Урок открытия нового знания. Цели урока: Обучающие - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Урок биологии в 6 классе. Тема урока: Строение растительной клетки. 1 53.3kb.
Урок №39 Вид урока: комбинированный. Девиз урока: «В химии все возможно». 1 63.77kb.
Урок-игра по литературе. 6 Класс. Тема урока: «Н. С. Лесков «левша». 1 26.11kb.
Н. А. Урок информатики в 9 классе Тема: Решение систем уравнений... 1 246.81kb.
Урок изучения нового материала Тема урока «Определение пола. 1 42.75kb.
Урок№1 «Что такое отношение?» Тип урока: урок изучения нового материала... 1 106.4kb.
Конспект урока Арифметические операции в позиционных системах счисления... 1 34.91kb.
Урок потем е: «мирв 19 в е к е» 1 45kb.
Урок технологии в 6 классе по теме: «Что такое дизайн интерьера? 1 84.25kb.
Методическая разработка урока «Типы химических реакций» Белорусова... 1 71.56kb.
Педанова Е. Е. Методическая разработка урока по биологии. Тема урока... 1 69kb.
«Арифметическая и геометрическая прогрессии» 1 89.7kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Урок открытия нового знания. Цели урока: Обучающие - страница №1/1

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Учитель математики МБОУ «Адаевская ООШ» Актанышского муниципального района Республики Татарстан. _________________________________________________



Тип урока:

  • урок открытия нового знания.

Цели урока:

Обучающие:

  • 1) Дать понятие арифметической и геометрической прогрессии

Развивающие:

  • Развивать аргументированную математическую речь;

  • Умение выполнять сравнение и анализ, делать выводы;

  • Навыки самопроверки и объективной самооценки.

Воспитывающие:

  • воспитание навыков коммуникативности, культуру общения с товарищами, умение слушать и слышать других;

  • воспитание устойчивого интереса к предмету.

Оборудование урока:

  • компьютер;

  • интерактивная доска;

  • компьютерная презентация

ХОД УРОКА.

Организационный момент.

- Начнём нашу работу стихами:

Будем думать,
Будем решать,
Будем друг другу
Во всём помогать.

Здравствуйте ученики! Как дела? Какой хороший солнечный день! У всех хорошее настроение. Мы сегодня будем изучать арифметическую и геометрическую прогрессии.

Мы будем сравнивать формулы арифметической и геометрической прогрессий, изучать определения этих прогрессий, решать конкретные задачи.

Актуализация урока

а) проверка домашнего задания

б) устный опрос

Найти:22; 23; 24; 25; 26; 27; 28.

32 ; 33; 34;35;36;37;38;

43;44;44; 52;53;54;55.



Изучение новой темы:

Мы сегодня будем отвечать на такие вопросы:

-Какие последовательности вы знаете?

-Что такое арифметическая и геометрическая прогрессии?

-Какая формула n- члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий?

-Кто такой Карл Гаусс и Диофант?

-Как решать задачи на арифметические и геометрические прогрессии?


Последовательности

(2 слайд)

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа.

2; 4; 6; 8; … .

Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом- число 20, на сотом- число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указывать соответствующее ему положительное четное число: оно равно 2n


Определение арифметической прогессии

(3 слайд)

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:

1; 5; 9; 13; 17; 21; … .

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом


Формула n-го члена арифметической прогрессии

(4 слайд)

В последовательности 1; 2; 3; 4; 5; … ,

a1=1 и d=1.

a1- первый член,

d – разность арифметической прогрессии.

В последовательности 1; 3; 5; 7; 9; …,

a1=1, d= 2

a2=a1+d

a3=a2+d=a1+2d



a4=a3+d =a1+3d

an=a1+d(n-1)




Формула Суммы первых n членов арифметической прогрессии

(5 слайд)

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды:

S= 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

S= 100 + 99 + 97 +… + 3 + 2 + 1

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Всего таких пар 100.

2S= 101∙10

S=101∙1002=5050


Карл Гаусс

(6 слайд)

Карл Гаусс (1777-1855) – немецкий математик, астроном, геодезист, физик. Выдающиеся математические способности проявил он в раннем детстве. Его многочисленные исследования в области алгебры, теории чисел, геометрии и математического анализа оказали значительное влияние на развитие теоретической и прикладной математики. Астрономии, геодезии, физики.

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.




Геометрическая прогрессия

(7 слайд)

Рассмотрим последовательность, членами которой являются степени числа 2 с натуральными показателями:

2; 22; 23;24; 25;26; … .

определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число


Формула n-го члена геометрической прогрессии

(8 слайд)

b1- первый член, q-знаменатель геометрической прогрессии.

b2=b1q


b3=b2q=(b1q)q=b1q2

b4=b3q=(b1q2)q=b1q3

b5=b4q=(b1q3)q=b1q4

b6=b5q=(b1q4)q=b1q5

bn=b1qn-1.




Пример 1

(9 слайд)



В геометрической прогрессии b1=12,8 и q=14. Найдем b7 .

b7=12,8∙ 146 =12810∙146=2710∙ 212=110∙25=1320






Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

(10 слайд)

Легенда о создателе шахмат: По приданию, индийский принц Сирам, восхищенный игрой, призвал к себе ее создателя, ученого Сету, и сказал:

- Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание. Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно, на вторую-2зерна, на третью-3 зерна и т. д.

Создалось проблемная ситуация: смог ли принц Сирам выполнить желание Сеты? Эта задача на нахождение суммы nчленов геометрической прогрессии.

Решение задачи «Легенда о шахматах»:

S64=2∙263-12-1=264-1==18 446 744 073 709 551 615

Такого количества зерна еще не собрано человечеством до настоящего времени


Пусть дана геометрическая прогрессия . Обозначим сумму первых n ее членов через Sn

Sn = b1+ b2 + b3 + …+ bn-1 + bn

Sn∙q =b1∙q + b2 ∙q +b3∙q +…+  bn-1∙q + bn∙q

b1q =b2, b2q=b3, b3q=b4, …., bn-1q=bn.             Sn∙q=b2+b3 + b4+…+bn +bnq

Вычтем из второго равенства первое равенство и приведем подобные члены:

Snq- Sn=b2+b3+b4+…+bn+bnq-b1+b2+b3+…+bn-1+bn=bnq-b1

Sn=bnq-b1q-1,   Подставим  вместо bn выражение b1qn-1. Получим Sn= b1∙(qn-1)q-1


Таблица геометрической прогрессии

(11 слайд)



Диофант (3 век)

(12 слайд)

Диофант; Diophantos, из Александрии, III в. н. э., выдающийся математик античности, прозванный в средние века "отцом алгебры". Автор учебника математики Арифметика в 13 книгах (6 сохранились). Он представляет собой предваренный вступлением сборник задач, где решаются вопросы из области теории чисел, решения алгебраических уравнений (диофантические уравнения). Д., ориентируясь на древнеегипетскую или вавилонскую систему счета, отделяет чистую арифметику от геометрии и закладывает основы алгебры. Сверх того, он был автором фрагментарно сохранившегося трактата Peri polygonon arithmeton, равно как и утраченного трактата О дробных числах.




Решение задач

(13 слайд)

Найти сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b3=12  b5=48.

Зная   b3  и b5 , можно найти знаменатель q. Так как b5 = b3  q2, то

q2 = b5b3  = 4812 =4.

Значит, q=2 или q= -2.

Таким образом, существует две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если =-2, то b1=b3q2=3 и S6=b1(q6-1)q-1=3((-2)6 -1)-2-1=-63

Если q=2, то b1=3 и S6=3(26-1)2-1=189


Формирование навыков:

Решение № 575 а; 609 а;623 а; 648 а.



Домашняя работа № 575 б; 609 б; 623 б; 648 б.

Итог урока:

Вам понравился урок?



Что мы изучали? Оценки.