Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика 1 178.09kb.
Учебная программа для специальности: 1-31 03 01 Математика 1 200.61kb.
Учебная программа для специальности 1-31 03 01 Математика 1 52.82kb.
Программа спецкурса для специальности 1-31 03 01 02 «Математика 1 177.16kb.
Учебная программа для специальности 1-31 03 01-02 «Математика 1 336.69kb.
Общая топонимика Учебная программа для специальности: 1-31 02 01... 1 251.8kb.
Учебная программа для специальности 4 1386.3kb.
Программа дисциплины Математическое моделирование экономических процессов... 1 119.59kb.
Программа дисциплины Организация и планирование производства для... 1 275.31kb.
Введение в математику 1 168.37kb.
Методические указания по изучению дисциплины Действительный анализ... 1 108.65kb.
Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям 1 43.66kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Учебная программа по спецкурсу для специальности 1-31 03 01 02 «Математика - страница №1/1



Учреждение образования

«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко

(подпись)

____________________

(дата утверждения)

Регистрационный № УД-____________/р.

ТЕОРИЯ ГРУПП
Учебная программа по спецкурсу для специальности
1-31 03 01 02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

(код специальности) (наименование специальности)


специализации 1-31 03 01 02 01 «Алгебра и теория чисел»

Факультет математический

Кафедра алгебры и геометрии

Курс 3


Семестр 5


Лекции 28 час.

(количество часов)






Лабораторные

занятия 34 час.

(количество часов)


Зачет 5а

(семестр)



Самостоятельная управляемая

работа студентов 6 час.

(количество часов)


Экзамен а

(семестр)



Всего аудиторных часов

по дисциплине 68 час.

(количество часов)


Курсовой проект,

работа -– а

(семестр)


Всего часов

по дисциплине 73 час.

(количество часов)


Форма получения

высшего образования



дневная

Составил В.С. Монахов, д.ф.-м.н., профессор

Гомель 2010

Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы «Теория групп», утвержденной 28 мая 2010 г., регистрационный номер УД-9-2010-469_/ баз.


Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры алгебры и геометрии
___ __________ 2010 г., протокол № __
Заведующий кафедрой

_________Л.А. Шеметков


Одобрена и рекомендована к утверждению методическим советом математического факультета
___ __________ 2010 г., протокол № __

Председатель


____________ В.М. Селькин

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Понятие группы – одно из основных понятий современной математики. Основными объектами теории групп являются примарные и нильпотентные группы, разрешимые группы, сверхразрешимые группы, примитивные группы, а также неразрешимые и простые группы. Знания основных свойств этих объектов необходимы любому грамотному математику, работающему в различных разделах современной алгебры. В последнее время конечные группы нашли большие приложения в криптологии и других прикладных математических курсах. Поэтому изучение данного спецкурса вполне актуально.

Целями данного курса являются:

– изучение основных типов групп (простые группы, разрешимые группы, сверхразрешимые группы, нильпотентные группы) и их классических подгрупп (Силова, Фраттини, Фиттинга, Шмидта и др);


  • изучение технологий и методов исследований в теории групп;

  • знакомство с научными достижениями в области теории групп и их классов Гомельской алгебраической школы;

  • знакомство с современным состоянием теории групп.

Основными задачами данного курса являются:

  • получение студентами базовых знаний в области теории групп и их классов;

  • подготовка студентов к самостоятельным исследованиям в современной алгебре.

Данный спецкурс является базовым для специализации «Алгебра и теория чисел». На нем основывается подготовка курсовых и дипломных проектов. Он тесно связан с последующими спецкурсами: «Криптологические основы теории групп и теории чисел», читаемом в 6 семестре и «Классы групп», читаемом в 7 семестре.

Этот курс полезен не только математикам специализации «алгебра и теория чисел», но и любому специалисту, работающему в современной математике как фундаментального профиля, так и прикладного.




Содержание СПЕЦКУРСА




1.Раздел Линейные группы.

Тема 1. Группы невырожденных матриц над полем. Конечные поля и их свойства. Порядки линейных групп над конечным полем. Подгруппы проективной специальной линейной группы размерности 2 над конечным полем.



2.Раздел Силовские подгруппы конечных групп.

Тема 1. Отсутствие подгрупп некоторых порядков в конечных группах. Теоремы Силова. Силовские подгруппы и их свойства. Лемма Фраттини.



3.Раздел Примарные и нильпотентные группы

Тема 1. Примарные группы и их свойства.

Тема 2. Нильпотентные группы и их свойства.

Тема 3. Подгруппа Фраттини.



1.Раздел РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ

Тема 1. Коммутант группы.

Коммутатор элементов и коммутант группы. Теорема Миллера. Ком­мутант факторгруппы. Теорема Виландта о коммутанте и подгруппе Фрат­тини.
Тема 2. Начальные свойства конечных разрешимых групп

Определение как группы, у которых все подгруппы отличны от своих коммутантов. Свойства разрешимых групп, связанные с рядами подгрупп. Подгруппы, факторгруппы и прямые произ­ведения разрешимых групп. Строение группы порядка pq и pqn.


Тема 3. Индексы максимальных подгрупп конечных разрешимых групп.

Порядки минимальных нормальных подгрупп и индексы максимальных подгрупп конечной разрешимой группы.


Тема 4. Теоремы Ф.Холла.

Теорема Шура-Цассенхауза. Теорема Холла о существовании, сопряженности и вложении подгрупп в разрешимых группах.



Тема 5. Теорема Ф.Холла о разрешимости конечной группы с индексами максимальных подгрупп р или р2. Ослабление ограничения на индексы за счет наибольшего простого делителя порядка группы.




5. Раздел Подгруппа Фиттинга

Тема 1. Начальные свойства подгруппы Фиттинга.

Подгруппа Фиттинга, определение, свойства, примеры. Существование дополнения к нильпотентной нормальной подгруппе непересекающейся с подгруппой Фраттини. Строение факторгруппы подгруппы Фиттинга по подгруппе Фраттини.
Тема 2. Подгруппа Фиттинга и максимальные подгруппы. Подгруппа Фраттини как пересечение максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга. Об­об­щен­ные подгруппы Фиттинга и максимальные подгруппы конечных групп.



6. Раздел Примитивные группы.
Тема 1. Начальные свойства примитивных групп.

Ядро подгруппы и его свойства. Примеры прими­тивных групп. Теорема Бэра о нормальных подгруппах примитивной груп­пы.



Тема 2. Разрешимые примитивные группы. Свойства разрешимых примитивных групп. Клас­сы примитивных групп.



7. Раздел Сверхразрешимые группы.
Тема 1. Начальные свойства сверхразрешимых групп. Сверхразрешимые группы. Подгруппы, факторгруппы и прямые произве­дения сверхразрешимых групп. Главный ряд сверхразрешимой группы.
Тема 2. Индексы максимальные подгруппы сверхразрешимых групп. Максимальные подгруппы сверхразрешимых групп и их индексы. Теорема Хупперта. Дисперсивные груп­пы и дисперсивность сверхразрешимых групп.
Тема 3. Коммутант и подгруппа Фиттинга сверхразрешимой группы. Коммутант и факторгруппа по подгруппе Фраттини сверхразрешимой груп­пы. Подгруппа Фиттинга и максимальные подгруппы сверхразреши­мых групп.

Учебно-методическая карта


Номер раздела, темы, занятия

Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов



Количество аудиторных часов

Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)

Литература


Формы контроля

знаний


лекции

практические

(семинарские)

Занятия


лабораторные

занятия


контролируемая

самостоятельная работа студента



1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Линейные группы

2

2
















1.1

Тема 1. Группы невырожденных матриц над полем. Конечные поля и их свойства. Порядки линейных групп над конечным полем. Подгруппы проективной специальной линейной группы размерности 2 над конечным полем.

2

2







Курс

Лекций


[!1-2]

!

!







2

Силовские подгруппы конечных групп

2

2
















2.1.

Тема 1. Отсутствие подгрупп некоторых порядков в конечных группах. Теоремы Силова. Силовские подгруппы и их свойства. Лемма Фраттини.

2

2







Курс

лекций


[!1-2]!

Защита рефератов

3

Примарные и нильпотентные группы

6

6
















3.1.

Тема 1. Примарные группы и их свойства.

2

2







Курс лекц.

[!1-2]




3.2.

Тема 2. Нильпотентные группы и их свойства.

2

2







Курс лекц.

[!1-2]




3.3.

Тема 3. Подгруппа Фраттини.

2

2







Курс лекц.

[!1-2]




4

Разрешимые группы

10

10
















4.1.

Тема 1. Коммутант группы. Коммутатор элементов и комму­тант группы. Теорема Миллера. Ком­мутант факторгруппы. Теорема Виландта о коммутанте и подгруппе Фрат­тини.


2

2







Курс лекципй

[!1-2]

Защита рефератов

4.2.

Тема 2. Начальные свойства конечных разрешимых групп. Определение как группы, у которых все подгруппы отличны от своих коммутантов. Свойства разрешимых групп, связанные с рядами подгрупп. Подгруппы, факторгруппы и прямые произ­ведения разрешимых групп. Строение группы порядка pq и pqn.


2

2







Курс лекципй

[!1-2]




4.3.

Тема 3. Индексы максимальных подгрупп конечных разрешимых групп. Порядки минимальных нормальных подгрупп и индексы максимальных подгрупп конечной разрешимой группы.


2

2







Курс лекципй

[!1-2]




4.4.

Тема 4. Теоремы Ф.Холла. Теорема Шура-Цассенхауза. Теорема Холла о существовании, сопряженности и вложении подгрупп в разрешимых группах.


2

2







Курс лекципй

[!1-2]




4.5.

Тема 5. Теорема Ф.Холла о разрешимости конечной группы с индексами максимальных подгрупп р или р2. Ослабление ограничения на индексы за счет наибольшего простого делителя порядка группы.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]




5.

Подгруппа Фиттинга

4

4
















5.1.

Тема 1. Начальные свойства подгруппы Фиттинга.

Подгруппа Фиттинга, определение, свойства, примеры. Существование дополнения к нильпотентной нормальной подгруппе непересекающейся с подгруппой Фраттини. Строение факторгруппы подгруппы Фиттинга по подгруппе Фраттини.



2

2







Курс лекципй

[!1-2]

Защита рефератов

5.2.

Тема 2. Подгруппа Фиттинга и максимальные подгруппы. Подгруппа Фраттини как пересечение максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга. Об­об­щен­ные под­груп­пы Фиттинга и максимальные подгруппы конечных групп.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]




6

Примитивные группы

4

4
















6.1.

Тема 1. Начальные свойства примитивных групп.

Ядро подгруппы и его свойства. Примеры прими­тивных групп. Теорема Бэра о нормальных подгруппах примитивной груп­пы.



2

2







Курс лекципй

[!1-2]

Защита рефератов

6.2.

Тема 2. Разрешимые примитивные группы. Свойства разрешимых примитивных групп. Клас­сы примитивных групп.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]




7.

Сверхразрешимые группы.

6

6
















7.1.

Тема 1. Начальные свойства сверхразрешимых групп. Сверхразрешимые группы. Подгруппы, факторгруппы и прямые произве­дения сверхразрешимых групп. Главный ряд сверхразрешимой группы.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]

Защита рефератов

7.2.

Тема 2. Индексы максимальные подгруппы сверхразрешимых групп. Максимальные подгруппы сверхразрешимых групп и их индексы. Теорема Хупперта. Дисперсивные груп­пы и дисперсивность сверхразрешимых групп.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]




7.3.

Тема 3. Коммутант и подгруппа Фиттинга сверхразрешимой группы. Коммутант и факторгруппа по подгруппе Фраттини сверхразрешимой груп­пы. Подгруппа Фиттинга и максимальные подгруппы сверхразреши­мых групп.

2

2







Курс лекципй

[!1-2]

Контрольная работа




ВСЕГО

34

34















Информационно-методическая часть




Примерный перечень практических занятий.





    1. Порядки линейных групп над конечным полем. Подгруппы проективной специальной линейной группы размерности 2 над конечным полем.

    2. Отсутствие подгрупп некоторых порядков в конечных группах. Теоремы Силова. Примеры силовских погрупп. Группа порядка 15.

    3. Примарные и нильпотентные группы.

    4. Подгруппа Фраттини.

    5. Коммутатор элементов и коммутант группы

    6. Строение группы порядка pq и pqn. Группы малых порядков.

    7. Порядки минимальных нормальных подгрупп и индексы максимальных подгрупп конечной разрешимой группы.

    8. Существовании, сопряженности и вложении подгрупп в разрешимых группах.

    9. Разрешимость группы с ограниченными индексами максимальных подгрупп.

    10. Подгруппа Фиттинга, определение, свойства, примеры.

    11. Об­об­щен­ные подгруппы Фиттинга конечных групп.

    12. Ядро подгруппы и его свойства. Примеры прими­тивных групп.

    13. Разрешимые примитивные группы.

    14. Начальные свойства сверхразрешимых групп.

    15. Максимальные подгруппы сверхразрешимых групп и их индексы. Дисперсивные груп­пы и дисперсивность сверхразрешимых групп.

    16. Коммутант и подгруппа Фиттинга сверхразрешимой группы

Рекомендуемые формы контроля знаний


Итоговая контрольная работа.


Темы реферативных работ


    1. Группы. Примеры групп. Квант. 1987. №2. С. 9-11; Энцикло­педический словарь юного математика. М.: Педагогика.1985. С.88-94.

    2. Абель и его великая теорема. Квант. 2003, № 1.

    3. Простые группы. Квант. 1987. №2.

    4. Группоиды. Квант. 1981. №2.

    5. Группы и замощения полимино. Квант. 1996, № 6.

    6. Функциональные уравнения и группы. Квант. 1985. №7. С. 23-26.

    7. Группы преобразований. Квант.1976. №10. С. 2-12.

    8. Эварист Галуа. Квант. 1973, № 10. 1986, № 12.

    9. Л. Силов и его вклад в теорию групп. Успехи математических наук. 1975. Т.30.­ №2.­ С.179-198.

    10. О.Ю. Шмидт. И.Дуэль. Каждой гранью. М.1981.; Отто Шмидт. Мн.: Беларусь. 1985. Автор текста и составитель – А.И.Леденев; Энцикло­педи­че­ский словарь юного математика. М.: Педаго­гика.1985. С.90-91. .

    11. С.А. ЧУНИХИН. В.С. Монахов. Название книги: Сергей Антонович Чунихин. Гомель: ГГУ. 1995.

    12. Лев Генрихович Шнирельман. Интернет.

    13. Медаль Филдса. FieldsMedal. Интернет.

    14. Э. Галуа. Л. Инфельд. Эварист Галуа. В серии: Жизнь замечательных людей. Вып32 (262). М. 1965; А.Дальма. Э. Галуа – революционер и математик. М.1984; Энцикло­педи­че­ский словарь юного математика. М.: Педаго­гика.1985. С.90-91.

    15. Математические конгрессы. Интернет.




Рекомендуемая литература



Основная

    1. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Мн.: Вышэйшая школа. 2006.

    2. Монахов В.С. Лабораторный практикум по спецкурсу «Теория групп». Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины. 2003.



Дополнительная



      1. Бузланов А.В., Каморников С.Ф., Монахов В.С. Лабораторные работы по курсу "Алгебра и теория чисел" для студентов II курса математического факультета. Гомель. 1989.

  1. Богопольский О.В. Введение в теорию групп. – Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

  2. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Учебное посо­бие по спецкурсу. Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т, 1988.

  3. Горенстейн Д., Конечные простые группы: Введение в их класс­си­фикацию. М.: Мир, 1985.

  4. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и клас­сы конечных групп. – Минск: Беларуская навука, 2003.

  5. Каморников С.Ф., Монахов, В.С., Скиба А.Н.. Учебно-методические указания по специализации "Алгебра и теория чисел", часть 1 - Основные понятия теории групп. Гомель. 1987.

  6. Каргаполов М.И., Мерзля­ков Ю.И. Осно­вы теории групп. М.: Наука. 1982.

  7. Кондратьев А.С., Махнев А.А., Старостин А.И. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т.24. ( Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986. С.3-120.

  8. Кострикин А.И. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия, 1964. (Итоги науки. Серия: Математика. ВИНИТИ АН СССР). М., 1966. С.7-46.

  9. Ку­рош А.Г. Теория групп. М.: Наука. 1977.

  10. Мазуров В.Д. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т.14. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1976. С.5-56.

  11. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2010.

  12. Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Мн.: Беларуская навука, 1997.

  13. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997.

  14. Чуни­хин С.А. Подгруппы конечных групп. Мн. 1964.

  15. Холл М. Теория групп. М.:ИЛ. – 1962.

  16. Чунихин С.А., Шеметков Л.А. Конечные группы. В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. ( Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). М., 1971. С.7-70.

  17. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978.

  18. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.





ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ


Название

дисциплины,

с которой

требуется согласование



Название

кафедры


Предложения

об изменениях в содержании учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине



Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)










Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__













Рекомендовать к утверждению учебную программу в представленном варианте

протокол № ___ от ___.___.200__





































ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на _____/_____ учебный год




№№

пп


Дополнения и изменения

Основание








Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры

алгебры и геометрии

(протокол № ____ от ________ 2010 г.)

Заведующий кафедрой

алгебры и геометрии

д.ф.-м.н., профессор __________________ Л.А. Шеметков

УТВЕРЖДАЮ

Декан математического факультета УО «ГГУ им. Ф. Скорины»

к.ф.-м.н., доцент __________________ С.П. Жогаль