Учебное пособие для студентов заочного обучения специальности 2301 Издательство Московского государственного университета

Министерство образования

Российской Федерации

Московский государственный университет леса

_____________________________________________________________________________

В.В. Быков А.И. Родионов

Математические методы и модели
Учебное пособие
для студентов заочного обучения

специальности 2301

Издательство Московского государственного университета

Москва 2002

УДК 519.6

6Л2 Быков В.В., Родионов А.И. Математические методы и модели: Учебно методическое пособие для студентов заочного обучения специальностей: 2301 — М.: МГУЛ, 2002. - 40 с.

Учебное пособие включает рассмотрение таких основополагающих математических понятий как вектора, матрицы. В пособии рассматриваются вопросы управления запасами на складе, однокритериальной и многокритериальной оптимизации, решение задач линейного программирования симплекс—методом. Данное учебное пособие будет полезно и для студентов других факультетов МГУЛ.
Разработано в соответствии с Государственным обязательным стандартом ВПО 2000 г. для направления подготовки ______________ на основе примерной программы дисциплины «____________________» для специальности «__________________» __________ года.

Одобрено и рекомендовано к изданию в качестве учебно методического пособия редакционно издательским советом университета

Рецензент — профессор А.М. Ветошкин
Кафедра прикладной математики

Авторы: Владимир Васильевич Быков, доцент, Александр Иванович Родионов, доцент

1. Математические модели, их создание и совершенствование
Особенностью настоящего времени является широкое применение математических методов, и ЭВМ в различных областях человеческой деятельности: в науке, технике, экономике, медицине и даже в лингвистике. Такое широкое внедрение математики в сферу общественно-политической, производственной и др. областей жизни вызвано необходимостью анализа и прогнозирования происходящих явлений и процессов в обществе и природе. Для осуществления указанных целей, прежде всего, необходимо разработать математическую модель рассматриваемого явления, процесса или объекта.

Математическая модель - это описание наиболее существенных свойств и особенностей явления на языке математических понятий и уравнений.

Математическая модель, основанная на упрощении, идеализации, не тождественна реальному явлению, объекту, а является его приближенным описанием. Однако благодаря замене реального объекта приближенной моделью становится возможным его математическое описание и применение математического аппарата для его анализа. Математика позволяет провести детальный анализ рассматриваемого явления, предсказать его поведение в различных условиях и в будущем.

Сложность математической модели и ее исследования зависит от сложности исследуемого объекта. Если раньше математические методы и модели применялись лишь в механике, физике, астрономии, изучающих простейшие формы движения, то с появлением ЭВМ и развитием вычислительной математики математические методы находят применение и в других областях деятельности человека.

Построение модели объекта, явления начинается с выделения его наиболее существенных черт и свойств и описания их с помощью математических соотношений. Затем, после создания математической модели, ее исследуют математическими методами, т.е. решают сформулированную математическую задачу.

В качестве примера рассмотрим задачу определения площади поверхности стола. Моделью этой поверхности, на первый взгляд, может служить прямоугольник со сторонами, равными сторонам стола. Если же длины противоположных сторон стола и его диагоналей окажутся не. равными, в качестве модели нужно принять четырехугольник. Для более точного определения площади стола необходимо учесть еще округления его угловых кромок. Таким образом, с повышением требований к точности определения площади стола его математические модели постоянно уточняются. Следовательно, математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом. Выбор конкретной модели определяется требованиями ее точности!

Построение математической медали является одним из наиболее сложных и ответственных этапов исследования объекта. Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она основывается на упрощении, идеализации и является приближениям описанием объекта. Поэтому, результаты, получаемые на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Вопрос о точности является важнейшим в прикладной математике. Однако, он не является чисто математическим вопросом и не может быть решен математическими методами. Основным критерием истины является эксперимент, т.е. сопоставление результатов, получаемых на основе математической модели, с рассматриваемым объектом. Только практика позволяет сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наиболее простую и достоверную, указать области применимости различных моделей и направление их совершенствования. Рассмотрим развитие модели на примере известной задачи баллистики об определении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью под углом к горизонту. Для начала, предположим, что скорость и дальность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет справедлива математическая модель Галилея, основанная на следующих допущениях:

1) Земля - инерциальная система;

2) ускорение свободного падения ;

3) Земля - плоское тело;

4) сопротивление воздуха отсутствует.

В этом случав составляющие скорости движения тела по осям х и у равны

а их пути

,

где t - время движения.

Определяя t из первого уравнения и подставляя его во второе, получаем уравнение траектории тела, представляющее собой параболу

из условия получаем дальность полета тела

(1)

Однако, как показывает практика, результаты, получаемые на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при малых начальных скоростях движения тела v дальность полета становится меньше величины, даваемой формулой (1).

Такое расхождение эксперимента с расчетной формулой (1) говорит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивление воздуха.

Рис. 1. Траектория полета тела.

Дальнейшее уточнение модели баллистической задачи в части учета сопротивления воздуха было сделано Ньютоном. Это позволило с достаточной точностью рассчитывать траектории движения пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными скоростями.

Переход от гладкоствольного к нарезному оружию позволил увеличить скорость, дальность и высоту полета снарядов, что вызвало дальнейшее уточнение математической модели задачи. В новой математической модели были пересмотрены все допущения, принятые в модели Галилея, т.е. Земля уже не считалась плоской и инерциальной системой, и сила земного притяжения не принималась постоянной.

Последующее совершенствование математической модели задачи связано с использованием методов теории вероятности. Это было вызвано тем, что параметры снарядов, орудий, зарядов и окружающей среды в силу допусков и других причин не остаются неизменными, а подчиняются случайным колебаниям.

В результате последовательных уточнений и усовершенствований была создана математическая модель наиболее полно и точно описывающая задачу внешней баллистики. Сопоставление ее данных с результатами стрельб показало хорошее их совпадение.

На этом примере показаны этапы создания, развития и уточнения математической модели объекта, которые сопровождаются постоянно сопоставлением и проверкой практикой, т.е. с самим реальным объектом или явлением. Именно не достаточно хорошее совпадение результатов, предоставляемых моделью, с объектом вызывает дальнейшее совершенствование модели.
2. Подбор эмпирических формул

При обработке экспериментальных данных часто приходится представлять их в виде некоторой приближенной зависимости типа . Задача формулируется следующим образом. Пусть в результате измерений получена таблица данных

			…
			…

Необходимо построить зависимость , приближенно отображающую эти данные. Эта зависимость называется эмпирической формулой.

Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным. В этом случае предпочтение отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Вид их первоначально можно выбрать из геометрических соображений.
3. Определение параметров эмпирической формулы

3.1. Метод выбранных точек
Пусть получена некоторая таблица данных . На плоскости наносим эти точки, а затем проводим простейшую кривую , примыкающую к этим точкам. На этой линии выбираем точки, которые могут не принадлежать табличным значениям. Число выбранных точек должно быть равным количеству исходных параметров эмпирической зависимости. Координаты этих точек тщательно измеряются и используются для вычисления коэффициентов эмпирической зависимости.

Если используется эмпирическая зависимость

,

то для вычисления коэффициентов нужно задать точку. В результате, для вычисления получим систему линейных уравнений:

так как значения и известны.
3.2. Метод средних
Этот метод заключается в том, что параметры эмпирической зависимости определяются из условия равенства нулю суммы отклонений ее табличных значений во всех точках :

Поскольку из одного уравнения нельзя однозначно определить коэффициент эмпирической формулы , а других условий нет, то уравнение разбивают на систему уравнений. Например:

Решая систему, находим неизвестные параметры .

Пример. Рассмотрим торможение движущегося тела.

	0	5	10	15	20	25
	0	106	182	234	261	275

Считая движение равнозамедленным, найти приближенные значения скорости и ускорения тела.

Решение. Согласно физическим соображениям, уравнение движения имеет вид следующей эмпирической зависимости:

Из таблицы следует, что , т.к. при . Отсюда получаем

Для определения параметров и нужно получить два уравнения. Воспользуемся методом средних и запишем уравнение для всех точек (кроме начальной).

Запишем вместо этого уравнения систему двух уравнений путем расщепления:

Используя выражение и табличные данные, получаем систему

Откуда и находим: .

Следовательно, эмпирическую зависимость можно записать в виде

Тогда получаем приближенное значение ускорения , а приближенное значение скорости при .
3.3. Метод наименьших квадратов
Этот метод находит самое широкое применение на практике и обеспечивает приемлемую точность.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек

Параметры эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции

.

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых переменных функции , то ее минимум найдем, приравняв к нулю частные производные по этим переменным:

Полученные соотношения - система уравнений для определения . Для примера рассмотрим применение в качестве эмпирической функции многочлена

Тогда

;

…………………………………………………..

Приравнивая эти выражения к нулю, и собирая коэффициенты при неизвестных , получаем следующую систему уравнений:

Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты , которые и являются искомыми параметрами эмпирической формулы.

После того как уравнение найдено, можно оценить, насколько хорошо оно приближает результаты наблюдений. Для этого вычисляется так называемая средняя квадратическая погрешность или ошибка уравнения, которую будем обозначать буквой :

Чем меньше , тем ближе результаты наблюдений к заданной эмпирической кривой.

Замечание 1. Вычисление средней квадратической погрешности имеет большое значение тогда, когда наряду с моделью линейной зависимости от рассматриваются и другие модели, другие уравнения зависимости. Для каждого из уравнений следует найти свою среднюю квадратическую погрешность, после чего выбрать из них минимальную. Соответствующая модель и является наилучшей.

Замечание 2. Возможно рассмотрение параметра от нескольких параметров , например, в таком виде:

4. Приближенное решение нелинейных уравнений

4.1. Основные понятия и определения
Задачи вычисления корней нелинейных уравнений часто встречаются при научных исследованиях. Корнем, решением нелинейного уравнения

называется такое значение которое превращает уравнение в тождество

Нелинейные уравнения обычно подразделяют на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются уравнения, содержащие алгебраические функции. Уравнения, содержащие тригонометрические показательные, логарифмические и др. функции, называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений бывают прямыми и итерационными. Прямые методы дают решение в виде конечной формулы и применимы лишь к узкому классу уравнений. Для решения большинства нелинейных уравнений применяются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения обычно состоит из двух этапов:

Отделения корней, т.е. определения промежутков , содержащих отдельные корни;
Уточнения приближенных корней, т.е. доведения их до заданной степени точности.

4.2. Отделение корней уравнения
При отделении корней уравнения пользуются теоремой: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения . Корень будет единственным, если первая производная функции существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .

Отделение корней начинаем с определения знаков в крайних точках и в ряде промежуточных точек , которые выбираются из анализа особенностей функции . Если на некотором интервале окажется , то согласно теореме на этом интервале имеется корень . Чтобы убедиться в существовании единственного корня на отрезке, нужно провести процесс половинного деления, определяя знаки в точках деления. При отделении корней алгебраического уравнения

следует помнить, что оно имеет корней (в том числе комплексных). Если для такого уравнения получаем перемену знаков, то все его корни отделены.

Пример. Отделить корни уравнения

Это уравнение имеет не более 3 действительных корней. Составим таблицу знаков функции в различных точках:

		-3	-1	0	1	3
Знак функции	-	-	+	+	-	+	+

Из таблицы видно, что функция имеет 3 действительных корня, лежащих в интервалах (-3,-1), (0,1), (1,3).

4.3. Метод половинного деления
Пусть требуется найти корень уравнения на отрезке . Отрезок либо задан заранее, либо получен методом отделения корней.

Решение задачи выполняется следующим образом. Проверяем условие существования корня на отрезке : . Если это условие выполнено, приступаем к вычислению корня. Делим отрезок пополам точкой и вычисляем значение функции в точке . Далее проверяем, на каком из двух отрезков или располагается корень. Для этого достаточно проверить знак произведения или , Если , а , то корень располагается на отрезке . Следовательно отрезок нужно отбросить и искать корень на отрезке . Обозначим его . Затем полученный отрезок вновь делим пополам, вычисляем значение функции в центральной точке и определяем, на какой из получившихся половинок располагается корень. После чего уменьшенный отрезок, содержащий корень, вновь делится пополам и т.д. В результате половинного деления отрезка получаем последовательность вложенных друг в друга отрезков , ,…,, таких, что при Длина этих отрезков уменьшается по закону:

Процесс половинного деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной погрешности :

При этом, среднюю точку отрезка можно принять за приближенное значение корня

5. Основные понятия алгебры матриц

5.1. Основные понятия и определения
Матрицей называется система чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов

Если , то матрицу называют квадратной. Квадратная матрица вида

называется диагональной. Если в диагональной матрице равны 0, то такая матрица называется единичной и обозначается буквой . Матрица называется нулевой, если все элементы матрицы равны 0. Нулевая матрица обозначается через . Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ее ниже главной диагонали равны 0, и нижней треугольной, если все элементы ее выше главной диагонали равны 0.

Матрица называется ленточного типа, если ненулевые элементы ее располагаются параллельно главной диагонали, а остальные равны 0.

Каждой квадратной матрице соответствует определитель (детерминант), который обозначается :

5.2. Действия с матрицами
Матрицы и называются равными , если они одного типа и соответствующие элементы их равны: . В этом случае имеет смысл и операция сравнения , которая означает, что . Если матрицы и одного типа, то имеют смысл операции сложения и вычитания матриц:

Матрицу можно умножить на число . В результате получается матрица , элементы которой получены умножением всех элементов матрицы на число :

Если квадратная матрица типа , то определитель матрицы равен:

Для матриц также существует и операция умножения матриц. Пусть и - матрицы типов и соответственно. Если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , т.е. , то для этих матриц существует матрица типа , являющаяся их произведением:

, где

Если в матрице поменять местами строки на столбцы, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают как .

Матрица называется симметричной, если совпадает со своей транспонированной.
5.3. Обратная матрица
Матрица называется обратной матрицей, если .

Квадратная матрица называется неособенной, если ее определитель не равен 0. В противном случае матрица называется особенной или сингулярной.

Присоединенной или союзной матрицей называется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов неособенной матрицы. Причем алгебраические дополнения элементов строк помещаются в соответствующих столбцах, т.е. производится транспонирование элементов. Алгебраическое дополнение есть определитель матрицы , в которой вычеркнуты строка и столбец, умноженный на .

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу. Если разделить все элементы союзной матрицы на величину определителя матрицы , то полученная матрица и будет обратной матрицей матрицы :

5.3. Ранг матрицы
Определитель матрицы, состоящей из строк и столбцов, называется минором го порядка матрицы . Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от 0. Матрица имеет ранг , если найдется хотя бы один ее минор го порядка отличный от 0, а все остальные миноры порядка и выше равны 0.

5.4. Собственные значения и собственные векторы матриц
Собственным значением матрицы называется такое число, которое удовлетворяет уравнению

,

а вектор , соответствующий данному собственному значению называется собственным вектором матрицы . Перенеся неизвестные в левую часть, получим

(5.4.1)

Это однородная система линейных уравнений. Она имеет ненулевое решение лишь при условии, что

Из этого уравнения определяются собственные значения матрицы

Матрица называется характеристической, а определитель называется характеристическим определителем. Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям определяются из уравнения (5.4.1).
6. Векторы

6.1. Основные понятия и определения
Упорядоченная совокупность объектов (чисел) называется точкой или вектором мерного векторного пространства. Вектор обозначается

Числа называются координатами вектора. Единичный вектор мерного пространства есть вектор у которого я координата единица, а все остальные равны 0.

Нулевой вектор представляет собой вектор, все координаты которого равны 0. Два вектора равны когда равны их одноименные координаты.

6.2. Операции над векторами
Сумма двух мерных векторов есть мерный вектор, координаты которого есть сумма одноименных координат суммируемых векторов.

Разность двух векторов есть вектор, координаты которого равны разности одноименных координат вычитаемых векторов.

Произведение мерного вектора на число есть мерный вектор координаты которого равны координатам исходного вектора, умноженным на это число.

Скалярное произведение двух мерных векторов есть число, равное сумме произведений их одноименных координат. Два мерных вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Для каждого мерного вектора его длина определяется выражением

Расстояние между двумя векторами и есть длина вектора , которая определяется выражением

6.3. Линейная комбинация векторов
Пусть дана система векторов. Каждый вектор имеет координат:

,,…,. Умножим каждый вектор на число и сложим их. В результате получим мерный вектор

который называется линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации этих векторов. Для координат вектора справедливы следующие выражения:

Таким образом, если вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов , то говорят, что вектор разлагается по векторам или линейно выражается через эти векторы. Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации единичных векторов мерного пространства с коэффициентами, равными координатам вектора.

6.4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
Дана система мерных векторов . Векторы этой системы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равно нулевому вектору только при нулевых значениях коэффициентов , т.е. . Если равенство выполняется при значениях не все из которых равны 0, то система векторов называется линейно зависимой. Линейная зависимость и линейная независимость является свойством системы векторов, а не отдельного вектора, входящего в систему. единичных векторов мерного пространства линейно независимы.
6.5. Базис системы векторов
Дана система мерных векторов . Ранг системы векторов есть число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из координат векторов системы:

Базисом системы векторов, имеющей ранг , называется любая совокупность из линейно-независимых векторов этой системы. Любой вектор может быть единственным образом выражен как линейная комбинация базисных векторов. Разложение вектора по векторам базиса единственно.

6.6. Таблица разложения векторов по векторам базиса
Пусть дана система мерных векторов . Составим разложение системы по векторам единичного базиса .

Запишем это разложение в следующую таблицу (см. табл. 1):

Таблица 1

Табл. 1 называется таблицей разложения векторов по векторам базиса. Система векторов может содержать один или более базисов. Каждому базису соответствует своя таблица разложения. Таблицу разложения без вычисления можно составить только по единичному базису. Таблицу разложения по базису, отличному от единичного можно получить последовательным переходом (пересчетом) от одной таблице к другой, исходя из таблицы разложения по единичному базису.

Пусть дана таблица векторов , разложенная по единичному базису .

Будем замещать в базисе вектор на вектор . Это возможно только при условии . Тогда базисом новой таблицы будет являться система векторов . Элемент называется ключевым элементом. Строка и столбец с ключевым элементом называются ключевыми. Правила пересчета таблицы разложения векторов по новому базису состоят в следующем. В новой таблице на месте ключевого элемента ставится единица. Все остальные элементы этого столбца равны нулю. Элементы той строки определяются по формуле:

,

Все остальные элементы вычисляются по формуле:

В результате получим новую таблицу разложения

7. Системы линейных уравнений

7.1. Основные понятия и определения
Система линейных уравнений с неизвестными имеет следующий вид:

При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению. Величины , называемые коэффициентами системы и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов не равен нулю, то система называется неоднородной. Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных. Решением системы называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему на место неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система может иметь более одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной, если у нее существует по крайней мере два различных решения.

Линейную систему удобно записывать в матричной форме

где , ,

Решение матричного уравнения заключается в отыскании такого вектора , который при заданной матрице и заданном векторе обращает уравнение в тождество.

В результате линейных преобразований системы линейных уравнений, можно получить новую систему, эквивалентную исходной. Две системы называются эквивалентными, если решение одной из них является решением и другой. К линейным преобразованиям относятся:

Перестановка двух уравнений системы.
Сложение или вычитание числа из обеих частей уравнения.
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число.
Сложение или вычитание одного уравнения с другим, предварительно умноженным на какое-либо число.
Перенесение членов из одной части в другую часть уравнения с обратным знаком.

Указанные преобразования используются при решении систем линейных уравнений.
7.2. Метод Гаусса
Идея метода состоит в следующем. Дана система линейных уравнений с неизвестными. Применяя линейные преобразования уравнений, систему приводим к эквивалентной треугольной системе следующего вида:

В этой системе сначала из последнего уравнения определяется величина , а затем последовательной подстановкой определяются величины остальных неизвестных. Преобразование исходной системы в треугольную осуществляется с помощью линейных преобразований системы.
7.3. Правило Крамера
Решение системы уравнений осуществляется по формуле

,

Здесь это матрица, полученная из матрицы , в которой тый столбец коэффициентов заменен столбцом свободных членов - вектором .

Правило Крамера используется лишь для небольших систем линейных уравнений, поскольку оно требует вычисления большого количества определителей. следующая страница >>