Учебно-методический комплекс для студентов очной формы обучения направление подготовки 030900. 62 Юриспруденция

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Российская академия правосудия

Центральный филиал

Кафедра правовой информатики, информационного права

и естественнонаучных дисциплин

элементы теории вероятностей и

математической статистики

в юридической деятельности
Учебно-методический комплекс

для студентов очной формы обучения

направление подготовки 030900.62 Юриспруденция
Квалификация (степень) «Бакалавр»

Воронеж

2011

Автор: Мишин Александр Владимирович, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Центрального филиала ГОУ ВПО РАП.
Рецензенты:

Мистров Леонид Евгеньевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Центрального филиала ГОУ ВПО РАП;

Стародубцев Виктор Сергеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой естественнонаучных дисциплин филиала Российского государственного социального университета в г. Воронеже.

Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями, установленными вузом по направлению подготовки 030900.62 Юриспруденция.

Одобрен на заседании кафедры правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Центрального филиала Российской академии правосудия (протокол № 2 от 26 сентября 2011 г.).

Утверждён Учебно-методическим советом Центрального филиала ГОУ ВПО РАП от 26 октября 2011 г., протокол № 2.

Российская академия правосудия, 2011.

Мишин А.В., 2011.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
Объём дисциплины и виды учебной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
Тематический план . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
Планы практических занятий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
Методические рекомендации по изучению курса и организации самостоятельной работы студентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
Примерная тематика контрольных заданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
Примеры тестовых заданий для проведения рубежной аттестации . . . . . . .	36
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
Вопросы для подготовки к зачёту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
Приложение 1. Образец титульного листа контрольного задания . . . . . . .	43
Приложение 2. Таблица случайных чисел для выполнения задания 8 . . . .	44
Приложение 3. Таблица значений функции Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . .	45

Введение
Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности  модуль (курс) вариативной части информационно-правового цикла, предметом изучения которого являются пути измерения и числовая характеристика степени объективной возможности появления какого-либо определённого события в массе однородных случайных событий, могущих повторяться неограниченное число раз.

Курс «Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности» играет важную роль в подготовке бакалавров. Его значение обусловлено тем, что методология теории вероятностей и математической статистики позволяет эффективно исследовать широкий круг социально значимых процессов и проблем в юридической деятельности, позволяет обучающемуся получить углубленные знания и навыки для успешной профессиональной деятельности и продолжения профессионального образования в магистратуре. Во всех случаях, когда в исследованиях применяются методы теории вероятности, их цель состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное (и часто практически невозможное) изучение отдельного события, обусловленного очень большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных событий. Знание этих законов позволяет не только осуществить прогноз в своеобразной области случайных событий, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход этих событий, контролировать их и ограничивать сферу действия случайности.

Основная цель курса  сформировать у студентов знания, умения и навыки на уровне, обеспечивающем возможность самостоятельного применения методов теории вероятностей и математической статистики для получения, обобщения и анализа информации о социально значимых проблемах и процессах.

Достижению данной цели служат следующие задачи:

1) показать применимость теории вероятностей и математической статистики для изучения закономерностей в случайных явлениях;

2) научить использовать статистический метод как систему принципов, требований, правил, руководствуясь которыми можно получать, обобщать и анализировать информацию о социально значимых проблемах и процессах;

3) раскрыть фундаментальные понятия о случайных событиях и случайных величинах, количественных и качественных методах их оценки;

4) привить умения и навыки вычисления вероятностей случайных событий, числовых характеристик случайных величин, а также статистической обработки эмпирических данных;

5) раскрыть диалектическую связь социально значимых явлений и процессов со случайностью.

В результате изучения курса студент должен:

знать:

предмет и фундаментальные понятия теории вероятностей и математической статистики; основные законы распределения вероятностей и числовые характеристики случайных величин; сущность статистического метода обработки эмпирических данных о социально значимых явлениях;

уметь:

применять вероятностный и статистический методы познания в юридической деятельности; использовать полученные знания для анализа социально значимых проблем и процессов, решения социальных и профессиональных задач;

обладать компетенциями:

способен понимать сущность и значение вероятностного и статистического методов, сознавать их ограничения и допущения при анализе социально-правовых явлений современного общества;

владеет основными методами вычисления вероятностей случайных событий и числовых характеристик случайных величин, навыками статистической обработки эмпирических данных;

способен проводить статистическую обработку результатов наблюдений;

владеть:

навыками отыскания безусловных и условных вероятностей случайных событий, числовых характеристик случайных величин; навыками графического представления эмпирических данных и точечной оценки параметров эмпирического распределения.

Изучение дисциплины базируется на знаниях студентов по математике и информатике, полученных в образовательных учреждениях, и обеспечивает дисциплину «Судебная статистика».

Структурно курс состоит из двух разделов.

В первом разделе рассматриваются основные понятия теории вероятностей, формулируются основные способы задания дискретных и непрерывных случайных величин, приводятся примеры законов распределения случайных величин, излагаются правила вычисления основных характеристик случайных величин.

Второй раздел охватывает понятийный аппарат математической статистики, способы представления выборочных данных, примеры точечных и интервальные оценок параметров эмпирического распределения, содержание процедуры статистической проверки гипотезы.

Основной учебный материал выдаётся на практических занятиях. Полученные знания углубляются и расширяются в процессе самостоятельного изучения тем курса и выполнения контрольного задания.

Индивидуализация обучения на занятиях обеспечивается учётом уровня подготовки студентов, использованием персональных компьютеров для автоматизации сложных вычислений, контролем качества отработки практических заданий и контрольного задания каждым студентом. В этой связи занятия проводится в компьютерном классе в составе учебной подгруппы.

Изучение курса завершается сдачей зачёта. Студенты, не выполнившие контрольное задание, к сдаче зачёта не допускаются.

Объём дисциплины и виды учебной работы

Виды учебной работы (по учебному плану)	Количество зачётных единиц и часов по очной форме обучения
Зачётные единицы – общая трудоёмкость	1 з.е. – 36 ч.
Всего аудиторных занятий из них:	18
Лекции	-
Практические занятия	18
Самостоятельная работа под контролем преподавателя и НИРС	18
Форма итогового контроля	Зачёт

Тематический план

№ № п/п	Разделы (темы) дисциплины	Количество часов по видам учебных занятий (по учебному плану)
		Лекции	Практические занятия	С/р
Раздел № 1. Элементы теории вероятностей
1	Тема № 1. Случайные события и вероятности	-	2	2
2	Тема № 2. Элементы комбинаторики	-	2	2
3	Тема № 3. Условные и безусловные вероятности	-	2	2
4	Тема № 4. Априорные и апостериорные вероятности событий	-	2	2
5	Тема № 5. Случайные величины и законы их распределения	-	2	2
6	Тема № 6. Числовые характеристики случайных величин	-	2	2
Раздел № 2. Элементы математической статистики
7	Тема № 7. Вариационные ряды и способы их представления	-	2	2
8	Тема № 8. Оценки параметров эмпирического распределения	-	2	2
9	Тема № 9. Статистическая проверка гипотез	-	2	1
10	Форма итогового контроля – зачёт	-	-	1

Программа курса
Раздел № 1. Элементы теории вероятностей
Тема № 1. Случайные события и вероятности

Случайные события и их классификация. Пространство элементарных исходов. Операции (сумма, произведение, разность) над событиями. Аксиоматика теории вероятностей А.Н. Колмогорова и основные следствия из неё. Интерпретации вероятности.

Тема № 2. Элементы комбинаторики

Основные правила (суммы и произведения) комбинаторики. Факториал числа. Простейшие комбинаторные конфигурации: размещения, перестановки, сочетания.

Тема № 3. Условные и безусловные вероятности событий

Условные вероятности событий. Теорема умножения вероятностей. Безусловные вероятности событий. Вероятность заданного числа наступления события в серии опытов. Формула Бернулли.

Тема № 4. Априорные и апостериорные вероятности событий

События-гипотезы. Полная группа несовместных событий. Априорные вероятности событий. Формула полной вероятности. Апостериорные вероятности событий. Формула Байеса и условия её применения.

Тема № 5. Случайные величины и законы их распределения

Понятие случайной величины. Функция распределения случайной величины и её основные свойства. Дискретные случайные величины и способы задания законов их распределения. Непрерывные случайные величины и способы задания законов их распределения. Основные свойства плотности распределения вероятностей случайной величины.

Тема № 6. Числовые характеристики случайных величин

Характеристики положения случайной величины. Характеристики рассеивания случайной величины. Основные свойства математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины. Математические ожидания и дисперсии основных законов распределения случайных величин.

Раздел № 2. Элементы математической статистики
Тема № 7. Вариационные ряды и способы их представления

Содержание метода математической статистики. Выборка и способы её представления (гистограмма, полигон, кумулята). Относительная частота вариант.

Тема № 8. Оценки параметров эмпирического распределения

Статистика оцениваемого параметра. Особенности точечных и интервальных оценок параметров эмпирического распределения. Эмпирическое среднее, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Понятие доверительной вероятности и правила построения доверительного интервала для математического ожидания оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Тема № 9. Статистическая проверка гипотез

Понятие статистической гипотезы. Основная и альтернативная, простая и сложная гипотезы. Содержание процедуры проверки гипотезы. Область принятия гипотезы, критическая область. Ошибки первого и второго рода. Проверка гипотез о виде распределения.

Планы практических занятий
Практическое занятие № 1

Тема: Случайные события и вероятности

1. Случайные события и их классификация.

2. Операции над событиями.

3. Интерпретации вероятности.

Литература:

основная:

1*. Мишин А.В. Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности: практикум / А.В. Мишин; ГОУ ВПО «Российская академия правосудия», Центральный филиал.  Воронеж: ООО Типография «ЛИО», 2011.  С. 7-14.

дополнительная:

2*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 89-102.

Практическое занятие № 2

Тема: Элементы комбинаторики

1. Основные правила комбинаторики.

2. Простейшие комбинаторные конфигурации.

Литература:

основная:

дополнительная:

2*. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 280-284.

3*. Квачко В.Ю. Математика для юристов: курс лекций / В.Ю. Квачко, В.Т. Королев, В.В. Радионов. – М.: Российская академия правосудия, 2004. – С. 97-102.

Практическое занятие № 3

Тема: Условные и безусловные вероятности событий

1. Условные вероятности событий.

2. Безусловные вероятности событий.

3. Вероятность заданного числа наступления события в серии опытов.

Литература:

основная:

дополнительная:

2*. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 305-322.

3*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 102-107, 118-121.

Практическое занятие № 4

Занятие проводится методом анализа конкретных ситуаций.

Тема: Априорные и апостериорные вероятности событий

На занятии рассматриваются следующие три основные ситуации.

Ситуация 1. На трассе находится 10 машин, в том числе 4 легковые машины и 6 грузовых машин. По результатам анализа и обобщения данных дорожно-транспортных происшествий известно, что 5% легковых машин и 10% грузовых машин выезжают на трассу в неисправном состоянии. Найти вероятность того, что наугад остановленная инспектором ГИБДД на трассе окажется неисправной.

Ситуация 2. К двум исковым заявлениям, подлежащим рассмотрению судьёй, секретарь суда доложил иск уголовно-правового характера. Найти вероятность того, что первый наудачу взятый судьёй иск окажется иском уголовно-правового характера, если равновозможны все предположения о характере первоначальных исков.

Ситуация 3. 30% граждан, обратившихся в суд, принадлежат первой социальной группе, 20%  второй и 50%  третьей. Вероятность обращения в суд для разрешения имущественного спора для каждой социальной группы соответственно равна 0,2, 0,3 и 0,1. Случайным образом взятое исковое заявление содержит просьбу разрешить имущественный спор. Какова вероятность того, что этот иск принадлежит представителю третьей группы?

Литература:

основная:

дополнительная:

3*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 107-110.

Практическое занятие № 5

Тема: Случайные величины и законы их распределения

1. Функция распределения случайной величины.

2. Дискретные случайные величины.

3. Непрерывные случайные величины.

Литература:

основная:

дополнительная:

2*. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 324-360.

3*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 113-130.

Практическое занятие № 6

Тема: Числовые характеристики случайных величин

1. Характеристики положения случайной величины.

2. Характеристики рассеивания случайной величины.

3. Математические ожидания и дисперсии основных законов распределения случайных величин.

Литература:

основная:

дополнительная:

2*. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 39-347, 361-364.

3*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 130-137.

Практическое занятие № 7

Тема: Вариационные ряды и способы их представления

1. Содержание метода математической статистики.

2. Способы представления выборки.

Литература:

основная:

дополнительная:

Практическое занятие № 8

Тема: Оценки параметров эмпирического распределения

1. Точечные оценки параметров эмпирического распределения.

2. Интервальные оценки параметров эмпирического распределения.

Литература:

основная:

дополнительная:

2*. Турецкий В.Я. Математика и информатика: учебник / В.Я. Турецкий. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2002. – С. 386-401.

3*. Мишин А.В. Информатика и математика: Математика : учебное пособие / А.В. Мишин, Л.Е. Мистров, А.Ю. Кузьмин; Центральный филиал Российской академии правосудия. – Воронеж: Научная книга, 2006. – С. 152-159.

Практическое занятие № 9

Занятие проводится методом «мозгового штурма».

Тема: Статистическая проверка гипотез

На занятии по методике мозгового штурма формулируется следующая проблема.

Таблица эмпирического распределения оцениваемого параметра оцениваемого параметра выборки объёма n = 60 имеет следующий вид:

x_i	(0; 20)	(20; 40)	(40; 60)	(60; 80)	(80; 100)
m_i	12	13	14	9	12

Сформулируйте гипотезу о законе распределения оцениваемого параметра и проверьте её для уровней значимости 0,01 и 0,05.

Сделайте вывод о законе распределения оцениваемого параметра.

Литература:

основная:

дополнительная:

Методические рекомендации по изучению курса и организации самостоятельной работы студентов
Изучение курса «Элементы теории вероятностей и математической статистики в юридической деятельности» призвано сформировать целостный взгляд на применение математических методов для получения, обобщения и анализа информации о социально значимых проблемах и процессах. Поэтому своё внимание необходимо сосредотачивать на освоение понятийного аппарата, положенного в основу рассматриваемых учебных вопросов, и анализ возможностей его практического применения в юридической деятельности.

При этом вероятностный метод следует научиться использовать как, в первую очередь, метод мышления, как язык, как средство формулирования понятий и описания социально-правовых явлений (процессов), а вероятности и числовые характеристики случайных величин – как средство изучения закономерностей в случайных явлениях. Почему это важно для специалиста? Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов создали теории вероятностей славу образца научного знания. Использование вероятностного и статистического методов позволяет эффективно исследовать широкий круг социально значимых процессов и проблем в юридической деятельности.

Следует иметь в виду, что практические занятия, проводимые согласно приведённой выше тематике, носят инструктивно-методический характер и ориентированы на выработку у обучающихся репродуктивных умений и навыков. Приобретение умений и навыков на требуемом репродуктивном уровне (в идеале – творческом) невозможно без дополнительной систематической работы во внеучебное время над выполнением контрольного задания.

Самостоятельная работа студентов по курсу является важной составной частью учебно-воспитательного процесса и имеет целью:

закрепить и углубить знания, полученные на практических занятиях;

выполнить контрольное задание;

теоретическую подготовку к практическим занятиям;

подготовиться к предстоящему зачёту по дисциплине;

формировать самостоятельность и инициативу в поиске и приобретении знаний, а также умения и навыки статистической обработки результатов наблюдений.

Основным и преимущественным видом самостоятельной работы студентов является их работа с рекомендованной литературой, направленная на освоение программы курса.

Самостоятельная работа должна носить систематический и непрерывный характер в течение всего семестра. Время для самостоятельной работы отводится каждым студентом, исходя из фактического уровня знаний, умений и навыков по курсу, но не менее 18 часов (по одному часу еженедельно). При этом на разовое изучение учебного материала желательно выделять не менее одного часа.

Выполнение контрольного задания начинается после определения номера варианта. Правило выбора варианта контрольного задания: номер варианта соответствует последней цифре номера личной зачётной книжки. Например, если последняя цифра номера личной зачётной книжки «3», то номер варианта  3; если последняя цифра  «6», то номер варианта  6. Для цифры «0» выбирается вариант 10.

Задания, которые необходимо выполнить по данному варианту, выбираются из перечня, приведённого в примерной тематике контрольных заданий. Студент должен проявить максимум самостоятельности. Окончательно оформленное контрольное задание должно поступить (сдаётся лично) на кафедру (ауд. 316) не позднее чем за неделю до сдачи зачёта по курсу.

Студенты, не получившие зачёт за контрольное задание, к сдаче зачёта по курсу не допускаются.

Контрольное задание оформляется на листах формата А4 (210297 мм). Вид представления  рукописный или машинописный  определяется студентом, исходя из личных склонностей и возможностей.

Общее требование к рукописным работам – они должны быть читаемы, т.е. доступными для прочтения другими людьми и не содержать неоднозначно воспринимаемых букв.

При представлении работы в машинописном виде необходимо выдерживать следующие параметры текстового процессора: поля: верхнее – 2 см; нижнее – 2 см; левое – 2,5 см; правое – 1,5 см; переплёт – 0 см; колонтитулы – 1,25 см; шрифт – Times New Roman; высота шрифта – 14; ориентация страницы – книжная; отступ абзаца – 1,25 см; межстрочное расстояние – одинарное; выравнивание – по ширине; стиль текста – обычный. Все страницы, исключая титульный лист, нумеруются.

Задания и их решения (независимо от варианта оформления) излагаются (не оставляя пустые строки) последовательно, на одной стороне каждой страницы. При отсутствии решения излагать задание не обязательно, т.к. оно заведомо не выполнено.

Образец титульного листа контрольного задания приведен в приложении 1.

Одной из форм оказания помощи студентам в самостоятельном изучении учебного материала являются консультации, проводимые преподавателями кафедры. На кафедре в начале семестра составляется расписание консультаций с указанием дней, часов, места их проведения и консультирующего преподавателя.

Посещение консультаций студентами добровольное. Консультации проводятся, как правило, индивидуальные. Их целями являются разъяснение вопросов, возникающих у обучаемых при самостоятельном изучении учебного материала и подготовке контрольного задания, углубление и закрепление знаний по отдельным вопросам и темам курса, оказание методической помощи в выборе рациональных методов самостоятельной работы. При необходимости (по просьбе старосты учебной группы) могут проводиться и групповые консультации.

Примерная тематика контрольных заданий
Вариант 1

1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 7, 8, если никакую цифру не использовать более одного раза? Сколько среди этих чисел чётных?

2. Из ящика, в котором 10 белых и 6 чёрных шаров, берут наудачу 3 шара. Какова вероятность того, что один из них белый, а два чёрных?

3. В партии из 20 деталей имеется две бракованные. Сборщик взял из партии 3 детали. Найти вероятность того, что среди них не более одной бракованной.

4. Сборщик получает 30% деталей завода № 1, 25%  завода № 2 и 45%  завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,7, для завода № 2  0,9, для завода № 3  0,8. Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность, что она изготовлена заводом № 2?

5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

х_i	3	2	0	4	5	10
р_i	0,1	0,15	0,25	0,2	0,2	0,1

7. Деталь считается годной, если отклонение её контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3. Найти вероятность изготовления годной детали.

8. В таблице приложения 2 приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 1-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.

9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.

10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,98. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

Вариант 2

1. В забеге участвуют 5 мальчиков. Сколькими способами могут распределиться два первых места?

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

3. Вероятность того, что электрическая лампочка, принадлежащая данной партии, проработает гарантийный срок, равна 0,8. Какова вероятность того, что из трёх лампочек этой партии гарантийный срок проработает только одна?

4. Приборы одного наименования изготавливаются тремя заводами: первый поставляет 35% всех приборов, второй – 40% и третий  25%. Вероятность безотказной работы прибора в течение гарантийного срока равна 0,9 для первого завода, 0,85 для второго и 0,9 для третьего. Наудачу взятый прибор выдержал гарантийный срок. Найти вероятность того, что он изготовлен на первом заводе.

5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

х_i	4	1	0	3	5	7
р_i	0,15	0,1	0,25	0,2	0,2	0,1

7. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна т = 40 см и среднее квадратическое отклонение  = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8? Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

8. В таблице приложения 2 приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 6-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.

9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.

10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,99. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

Вариант 3

1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трёх цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторение цифр в числах запрещено?

2. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 пригласительных билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

3. В мастерской имеется три мотора. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из трёх моторов работает с полной нагрузкой.

4. Путешественник может купить билет в одной из трёх касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направился к первой кассе, равна 0,4, ко второй  0,5, к третьей  0,1. Вероятности того, что билетов уже нет в кассах примерно такие: в первой кассе  0,2, во второй  0,3, в третьей  0,15. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определить вероятность того, что он направился к первой кассе.

5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

х_i	2	1	1	3	5	7
р_i	0,15	0,25	0,1	0,1	0,2	0,2

7. Среднее квадратическое отклонение ошибок измерения дальности радаром равно 25 м, а систематическая ошибка отсутствует. Определить вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине, не превосходящей 20 м. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

8. В таблице приложения 2 приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 11-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.

9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.

10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,9. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

Вариант 4

1. Бросают одновременно три монеты и наблюдают за выпадением герба или цифры на верхних гранях каждой монеты. Сколько различных исходов опыта возможно?

2. В корзине находятся 5 красных и 4 синих мяча. Из корзины наудачу вынимают два мяча. Какова вероятность, что они оба окажутся красными?

3. При изготовлении изделия работают последовательно трое рабочих. Качество изделия при передаче его от одного рабочего к другому не проверяется. Первый рабочий допускает брак с вероятностью 0,1, второй  с вероятностью 0,2 и третий  с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при изготовлении изделия будет допущен брак.

4. Противник применяет самолёты пяти типов. Известно, что на данном участке фронта сосредоточено примерно равное число самолётов каждого типа. Вероятности сбить самолёт при проходе над оборонительной зоной соответственно равны для них 0,4; 0,3; 0,2; 0,5; 0,1. Самолёт противника, прорывавшийся через оборонительную зону, сбит. Чему равна вероятность того, что это самолёт второго типа?

5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

х_i	5	3	1	2	5	6
р_i	0,1	0,25	0,15	0,15	0,2	0,15

Построить многоугольник распределения вероятностей величины X. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение данной случайной величины.

6. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , если известны математические ожидания и дисперсия случайных величин Х и Y: МХ = 5; МY = 4; DX = 1; DY = 4.

7. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание её равно 164 см, а дисперсия – 25 см². Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3. Вычислить вероятность того, что хотя бы одна из двух наудачу выбранных женщин будет иметь рост от 162 до 168 см.

8. В таблице приложения 2 приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 16-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.

9. Используя таблицу эмпирического распределения, полученную при выполнении задания 8, найдите эмпирические среднее, дисперсию и среднеквадратическое отклонение оцениваемого параметра.

10. Используя точечные оценки (эмпирического среднего и дисперсии) оцениваемого параметра, полученные при выполнении задания 9, определите доверительный интервал для математического ожидания (при неизвестном среднеквадратическом отклонении) генеральной совокупности с уровнем доверия 0,95. Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3.

Вариант 5

1. Сколькими способами могут 8 человек встать в очередь в театральную кассу?

2. Из тридцати карточек с буквами русского алфавита наугад выбирают пять. Какова вероятность, что эти карточки в порядке выхода составят слово «право»?

3. Стрелок, стреляет три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в мишень в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить норму мастера спорта равна: для лыжника 0,9, для велосипедиста 0,8 и для бегуна 0,7. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму мастера спорта.

5. Закон распределения случайной величины X задан таблицей:

х_i	6	4	0	3	5	6
р_i	0,1	0,05	0,35	0,15	0,2	0,15

7. Размер диаметра втулок можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2,5 см и дисперсией 0,0001 см². Табличные значения функции Лапласа приведены в приложении 3. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой втулки лежит между 2,48 см и 2,515 см.

8. В таблице приложения 2 приведена последовательность случайных значений оцениваемого параметра. Сделайте выборку (n = 60), начиная с 21-го значения. Возьмите в качестве интервалов группировки интервалы (3; 2), (2; 1), (1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3) и напишите таблицу эмпирического распределения для этих интервалов. Постройте гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения. Сделайте вывод о виде закона распределения оцениваемого параметра.

следующая страница >>