (a + bi)(c - di)/( c + di)( c - di) = (ac +bd + (bc + ad)i)/c2+d2
Вопрос 13

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Используется только для ненулевых компл. Чисел

Все числа здесь ненулевые

z= a + bi

r = |z| φ – значение аргумента z

a = rCosφ

b = rSinφ

z = rCosφ + rSinφ i =

r(Cosφ + iSinφ)
критерии равенства:

z1 = r(Cosφ1 + iSinφ1)

z2 = r(Cosφ2 + iSinφ2)

z1 = z2 <=> {r1 = r2



{ φ1 = φ1 + 2πk, k€z

Умножение

При перемножении двух комп чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются а аргументы складываются

z = r(Cosφ + iSinφ)

w = p(Cosα + iSinα)

zw = rp (Cosφ + iSinφ) (Cosα + iSinα) = rp (Cosφ Cosα – SinφSinα + i (CosφSinα + Sinφ Cosα)) = rp (Cos (φ + α) + i Sin (φ + α))

zw = rp (Cos (φ + α) + i Sin (φ + α))


Деление

При делении двух компл чисел в триг виде их модули делятся а аргументы вычитаются

z = r(Cosφ + iSinφ)

w = p(Cosα + iSinα)

z/w = r(Cosφ + iSinφ)/ p(Cosα + iSinα) = p(Cosα + iSinα) (Cosα - iSinα) / p(Cosα + iSinα) (Cosα - iSinα) =

r(Cos (φ - α) + i Sin (φ - α) ) / p


Формула Муавра

Пусть z = r(Cosφ + iSinφ)

Z2 = z z = r2(Cos2φ + iSin2φ)

Z3 = z2z =r3(Cos3φ + iSin3φ)

zn = rn(Cosnφ + iSin nφ)

с другой стороны

zn = (r(Cosφ + iSinφ))n = rn(Cosφ + iSinφ)n

(Cosφ + iSinφ)n = (Cosnφ + iSin nφ)

ε = Cosφ + iSinφ | ε | = 1 εn – n поворотов на угол φ


Вычисление корней

Найти корень n-ой степени из w значит решить уравнение zn = w

Покажем что уравнение при любом w или n € N имеет n различных корней

Пусть w = p(Cosα + iSinα)

Ищем z в тригоном. Форме

z = r(Cosφ + iSinφ)

zn = w <=> rn(Cosφ + iSinφ)n = p(Cosα + iSinα)

критерии равенства:

{rn = p

{nφ = α + 2πk


{r = n√ p

{φ = (α + 2πk) / n k € z


Таким образом решение уравнения принимает вид:

Zk = n√ p (Cos((α + 2πk) / n) + i Sin ((α + 2πk) / n))