Урок алгебры в 9-м классе по теме "Свойства функций. Четные и нечетные функции" Тема урока: " Свойства функций. Четные и нечетные фу - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Конспект урока по алгебре в 9 классе по теме «Чётные и нечётные функции» 1 14.42kb.
Урок по теме «Функция Y=X 3» 1 76.54kb.
Простейшие функции. Квадратные корни 1 327.36kb.
«Исследование функции на четность» Цель 1 56.76kb.
Вопросы к курсу «Психология семьи». (нечетные номера – теория, четные... 1 47.09kb.
Логарифмическая функция, её свойства и графики 1 104.95kb.
Егорова Н. А. Урок Тема урока: Логарифмическая функция, уравнения... 1 48.85kb.
Урок обобщающего повторения По теме Логарифмическая функция Учитель... 1 40.18kb.
Урок алгебры в 11 классе учитель Дряпак Л. Н. Цели урока: Повторить... 1 188.72kb.
Дайте определение векторной функции и годографа. Дайте определение... 3 547.49kb.
Функциональная полнота Замыкание множества. Свойства замыкания. 1 242.43kb.
Контрольная работа №2 «Квадратичная функция. Степенная функция» (9... 1 48.88kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Урок алгебры в 9-м классе по теме "Свойства функций. Четные и нечетные функции" Тема - страница №1/1

Урок алгебры в 9-м классе по теме "Свойства функций. Четные и нечетные функции"

Тема урока: “Свойства функций. Четные и нечетные функции”.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятия четной и нечетной функции, обобщить и расширить знания учащихся о свойствах функции, продолжить работу над формированием умения определять и описывать свойства функции по графику.

Развивающие: совершенствовать навыки исследования свойств функции, развивать творческие и познавательные способности учащихся.

Воспитательные: помочь осознать учащимся свою причастность к математике как к части общечеловеческой культуры, воспитывать чувство взаимопомощи.

План урока:



Этап урока

Цель этапа

Примечание

1

Организационный момент

Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

Для организации урока может быть использована презентация.

2

Актуализация знаний учащихся

Повторить теоретические сведения по теме “Функция”.

Слайд№1

Слайд№2


3.

Устный счет

Совершенствовать умение читать график функции.

Слайд№3

Слайд№4


4

Изучение нового материала

Ввести понятие четной и нечетной функции; научить определять четность и нечетность функций

Создание проблемной ситуации, которая побуждает учащихся сформулировать определения.

5.

Закрепление изученного материала

Первичное закрепление полученных знаний

Индивидуальная работа и работа в парах со взаимопроверкой. Слайд№5

6

Работа в группах

Работа обучающего характера. Формировать умение исследовать функцию по схеме.

Проверка результатов работы в группах. Слайды №6-9

7

Итог урока

Обобщение знаний, полученных на уроке

В конце урока подводятся его итоги,  обсуждение того, что узнали, и того, как работали: каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы, увлекательность и полезность выбранных форм работы.

8

Домашнее задание

Инструктаж по домашнему заданию

Пользуясь наработанным материалом, исследовать функции, заданные графически.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания

1. Какими способами задается функция? Cлайд 1

2. Назвать свойства функции. Слайд 2

III. Устная работа. Слайд 3, слайд 4

IV. Изучение нового материала.

Создание проблемной ситуации. 

- Какое свойство функции вам неизвестно?

Учащиеся с помощью наводящих вопросов учителя и работы с учебником делают вывод о четных и нечетных функциях.



Задания и вопросы учителя

Предполагаемые ответы учащихся

1. Сравните значения функции у = х2+ 1 при х = -3 и х = 3

Решение: у = х2+ 1

f(x) = х2+ 1

f(-3) = (-3)2+ 1 =10

f(3) = 32 + 1 = 10

f(-3) =f (3) =10


Данная функция называется четной. Запишите определение четной функции.

Определение 1. Функцию у = f(х), х Є Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(- x )=f (x).

График четной функции симметричен относительно оси у.



2. Сравните значения функции у = f (x) = х2 - 4х при х=5 и х = -5

Решение: у = х2 - 4х

f (x) = х2 - 4х

f(-5) = (-5)2 -4·(-5)=-125+20 = -105

f(5) = 52- 4 ·5 = 125-20 = 105

f(-5) = - f(5)


Данная функция называется нечетной. Запишите определение нечетной функции.

Определение 2. Функцию у = f(х), х Є Х называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(- x )= -f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.



Существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными.

Пример: у=2х +3; у= vх; у = (х-1)?



Учащиеся доказывают самостоятельно.

V. Закрепление изученного материала.

Задание№1. Слайд 5

Задание №2

а) Исследуйте функцию на четность.f(x)= 4х62.

Решение: f(x)= 4·(-х)6 -(-х)2 =4х6 – х2

Вывод: f(x) четная функция.

б) f(x)= х2-х +3

Решение: f(-x)= (-х)2- (-х) +3 =х2 + х +3= - (-х2- х -3)

Вывод: функция ни четная, ни нечетная.

VI. Работа в группах.

Задание первой группе.

Для функции, график которой изображен на рисунке, запишите свойства по схеме:

1. Область определения.

2. Область значений.

3. Нули функции.

4. Монотонность.

5. Четность.

6. Непрерывность.

7. Ограниченность.

8. Наибольшее и наименьшее значения функции.



http://festival.1september.ru/articles/586448/img1.jpg

Задание второй группе.

Начертите график какой-либо функции так, чтобы эта функция имела свойства:

1. D(y)=[-5;5]

2. E(y)=[-4;6]

3. Нули функции: х=-3

4. Возрастает в промежутках [-5;0] и [2;5]. Убывает в промежутке [0;2]

5. Наибольшее значение у(0)=3, наименьшее значение у(2)=1.

Задание третьей группе.

Имеет ли четность функция, заданная формулой:



http://festival.1september.ru/articles/586448/img2.jpg

Задание четвертой группе.

Построить график функции:



http://festival.1september.ru/articles/586448/img3.jpg

Записать свойства функции.



VII. Проверка результатов работы в группах.

Слайд№ 6 (Работа первой группы)

Ответ: 1. D(y) = [-3; 3]

2. E(y) = [ -3;2]

3. Нули функции: х= 2

4. Функция возрастает на [-3;-1] и [1;3], убывает на [-1;1].

5. Функция не является четной и нечетной.

6. функция непрерывна.

7. Функция ограничена.

8. Унаим =-3, Унаиб =2.

Слайд 7. (Работа второй группы)

Построение графика функции выполняет ученик на интерактивной доске



Слайд 8. (Работа третьей группы)

Имеет ли четность функция, заданная формулой:



http://festival.1september.ru/articles/586448/img4.jpg

Построение графика функции выполняет ученик на интерактивной доске выполняет ученик на интерактивной доске

Ответ: График функции симметричен относительно оси у, значит, функция четная.

Слайд 9. (Работа четвертой группы)

Построение графика функции выполняет ученик на интерактивной доске

Свойства функции:


  • D(y)= (-http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg; http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg);

  • E(y) = (-http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg; http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg);

  • Убывает на луче (-http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg; 0) и возрастает на луче [0; http://festival.1september.ru/articles/586448/img5.jpg);

  • Ограничена сверху и снизу;

  • Непрерывна;

  • Унаим не существует, У наиб не существует;

  • Выпукла вверх.

VIII. Итог урока.

- Какие функции называются четными?

- Какие функции называются нечетными?

- Как вы считаете, справились ли мы с задачами урока?

- Как оценивают работу каждого участника руководители групп?

- Как каждый из вас оценивает свое участие в коллективной работе?



IX.  Домашнее задание. Записать свойства каждой функции.

http://festival.1september.ru/articles/586448/img6.jpg















ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
В предыдущем параграфе мы обсуждали только те свойства функций, которые в той или иной степени были вам знакомы. Там же было замечено, что запас свойств функций будет постепенно пополняться. О двух новых свойствах и пойдет речь в настоящем параграфе.
Определение 1. Функцию у = f(x), х є Х, называют четной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = f (х).
Определение 2. Функцию у = f(x), х є X, называют нечетной, если для любого значения х из множества X выполняется равенство f (-х) = -f (х).
Пример 1. Доказать, что у = х4 — четная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Но (-х)4 = х4. Значит, для любого х выполняется равенство f(-х) = f(х), т.е. функция является четной.
Аналогично можно доказать, что функции у — х
2,у = х6,у — х8 являются четными.
Пример 2. Доказать, что у = х3~ нечетная функция.
Решение. Имеем: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Но (-х)3 = -х3. Значит, для любого х выполняется равенство f (-х) = -f (х), т.е. функция является нечетной.
Аналогично можно доказать, что функции у = х, у = х
5, у = х7 являются нечетными.
Мы с вами не раз уже убеждались в том, что новые термины в математике чаще всего имеют «земное» происхождение, т.е. их можно каким-то образом объяснить. Так обстоит дело и с четными, и с нечетными функциями. Смотрите: у — х
3, у = х5, у = х7 — нечетные функции, тогда как у = х2, у = х4, у = х6 — четные функции. И вообще для любой функции вида у = х" (ниже мы специально займемся изучением этих функций), где n — натуральное число, можно сделать вывод: если n — нечетное число, то функция у = х" — нечетная; если же n — четное число, то функция у = хn — четная.
Существуют и функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция у = 2х + 3. В самом деле, f(1) = 5, а f (-1) = 1. Как видите, здесь  Значит, не может выполняться ни тождество f(-х) = f (х), ни тождество f(-х) = -f(х).
Итак, функция может быть четной, нечетной, а также ни той ни другой.
Изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.
В определениях 1 и 2 речь идет о значениях функции в точках х и -х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х, и в точке -х. Это значит, что точка -х принадлежит области определения функции одновременно с точкой х. Если числовое множество X вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то X называют симметричным множеством. Скажем, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) — симметричные множества, в то время как [0, +оо), (-2, 3), [-5, 5) — несимметричные множества. Если функция у = f (х) — четная или нечетная, то ее область определения D (f) — симметричное множество. Если же D (f) — несимметричное множество, то функция у = f(х) не является ни четной, ни нечетной.
Учитывая сказанное, рекомендуем при исследовании функции на четность использовать следующий алгоритм.
Алгоритм исследования функции у = f(х) на четность
1.    Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то объявить, что функция не является ни четной, ни нечетной. Если да, то переходить ко второму шагу алгоритма.
2.    Найти f(-х).
3.    Сравнить f (x)= f (-x)
а)    если f(-х) = f(х), то функция — четная,
б)    если f(-х) = -f(х), то функция — нечетная;
в)    если хотя бы в одной точке х є Х выполняется соотношение f(-х) = f(х) и хотя бы в одной точке х є X выполняется соотношение f(-х) = -f(х), то функция не является ни четной, ни нечетной.


Открытый урок по алгебре в 9 классе по теме:

« Четная и нечетная функции»

Учебник и задачник А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс.

Цели: формирование понятий: « симметричное множество», « четная функция», «нечетная функция», научить исследовать функцию на четность, определять по графику четность и нечетность функции, научит строить четные и нечетные функции, проверка усвоения новых знаний умений и навыков.

А также развитие общеучебных навыков: устной и письменной речи, умения задавать вопросы, слушать других, понимать и оценивать, развитие познавательных процессов (внимание, восприятие, памяти, представления и воображения).



Оборудование: кодоскоп, распечатанные пленки для него: определение симметричного множества, решение примера 4, четная и нечетная функция, графики и система координат.

На каждого ученика карточка с алгоритмом и для самостоятельной работы.



Структура урока: 1. Орг. момент.

2.. Подготовка к изучению нового материала и постановка цели урока



  1. Изучение нового материала + закрепление

  2. Подведение итогов урока

  3. С.Р.

Так как в этот день в классе два урока алгебры , то домашнее задание будет дано на втором уроке

Тип урока: изучение и закрепление нового материала

Так как в этот день в классе два урока алгебры , то домашнее задание будет дано на втором уроке

1. Орг. момент.

Приветствие класса, проверка присутствующих в классе.



2. Подготовка к изучению нового материала и постановка цели урока (беседа).

? Что такое область определения функции?

? Как она обозначается?

? Какие элементы называют противоположными:

? Приведите примеры

До сегодняшнего дня мы с вами обсуждали только те свойства функции, которые были вам знакомы. Но запас свойств будет пополняться. Сегодня мы с вами рассмотрим еще два свойства.

Записываем: число, классная работа тема урока: « Четная и нечетная функции»

3. Изучение нового материала и первичное закрепление

А) Для этого нам понадобится новое понятие: «Симметричное множество»

Как вы думаете, что это за множество?

(Обсуждение).

Записываем: Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х

содержит и противоположный элемент – х, то Х называют симметричным множеством.

(Это же определение выводится через кодоскоп)



Определите симметричное множество или нет: (-2; 2), [ -5; 5], [0; ), (), (-2; 3), [-5; 5).

Б) Рассмотрим алгоритм исследование функции на четность. ( каждому ученику раздаются карточки с алгоритмом)

Алгоритм исследования функции на четность


да

нет

да

нет

да
Область определения функции y = f(x) симметричное множество?




Функция не является

ни четной, ни нечетной

2. Найти f (–x)





3. Верно ли, что f (x ) = f ( – x)





4. Найти f (x)



Функция четная



5. Верно ли, что f (x) = f ( – x)



нет



Функция нечетная

Функция не является

ни четной, ни нечетной

Разделим тетрадную страницу на 4 колонки и впишем в них 4 примера.



( Работа выполняется строго по пунктам алгоритма: сначала 1 шаг в первом примере, затем 1 шаг во втором примере, 1 шаг в третьем примере, 1 шаг в четвертом, потом второй шаг в 1 примере и.т.д. Первый пример учитель делает, второй – учитель с подсказкой учеников, третий - ученик, четвертый самостоятельно без проверки).

f(x) =3 x2+x4

1. D( f ) – симметричное множество

2. f(–x) =3 (–x)2+(–x)4 = 3x2+x4

3. f (– x) = f(x)

Функция четная


f(x) = х(5 – x2)

1. D( f ) – симметричное множество

2. f(–x) = –х(5 – (– x)2)

3. f (– x) f(x)

4. f (x) = –(5 – x2)

5. f( – x) = – f(x)

Функция нечетная


f(x) =4 x6x2

1. D( f ) – симметричное множество

2. f(–x) = 4xx2

3. f (– x) = f(x)

Функция четная


f(x) = x7+2x3

1. D( f ) – симметричное множество

2. f(–x) = (–x)7+2(–x)3 = –x7–2x3

3. f (– x) = f(x)

4. – f (x) = –(x7+2x3) = – x7– 2x3

5. f( – x) = – f(x)

Функция нечетная


Давайте проверим как вы самостоятельно решили 4 пример ( сверка с готовым решением по кодоскопу).

В) Рассмотрим более сложные задания ( ученики у доски)

1) f(x) = x3– 3x + 1

2) f(x) =

3) f(x) = [–2; 2),

4) f(x)=3–2 x4

Г) Теперь обсудим геометрический смысл свойства четности и свойства нечетности функции.

Пусть у = f(x) — четная функция, т. е. f(-x) = f(x) для любого х D{f).

Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(x)) и В(-х; f(-x)). Так как f(-x) = f(x), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами, а ординаты одинаковы. Эти точки симметричны относительно оси у.

Таким образом, для каждой точки А графика четной функции у = f(x) существует симметричная ей относительно оси у точка В того же графика.

Это означает, что

Записываем : График четной функции симметричен относительно оси ординат.

(Это же определение выводится через кодоскоп)

Верно и обратное утверждение.

Сформулируйте его.

Записываем: Если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция четная.

(Это же определение выводится через кодоскоп)



Пусть у = f(x) — нечетная функция, т. е. f(-x) = -f(x) для любого х D{f). Рассмотрим две точки графика функции: А(х; f(x)) и В(-х; f(-x)). Так как f(-x) = -f(x), то у точек А и В абсциссы являются противоположными числами и ординаты являются противоположными числами. Эти точки симметричны относительно начала координат.

Таким образом, для каждой точки А графика нечетной функции у = f(x) существует симметричная ей относительно начала координат точка В того же графика.

Это означает, что

Записываем : График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

(Это же определение выводится через кодоскоп)

Верно и обратное утверждение.

Сформулируйте его

Записываем : Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетная.

(Это же определение выводится через кодоскоп)


  1. № 283, 284 устно по чертежам

  2. 285 в тетради самостоятельно. Проверка через кодоскоп

4. Итоги

1) Подведем итог: ( фронтальный опрос)



? Какое множество называют симметричным

? С какими новыми свойствами мы свойствами познакомились

? Назовите этапы алгоритма исследования функции на четность

? Продолжите фразы:

  • график четной функции симметричен относительно…

  • если график функции симметричен относительно оси ординат…

  • график нечетной функции симметричен относительно…

  • если график функции симметричен относительно начала координат…

2) Самостоятельная работа по теме:

Вариант 1

1. Исследовать на четность функциюy = x ( x4 + 1 )

2. На рисунке изображена часть графика четной функции. Достройте график этой функции

Вариант 2

1. Исследовать на четность функцию y = x3

2. На рисунке изображена часть графика нечетной функции. Достройте график этой функции

Самостоятельная работа на карточках по вариантам. Сдается на оценку.