Учебной дисциплины «Действительный анализ» для направления 010400. 62 Прикладная математика и информатика

Аннотация программы учебной дисциплины «Действительный анализ»

для направления 010400.62 – Прикладная математика и информатика
1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины (модуля) «Действительный анализ» являются:

- формирование математической культуры студентов;

- фундаментальная подготовка студентов в области действительного анализа;

- овладение современным аппаратом действительного анализа для дальнейшего использования в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.

Дисциплина «Действительный анализ» включена в вариативную часть математического и естественнонаучного цикла, дополняет базовую дисциплину «Математический анализ». Освоение действительного анализа необходимо для изучения всех дисциплин высшей математики и механики.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля):

общекультурные компетенции:

- способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к исполнению своей профессиональной деятельности ОК-9;

- способность и готовность к устной и письменной коммуникации на родном языке ОК-10;

- способность владения навыками работы с компьютером как средством управлении информацией ОК-11;

- способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях ОК-12;

научная и научно-исследовательская деятельность:

- способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук. математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теории, связанных с прикладной математикой и информатикой ПК-1;

- способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии ПК-2;

проектная и производственно-технологическая деятельность:

- способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников ПК-6;

- способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам ПК-7;

- способность формировать суждения о значении и последствиях своей профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и этических позиций ПК-8;

- способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования ПК-9;

организационно-управленческая деятельность:

- способность приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в профессиональной и социальной деятельности ПК-11;

- способность использовать основы защиты производственного персонала и населения от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий и применения современных средств поражения, основных мер по ликвидации их последствий, способность к общей оценке условий безопасности жизнедеятельности ПК-13.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать: основные понятия, определения и свойства объектов действительного анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

уметь: доказывать утверждения действительного анализа, решать задачи действительного анализа, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

владеть: аппаратом действительного анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Действительный анализ»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц.

Содержание

Предмет действительного анализа, сведения о множествах и логической символике, отображение и функции.

Действительные числа: алгебраические свойства множества R. действительных чисел; аксиома полноты множества R. Действия над действительными числами, принцип Архимеда. Основные принципы полноты множества R: существование точной верхней (нижней) грани числового множества, принцип вложенных отрезков, дедекиндово сечение, лемма о конечном покрытии.

Теория пределов: предел числовой последовательности; основные свойства и признаки существования предела; предельные точки множества и теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности; предел монотонной последовательности; число «e», верхний и нижний пределы; критерий Коши существования предела.

Числовые ряды: сходимость и сумма числового ряда; критерий Коши; знакопостоянные ряды; сравнение рядов; признаки сходимости Даламбера, Коши; признак Лейбница; абсолютная и условная сходимость; преобразование Абеля и его применение к рядам; перестановка членов абсолютно сходящегося ряда; теорема Римана; операции над рядами; двойные ряды; понятие о бесконечных произведениях.

Топология на R; предел функции в точке; свойства пределов; бесконечно малые и бесконечно большие функции и последовательности; предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к аргументу; общая теория предела; предел функции по базису фильтра (по базе); основные свойства предела; критерий Коши существования предела; сравнение поведения функций на базе; символы «о», «О», «~».

*Итерационные последовательности; простейшая форма принципа неподвижной точки для сжимающего отображения отрезка, итерационный метод решения функциональных уравнений.

Непрерывные функции: локальные свойства непрерывных функций; непрерывность функции от функции; точка разрыва; ограниченность функции, непрерывной на отрезке; существование наибольшего и наименьшего значений; прохождение через все промежуточные значения; равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке; монотонные функции, существование и непрерывность обратной функции, непрерывность элементарных функций.

Функциональные последовательности и ряды, равномерная сходимость; признаки равномерной сходимости; теорема о предельном переходе; теоремы о непрерывности, почленном интегрировании и дифференцировании; степенные ряды, радиус сходимости, формула Коши – Адамара; равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда; почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов; ряд Тейлора; разложение элементарных функций в степенные ряды; оценка с помощью формулы Тейлора погрешности при замене функции многочленом; ряды с комплексными членами; формулы Эйлера; применение рядов к приближенным вычислениям; теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами.

Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций; признаки сходимости; интегралы, зависящие от параметра; непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру; несобственные интегралы, зависящие от параметра: равномерная сходимость, непрерывность, дифференцирование и интегрирование по параметру; применение к вычислению некоторых интегралов; функции, определяемые с помощью интегралов, бета- и гамма-функции Эйлера. Интегральный признак сходимости числового ряда.

Ряды Фурье: ортогональные системы функций; тригонометрическая система; ряд Фурье; равномерная сходимость ряда Фурье; признаки сходимости ряда Фурье в точке; принцип локализации; минимальное свойство частных сумм ряда Фурье; неравенство Бесселя; достаточное условие разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем; равенство Парсеваля; интеграл Фурье и преобразование Фурье.
Составитель: доцент В.В.Сельвинский