Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика 1 215.8kb.
Учебная программа для специальности: 1-31 03 01 Математика 1 200.61kb.
Учебная программа для специальности 1-31 03 01 Математика 1 52.82kb.
Программа спецкурса для специальности 1-31 03 01 02 «Математика 1 177.16kb.
Учебная программа для специальности 1-31 03 01-02 «Математика 1 336.69kb.
Общая топонимика Учебная программа для специальности: 1-31 02 01... 1 251.8kb.
Учебная программа для специальности 4 1386.3kb.
Программа дисциплины Математическое моделирование экономических процессов... 1 119.59kb.
Программа дисциплины Организация и планирование производства для... 1 275.31kb.
Введение в математику 1 168.37kb.
Методические указания по изучению дисциплины Действительный анализ... 1 108.65kb.
Лабораторная работа № Криптология и защита информации. Основа организации... 1 16.57kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика - страница №1/1



Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-____________/р.

Криптологические приложения

теории групп и теории чисел
Учебная программа по спецкурсу для специальности
1-31 03 01 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

(код специальности) (наименование специальности)


специализации 1-31 03 01 02 01 «Алгебра и теория чисел»

Факультет математический

Кафедра алгебры и геометрии

Курс 3


Семестр 6


Лекции 28 час.

(количество часов)






Лабораторные

занятия 34 час.

(количество часов)


Зачет 6а

(семестр)



Самостоятельная управляемая

работа студентов 6 час.

(количество часов)


Экзамен а

(семестр)



Всего аудиторных часов

по дисциплине 68 час.

(количество часов)


Курсовой проект,

работа -– а

(семестр)


Всего часов

по дисциплине 73 час.

(количество часов)


Форма получения

высшего образования



дневная

Составил В.С. Монахов, д.ф.-м.н., профессор

Гомель 2010

Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы «Теория групп», утвержденной 28 мая 2010 г., регистрационный номер УД-9-2010-470 / баз.


Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры алгебры и геометрии
___ __________ 2010 г., протокол № __
Заведующий кафедрой

_________Л.А. Шеметков


Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом математического факультета
___ __________ 2010 г., протокол № __

Председатель


____________ В.М. Селькин

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Данный курс посвящен криптологическим приложениям Теории групп и теории чисел.
Цель дисциплины – изучение основ теории чисел и теории конечных групп применительно к криптологии;

  • изучение некоторых простых криптосисем;

  • изучение криптосисемы RSA;

  • знакомство с научными достижениями в области теории групп и их классов Гомельской алгебраической школы;

– знакомство с современным состоянием теории групп, теории чисел и криптологии.
Задачами курса являются:

  • получение студентами базовых знаний в области теории групп, теории чисел и криптологии;

– подготовка студентов к самостоятельным исследованиям в современной математике;

– освоение студентами современных методов исследования теории конечных составных групп. Особое внимание уделяется технологиям исследования, разрабатываемым на кафедре алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета.

Данный спецкурс является базовым для специализации «Алгебра и теория чисел». На нем основывается подготовка курсовых и дипломных проектов. Он тесно связан с предыдущим спецкурсом: «Теория групп», читаемом в 5 семестре и последующим спецкурсом «Классы групп», читаемом в 7 семестре.

Этот курс полезен не только математикам специализации «алгебра и теория чисел», но и любому специалисту, работающему в современной математике как фундаментального профиля, так и прикладного профиля.




Содержание СПЕЦКУРСА



1 Раздел ТЕОРИКО-ЧИСЛОВЫЕ ОСНОВЫ

Тема 1. Деление с остатком

Алгоритм деления с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Бинарный алгоритм.

Тема 2. Простые числа

Простые числа, теорема Евклида. Основная теорема арифметики. Простые делители натуральных чисел. Решето Эратосфена. Простые числа с данным числом цифр. Простые числа с данной цифровой записью. Простые числа как значения многочлена.

Тема 3. Числа Ферма и Мерсенна.

Простые числа Мерсенна. Совершенные числа. Простые числа Ферма. Рекорды в теории чисел.

Тема 4. Арифметические функции

Целая часть числа. Дробная часть числа. Применение этих функций. Мультипликативные функции. Фунция Эйлера.

Тема 5. Кольцо классов вычетов

Элементы теории колец. Кольцо классов вычетов. Группа обратимых элементов и ее порядок.

Тема 6. Сравнения

Сравнения. Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках и ее применение в астрономии и в банковских сейфах.
2 РАЗДЕЛ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ОСНОВЫ

Тема 7. Группы перестановок

Перестановка и ее порядок. Сопряженность перестановок. Мономорфизм в полную линейную группу.

Тема 8. Трансверсаль. Теорема Лагранжа.

Смежные классы, трансверсаль. Теорема об индексах. Теорема Лагранжа. Нормализатор и централизатор.

Тема 9. Циклические группы и их подгруппы.

Подгруппа, порожденная множеством.

Тема 10. Гомоморфизмы групп

Морфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизмах. Вложение любой конечной группы в симметрическую группу и в группу матриц.

Тема 11. Группы малых порядков.


3 РАЗДЕЛ ЭЛЕМЕНТЫ КРИПТОЛОГИИ

Тема 12. Докомпьютерная криптология

Развитие криптологии. Три этапа в истории криптологии. Становле­ние науки криптологии.

Тема 13. Основные понятии и задачи криптологии

Задачи криптографии. Основные понятия и определения. Некоторые прос­тые криптосистемы. Требования к криптосистемам.

Тема 14. Криптосистема RSA

Открытый ключ. Суть криптографии с открытым ключом. Крипто­система RSA. Другие приложения теории чисел и теории конечных групп в криптологии.

Учебно-методическая карта


Номер раздела, темы, занятия

Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов



Количество аудиторных часов

Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)

Литература


Формы контроля

знаний


лекции

практические

(семинарские)

Занятия


лабораторные

занятия


контролируемая

самостоятельная работа студента



1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

ТЕОРИКО-ЧИСЛОВЫЕ ОСНОВЫ

12

12
















1.1

Тема 1. Деление с остатком. Алгоритм деления с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида. Бинарный алгоритм.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24]

!

!






1.2.

Тема 2. Простые числа. Простые числа, теорема Евклида. Основная теорема арифметики. Простые делители натуральных чисел. Решето Эратосфена. Простые числа с данным числом цифр. Простые числа с данной цифровой записью. Простые числа как значения многочлена.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24




1.3

Тема 3. Числа Ферма и Мерсенна. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа. Простые числа Ферма. Рекорды в теории чисел.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24




1.4.

Тема 4. Арифметические функции. Целая часть числа. Дробная часть числа. Применение этих функций. Мультипликативные функции. Фунция Эйлера.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24




1.5.

Тема 5. Кольцо классов вычетов. Элементы теории колец. Кольцо классов вычетов. Группа обратимых элементов и ее порядок.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24




1.6.

Тема 6. Сравнения. Малая теорема Ферма. Китайская теорема об остатках и ее применение в астрономии и в банковских сейфах.

2

2







Курс

Лекций


[!1,3,5,19,23,24

Защита рефератов




2

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ОСНОВЫ

10

10
















2.1.

Тема 7. Группы перестановок. Перестановка и ее порядок. Сопряженность перестановок. Мономорфизм в полную линейную группу.

2

2







Курс

лекций


[!7,8,15-22]!




2.2.

Тема 8. Трансверсаль. Теорема Лагранжа и ее приложения.

2

2







Курс

Лекций


[!7,8,15-22]




2.3.

Тема 9. Циклические группы и их подгруппы.

2

2







Курс лекц.

[!7,8,15-22]




2.4..

Тема 10. Гомоморфизмы групп. Морфизмы групп. Основная теорема о гомоморфизмах. Вложение любой конечной группы в симметрическую группу и в группу матриц.

2

2







Курс лекц.

[!7,8,15-22]

Защита рефератов

2.5.

Тема 11. Группы малых порядков..

2

2







Курс лекц.

[!7,8,15-22]




3

ЭЛЕМЕНТЫ КРИПТОЛОГИИ

12

12
















3.1.

Тема 12. Докомпьютерная криптология. Развитие криптологии. Три этапа в истории криптологии. Становле­ние науки криптологии.


4

4







Курс лекципй

[!2,4-6,10-14]




3.2.

Тема 13. Основные понятии и задачи криптологии

Задачи криптографии. Основные понятия и определения. Некоторые прос­тые криптосистемы. Требования к криптосистемам.



4

4







Курс лекципй

[!2,4-6,10-14]




3.3.

Тема 14. Криптосистема RSA. Открытый ключ. Суть криптографии с открытым ключом. Крипто­система RSA. Другие приложения теории чисел и теории конечных групп в криптологии.


4

4







Курс лекципй

[!2,4-6,10-14]

Итоговая контрольная работа.




ВСЕГО

34

34















Информационно-методическая часть




Примерный перечень практических занятий.


  1. Алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

  2. Простые числа.

  3. Числа Мерсенна.

  4. Числа Ферма.

  5. Арифметические функции.

  6. Функция Эйлера.

  7. Кольцо классов вычетов

  8. Китайская теорема об остатках и ее применения.

  9. Мономорфизм в полную линейную группу.

  10. Нормализатор и централизатор.

  11. Подгруппы и факторгруппы циклических групп.

  12. Автоморфизмы групп.

  13. Группы малых порядков.

  14. Становле­ние криптологии.

  15. Некоторые прос­тые криптосистемы. Требования к криптосистемам.

  16. Криптосистема RSA.



Рекомендуемые формы контроля знаний


Итоговая контрольная работа.


Темы реферативных работ





  1. Пьер Ферма (к 400-летию со дня рождения).

  2. Малая теорема Ферма.

  3. Малая теорема Ферма и ее обобщения

  4. Об одной гипотезе Ферма.

  5. Числа Фибоначчи и простота числа 2127 – 1.

  6. О числе Pi.

  7. Жозеф Луи Лагранж.

  8. О значении работ Лагранжа по теории числе и алгебре.

  9. Зельманзон М., Хлабыстова Л., Самосовмещения квадрата и тайнопись. http://kvant.mccme.ru/1980/12/samosovmeshcheniya_kvadrata_i.htm

  10. Игнатьев Е., О шифрах. http://kvant.mccme.ru/1991/04/o_shifrah.htm

  11. Виленкин Н., Математика и шифры. http://kvant.mccme.ru/1977/08/matematika_i_shifry.htm

  12. 12. Гарднер М., Шифр Бэкона. http://kvant.mccme.ru/1992/08/shifr_bekona.htm

  13. 13. Гуревич Г., Криптограмма Жюля Верна.
    http://kvant.mccme.ru/1985/09/kriptogramma_zhyulya_verna.htm




Рекомендуемая литература


Основная

  1. Бэйкер А. Введение в теорию чисел. Мн.: Вышэйш. Шк. 1995.

  2. Введение в криптологию. Под. Ред. В.А.Ященко. М.: МЦНМО. 2001.

  3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука.

  4. Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. М.: ABF. 1996.

  5. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М.: ТВП. 2001.

  6. Коутинхо С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA. М.: Постмаркет. 2001

  7. Монахов В.С. Введение в теорию групп и их классов. Минск: Высшая школа. 2005.

  8. Монахов В.С. Лабораторный практикум по спецкурсу «Теория групп и их классов» для студентов специализации «алгебра и теория чисел» математического факультета. Гомель. 2003.

  9. Монахов В.С., Бузланов А.В. Алгебра и теория чисел. Практикум. Минск: Издательский центр БГУ. 2007.

  10. Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы теории защиты информации. М.: Высш. Шк. 1999.

  11. Харин Ю.С., Берник В.И., Матвеев Г.В., Агиевич С.В. Математические и компьютерные основы криптологии. Мн.: Новое знание. 2003.


Дополнительная

  1. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Мн.: Аламфея. 2001.

  2. Фомичев В.М. Дискретная математика и криптология. М.: ДиалогМифи. 2003.

  3. Черемушкин А.В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО. 2002.

  4. Горенстейн Д., Конечные простые группы: Введение в их класс­и­фикацию. М.: Мир, 1985.

  5. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

  6. Кострикин А.И. Введение в алгеб­ру. М.: Наука. 1977.

  7. Холл Ф. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

  8. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир. 1979.

  9. Robinson D.J.S. A course in the theory of groups. – Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1982.

  10. Wehrfritz B.A.F. Finite groups. A second course on group theory. – World scientific: Singapore-New Yersey-London-Hong Kong, 1999.

  11. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York, 1967.

  12. Milne. Fields and Galois Theory. www. jmilne.org/math/. Version 4.21, September 28, 2008.

  13. Murphy Timothy. Finite Fields. University of Dublin. Trinity College. School of mathematics.

ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ


Название

дисциплины,

с которой

требуется согласование



Название

кафедры


Предложения

об изменениях в содержании учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине



Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)










Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__













Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__





































ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на _____/_____ учебный год




№№

пп


Дополнения и изменения

Основание








Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры

алгебры и геометрии

(протокол № ____ от ________ 2010 г.)

Заведующий кафедрой

алгебры и геометрии

д.ф.-м.н., профессор __________________ Л.А. Шеметков

УТВЕРЖДАЮ

Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

к.ф.-м.н., доцент __________________ С.П. Жогаль