Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Фактор-кольцо - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебно-методическое пособие Ижевск 2012 резьбовые соединения учебно-методическое... 1 403.92kb.
Учебно-методическое пособие Н. Новгород 2011 ббк 74. 5 В 12 2 591.49kb.
Учебно-методическое пособие по специальности 1-08 01 01 «Профессиональное... 4 1608.91kb.
Учебно-методическое пособие к лабораторным занятиям Красноярск сфу... 2 427.84kb.
Случайные процессы учебно-методическое пособие Москва 2006 1 231.5kb.
Учебное пособие по гармонии предназначается для студентов музыкального... 3 1861.05kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 417.26kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 180.52kb.
Под общей ред. М. В. Гамезо Общая психология Учебно-методическое... 11 5027.04kb.
Учебно-методическое пособие для студентов специальности 5В073100... 4 1356.67kb.
Учебно-методическое пособие для студентов исторического факультета... 2 485.1kb.
Альтернативных колец 1 48.51kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Учебно-методическое пособие Саранск 2012 Фактор-кольцо - страница №1/1

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебра в примерах и задачах.

Фактор-кольца. Поле расширения многочлена f над полем

Учебно-методическое пособие



Саранск 2012
Фактор–кольцо
Пусть –произвольное кольцо, – его двусторонний идеал. Тогда можно построить фактор–группу аддитивной группы кольца по подгруппе, состоящей из всех элементов идеала . Если в этой фактор–группе ввести еще операцию умножения по правилу , где , то получится кольцо, называемое фактор–кольцом кольца по двустороннему идеалу . Это фактор–кольцо обозначается символом .

Задача 77. Построить фактор–кольцо .

Решение. Фактор–кольцо состоит всего из двух элементов: класса и класса , где . Сложение и умножение в осуществляется согласно следующих таблиц Кэли:
































































Задача 78. Построить фактор–кольцо по идеалу .

Решение. , . Найдем фактор–группу . Она состоит из классов , , , , , .

Сложение и умножение в осуществляется по следующим таблицам Кэли:




























































































































































































































































































































Из таблицы умножения видно, что есть кольцо с единицей и делителями нуля, которыми являются классы
Кольцо классов вычетов по , где многочлен

истинной степени , заданный над полем
Пусть , .

Разделим каждый многочлен из кольца на и отметим множество остатков, получающихся при этом делении:

.

Построим множество классов .

Сложение и умножение в производим по правилам:

.

В итоге получается фактор-кольцо кольца по .

Задача 79. Построить фактор–кольцо .

Решение. Рассмотрим все остатки, которые получаются при делении многочленов из на : , . Множество остатков .

Следовательно, . Таблицы сложения и умножения выглядят следующим образом:







































































































































































Построение поля расширения многочлена над полем
Если многочлен , где – поле, не имеет в этом поле ни одного корня, то всегда можно построить новое поле , которое содержит в себе как часть поле и имеет хотя бы один корень многочлена (причем это поле минимальное). Такое поле называется полем расширения многочлена .

Задача 80. Построить поле расширения многочлена

.

Решение.

. Для многочлена ни один из элементов поля корнем не является. Построим фактор–кольцо . Сложение и умножение в этом кольце осуществляется по таблицам:




























































































































































































































































































































































































































































































































































































































Заметим, например, надо умножить на : ; делим на ; в остатке получаем 1; .

Фактор–кольцо является полем, т. к. в нем каждый отличный от элемент обратим: , , , , , , , .

Рассмотрим . Структура изоморфна полю :

.

Условия изоморфизма выполнены, т. к. , , при любых .

Мы построили поле, в которое как часть входит поле .

Найдем в корень многочлена . Им является класс . Проверим это:

, т. к. при делении на себя в остатке получается 0. По определению, –корень многочлена над полем .

Это поле и является полем расширения многочлена .


ЛИТЕРАТУРА





  1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.

  3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.

  4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.

  5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.

  6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.

  7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.

  8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.

  9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.

  10. Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

  11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.

  12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.

  13. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.

  14. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.

  15. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.

  16. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.

  17. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.

  18. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.