То́чечная оце́нка - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
То́чечная оце́нка - страница №1/1

52)

53) То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое оцениваемому параметру.



Определение

Пусть x_1,\ldots,x_n,\ldots — случайная выборка из распределения, зависящего от параметра \theta \in \theta. Тогда статистику \hat{\theta}(x_1,\ldots, x_n), принимающую значения в \displaystyle\theta, называют точечной оценкой параметра θ



Замечание

Формально статистика \hat{\theta}может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра θ. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из] Свойства точечных оценок



  • Оценка \hat{\theta}=\hat\theta(x)называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

\mathbb{e}_\theta\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \theta,

где \mathbb{e}_\thetaобозначает математическое ожидание в предположении, что θ — истинное значение параметра (распределения выборки X).



  • Оценка \hat{\theta}называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.

  • Оценка \hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(x_1,\dots,x_n)называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности: \forall \theta \in \theta,

\hat{\theta}_n \to \thetaпо вероятности при n \to \infty.

  • Оценка \hat{\theta}_nназывается сильно состоятельной, если \forall \theta \in \theta,

\hat{\theta}_n \to \thetaпочти наверное при n \to \infty.

54) Интервальные оценки



1) Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной надежностью (вероятностью) покрывает оцениваемый интервал.





Вероятность того, что средняя выборочная отличается от математического ожидания не более чем на равна .

Для оценки математического ожидания используется доверительный интервал.

(1)



- точность оценки

- среднее квадратическое отклонение

определяется как значение (функции Лапласа) аргумента, при котором функция Лапласа имеет вид:

Замечание. При повышении надежности точность оценки понижается.

Во всех случаях имеется в виду, что количественный признак Х в генеральной совокупности распределен нормально. Таким образом, если количественный признак Х распределен нормально в генеральной совокупности, то для оценки его математического ожидания с надежностью служит доверительный интервал

, где

- точность оценки (ошибка, погрешность)

- корень уравнения

- функция Лапласа

Если точность увеличивается, то оценка ухудшается. Известно, что - возрастающая функция, следовательно чем больше , тем больше .

  1. Если среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака Х требуется оценить с надежностью , то используется следующий доверительный интервал.



Если , где - исправленное среднее квадратическое отклонение.

В обоих случаях число находят по таблицам в приложении 4 (Гмурман) по заданным .

55)


56) Случайная функция, функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причём для них существует определённое распределение вероятностей. Если множество Т конечно, то Случайная функция представляет собой конечный набор случайных величин, который можно рассматривать как одну векторную случайную величину. Из числа Случайная функция с бесконечным Т наиболее изучен важнейший частный случай, когда t принимает числовые значения и является временем; соответствующая Случайная функция X (t) тогда называется случайным процессом (а если время t пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если же значениями аргумента t являются точки из некоторой области многомерного пространства, то Случайная функция называется случайным полем. Типичными примерами Случайная функция, отличных от случайных процессов, являются поля скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа, а также значения высоты z взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо искусственной шероховатой пластинки.

  Математическая теория Случайная функция совпадает с теорией распределений вероятностей в функциональном пространстве значений функции X (t), эти распределения могут задаваться набором конечномерных распределений вероятностей для совокупностей случайных величин X (t1), X (t2),..., X (tn), отвечающих всевозможным конечным подмножествам (t1, t2,..., tn) точек множества Т, или же характеристическим функционалом Случайная функция X (t), представляющим собой математическое ожидание случайной величины il [X (t)], где l [X (t)] линейный функционал от Х (t) общего вида. Значительное развитие получила теория однородных случайных полей, являющихся частным классом Случайная функция, обобщающим класс стационарных случайных процессов.

57)

58) Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.



Классификация

  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.

  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.

  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.

  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.

  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если

 — независимые случайные величины.



  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.

  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Примеры

  • , где называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.

  • Пусть , и Y — случайная величина. Тогда


является случайным процессом.