Теория нечетких множеств Понятие нечеткого множества. Свойства нечетких множеств. Функция принадлежности. Лингвистическая переменная - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Основные понятия теории множеств 1 92.49kb.
МоделированиЕ совмещения работ в строительном проекте С. А. 1 56.13kb.
Ключевые понятия теории нечетких множеств 1 28.53kb.
Программа курса «Дискретная математика» 1 28.67kb.
Программа курса «Дискретная математика» 1 27.07kb.
Теоретические вопросы из билетов к зачету (I семестр): 1 22.31kb.
Множества. Пересечение множеств. Объединение множеств 1 60.85kb.
Билет №7 Операции над множествами: объединение множеств, разность... 1 31.46kb.
Билет №1. Понятие множеств. Способы задания множеств. Основные числовые... 1 168.86kb.
Закон для декартового произведения множеств относительно пересечения. 1 17.44kb.
Вопросы к зачету по дисциплине «Математика» 1 26.7kb.
Конспект проведения занятий по цифровой схемотехнике со студентами... 1 62.82kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Теория нечетких множеств Понятие нечеткого множества. Свойства нечетких множеств. - страница №1/1

Теория нечетких множеств

Понятие нечеткого множества. Свойства нечетких множеств. Функция принадлежности. Лингвистическая переменная. Операции над нечеткими множествами
Пусть u— так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества a \subseteq u— это функция \mu_a, значения которой указывают, является ли x \in uэлементом множества a:

\mu _a (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \in a,} \\ {0,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;x \notin a.} \\ \end{array} } \right.

Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.

С точки зрения характеристической функции, нечеткие множества есть естественное обобщение обычных множеств, когда мы отказываемся от бинарного характера этой функции и предполагаем, что она может принимать любые значения на отрезке \left[ {0,1} \right]. В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение \mu _a (x)степенью принадлежности элемента xнечеткому множеству a.

Более строго, нечетким множеством aназывается совокупность пар



a = \left\{ {\left\langle {x,\mu _a (x)} \right\rangle |x \in u} \right\} ,

где \mu _a^{}— функция принадлежности, т.е. \mu _a :u \to \left[ {0,1} \right].

Пусть, например,

\begin{gathered} u = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\} ,\\ a = \left\{ { \langle a,\;0 \rangle , \langle b,\;0,1 \rangle , (c,\;0,5 \rangle , \langle d,\;0,9 \rangle , \langle e,\;1 \rangle } \right\} . \end{gathered}

Будем говорить, что элемент aне принадлежит множеству a, элемент bпринадлежит ему в малой степени, элемент cболее или менее принадлежит, элемент dпринадлежит в значительной степени, eявляется элементом множества a.



Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения — точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.

1_2

Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению "молодой" может соответствовать функция принадлежности.
Над нечеткими множествами можно производить различные операции, при этом необходимо определить их так, чтобы в частном случае, когда множество является четким, операции переходили в обычные операции теории множеств, то есть операции над нечеткими множествами должны обобщать соответствующие операции над обычными множествами. При этом обобщение может быть реализовано различными способами, из-за чего какой-либо операции над обычными множествами может соответствовать несколько операций в теории нечетких множеств.
Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие формулы:

\mu _{a \cup b} (x) = \max \left\{ {\mu _a (x),\mu _b (x)} \right\} , \quad \mu _{a \cap b} (x) = \min \left\{ {\mu _a (x),\mu _b (x)} \right\}.

Дополнение нечеткого множества: \mu _{\bar a} (x) = 1 - \mu _a (x).



Пример. Пусть a— нечеткое множество "от 5 до 8" и b— нечеткое множество "около 4", заданные своими функциями принадлежности:

1_3

1_4sm

Заметим, что при таком определении операций не будут выполняться законы противоречия и исключения третьего a \cap \bar a \ne \varnothing ,\;a \cup \bar a \ne u.



Носителем нечеткого множества aназывается четкое множество \tilde aтаких точек в u, для которых величина \mu _a (x)положительна, т.е. \tilde a = \left\{ {x|\mu _a (x)> 0} \right\}.

Высотой нечеткого множества aназывается величина \mathop {\sup }\limits_u \;\mu _a (x) (верхняя граница его функции принадлежности_

Нечеткое множество aназывается нормальным, если \mathop {\sup }\limits_u \;\mu _a (x) = 1. В противном случае оно называется субнормальным.

Нечеткое множество называется пустым, если \forall x \in u\quad \left( {\mu _a (x) = 0} \right). Очевидно, что в данном универсуме uсуществует единственное пустое нечеткое множество. Непустое субнормальное нечеткое множество можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

\mu \'_a (x) = \frac{{\mu _a (x)}} {{\mathop {\sup }\limits_u \mu _a (x)}} .

Ядром нечеткого множества image001называется четкое подмножество универсального множества image003, элементы которого имеют степени принадлежности равные единице. Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

Множеством уровня \alpha(\alpha-срезом, α-сечением) нечеткого множества aназывается четкое подмножество универсального множества u, определяемое по формуле

a_\alpha = \left\{ {x|\mu _a (x) \geqslant \alpha } \right\} , \quad\t{где}\quad \alpha \in \left[ {0,1} \right] .

image013

Множество строгого уровня определяется в виде a_\alpha = \left\{ {x|\mu _a (x)> \alpha } \right\}. В частности, носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых \mu _a (x)> 0.



Точка перехода нечеткого множества a— это такой элемент x \in u, для которого \mu _a (x) = 0,5.

Четкое множество a^*, ближайшее к нечеткому множеству a, определяется следующим образом:

\mu _{a^* } (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _a (x) < 0,5;} \\ {1,\quad \t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}\;\mu _a (x)> 0,5;} \\ {0\;\t{\char232}\t{\char235}\t{\char232}\;1,\quad \t{\char226}\;\t{\char239}\t{\char240}\t{\char238}\t{\char242}\t{\char232}\t{\char226}\t{\char237}\t{\char238}\t{\char236}\;\t{\char241}\t{\char235}\t{\char243}\t{\char247}\t{\char224}\t{\char229}.} \\ \end{array} } \right

Нечеткое множество aв пространстве u = r^nназывается выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, если его функция принадлежности выпукла, т.е. для каждой пары точек xи yиз uфункция принадлежности удовлетворяет неравенству \mu _a (\lambda x + (1 - \lambda )y) \geqslant \min \left\{ {\mu _a (x),\mu _a^{} (y)} \right\}, для любого  \lambda \in \left[ {0,1} \right].



image017

Нечеткие множества image001и image018равны (image019) если image020

Нечеткое множество A считается подмножеством нечеткого множества B, если для всех элементов A выполняется неравенство muA(x)<=muB(x).

Введем еще несколько дополнительных операции над нечеткими множествами:


Концентрация множества CON(A) muCON(A)(x)=(muA(x))2 увеличение нечеткости. Эта операция при действиях с лингвистической переменной обычно отождествляется с модификатором "очень".

Растяжение (размытие, размазывание) множества DIL(A) muDIL(A)(x)=(muA(x))0.5 уменьшение нечеткости
Эта операция при действиях с лингвистической переменной обычно отождествляется с модификаторами "примерно", "приблизительно".

Алгебраическое произведение множеств A*B muA*B(x)=muA(x)*muB(x)

Ограниченная сумма двух множеств A |+| B muA|+|B(x)=min(1, muA(x)+muB(x))

Ограниченная разность двух множеств A |-| B muA|-|B(x)=max(0, muA(x)-muB(x))

Ограниченное произведение двух множеств A |*| B muA|*|B(x)=max(0, muA(x)+muB(x)-1)

Ω - универсальное множество

A={ Ω , μA(x)}

μA(x): Ω[0,1]

Иван1=(173, 28, …)

Иван2=(190, 16, …)

xВМБ

μВ(Иван1)=0,4, μМ(Иван1)=0,3, μБ(Иван1)=0,7, μВМ(Иван1)=0,3, μВМБ(Иван1)=0,3

μВМ(х)= μВ (х) μМ(х)

μВМ(х)= μВ (х) μМ(х)

μВМ(х)= μВ (х)* μМ(х)

Если a<1, b<1, a*b

μВ-(x)=1- μВ (х)

Нечеткие множества

A={μ(x1)/x1, μ(x2)/x2,…, μ(xn)/xn}

A1={0,1/Иван, 0,8/Петр, 0,4/Юрий}

A2={0,2/Сергей, 0,8/Иван, 0,9/Петр}



A1A2={0,1/Иван, 0,6/Петр}

A1A2={0,2/Сергей, 0,8/Иван, 0,9/Петр, 0,4/Юрий}

S={ μ(x)/x} – синглет. S={0,1/Петр}

Любое множество – это объединение дуплетов.

A=U{ μ(xi)/xi}

Носителем (sup) называют четкое множество, состоящее из элементов, для которых μ(x)>0.

Множество нормализованное, если хотя бы один элемент принадлежит ему со степенью 1. В противном случае множество ненормализованное.

Нормализация ненормализованного множества состоит в том, чтобы увеличить степень принадлежности каждого элемента пропорционально, так, чтобы оно стало нормализованным.

μA(x), max μA(x)=m, xsupA

μA*(x)= μA(x)/m

Введем два дополнительных операции над нечеткими множествами: увеличение нечетности – концентрация, уменьшение нечеткости – размытие.

Концентрация: μPA(x)= μ2A1-(x)

Размытие: μPA(x)= μA1-(x)

Множество называется универсальным, если функция принадлежности равна единице только в одной точке множества.

Нечеткое отношение

Нечеткое бинарное отношение – нечеткое подмножество декартова произведения двух базовых множеств. Если два базовых множества совпадают, отношения однородные.

ρ(x,y) - функция принадлежности, степень принадлежности пары (x, y) к принадлежности бинарного отношения.

Свойства бинарных отношений:



  1. Рефлексивность x ρ(x, x)=1

  2. Слабая рефлексивность x ρ(x, x)>0

  3. Антирефлексивность ρx, x≤ ρx, y

  4. Cимметричность ρx, y= ρy, x

  5. Антисимметричность ρx, y ρy, x=0 x≠y

  6. Асиметричность ρx, y ρy, x=0

  7. Транзитивность ρx, z≥ ρx, y ρy, z

α-уровень нечеткого бинарного отношения – четкое бинарное отношение ρα(x,y)=1, если ρx, y≥α 0 в противном случае

Нечеткое отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное – отношение эквивалентности.

Очевидно, если у нечеткого отношения эквивалентности рассматривать его -уровень ρα будет четкое отношение эквивалентности (основное свойств – разбивает множество на подмножества эквивалентных элементов). Т.е. оно разбивает базовое множество на непересекающиеся классы взаимноэквивалентных элементов.

Пример:
Данное отношение рефлексивное, но нетранзитивное, и поэтому не эквивалентное, поэтому нам надо разбить данную пятерку на два непересекающихся множества и получить отношение. Т.к. отношение не транзитивно, его нужно минимальным образом подправить, и сделать его транзитивным. Для этого выполняется операция транзитивного замыкания.



ρ=n=15ρk=ρ4=(ρ2)2

ρ10
ρ9


ρ8

ρ7