Т. А. Езангина Аннотация. В работе проводится исследование

Робастное управление сложными динамическими объектами с интервальными параметрами

С.А. Гайворонский, Т.А.Езангина

Аннотация. В работе проводится исследование интервальной системы, содержащей линейный регулятор и объект управления с интервально-неопределенными параметрами. Используя коэффициентные оценки показателей качества системы, разработана методика анализа робастного качества и синтеза параметров робастного регулятора, гарантирующего системе максимальную степень устойчивости при ограничениях на колебательность и точность управления. В основу методики положены достаточные условия, связывающие интервальные коэффициентные характеристического полинома замкнутой системы и анализируемые робастные показатели качества. Полученные условия основаны на доказанных утверждениях. В работе приведен пример анализа и синтеза системы стабилизации положения подводного объекта.

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день актуальна задача анализа и синтеза систем автоматического управления с нестабильными параметрами. Ими обладают практически все реальные системы автоматического управления, где параметры могут меняться в процессе эксплуатации системы по заранее неизвестным законам или быть недоступными для их точного измерения. Если известны пределы изменения параметров или диапазоны их возможных значений, то такие параметры можно отнести к классу интервально-неопределенных. Системы автоматического управления с таким параметрами получили название интервальных систем автоматического управления [1].

Важным направлением современной теории автоматического управления является разработка методов анализа робастной устойчивости и робастного качества интервальных систем автоматического управления. Под робастной устойчивостью понимают сохранение системой устойчивости при любых возможных значениях ее интервальных параметров. Анализ робастного качества интервальных систем автоматического управления предусматривает определение наихудших показателей качества системы при изменении интервальных параметров в заданных диапазонах.

Актуальна также разработка методов синтеза для интервальных систем автоматического управления робастных регуляторов, обеспечивающих гарантированное качество работы интервальных систем автоматического управления при любых значениях параметров объектов управления из известных интервалов. Одним из широко используемых при проектировании интервальных систем автоматического управления критериев является критерий максимальной степени устойчивости. Известно, что системы, синтезированные по этому критерию, при прочих равных условиях, обладают более высоким быстродействием, меньшим перерегулированием и большим запасом устойчивости [2]. Решению поставленных выше задач посвящено большое число работ отечественных и зарубежных ученых [3–9]. Обзор методов анализа и синтеза робастных регуляторов интервальных систем автоматического управления показывает, что желательно иметь простые аналитические или графические зависимости, позволяющие легко и быстро перейти от показателей качества интервальных систем автоматического управления к искомым параметрам регулятора. Но такие зависимости могут быть установлены только для систем первого и второго порядков; для систем более высокого порядка такие зависимости получить практически нельзя. В связи с этим появляется потребность пусть в приближенных в некотором смысле, но простых соотношениях, позволяющих связать (обычно некоторыми неравенствами) заданные показатели качества и искомые параметры робастного регулятора. Такие соотношения могут быть получены на основе коэффициентного метода [2]. Они представляют собой достаточные условия робастной устойчивости, позволяющие без больших вычислительных затрат проводить анализ и синтез интервальных систем автоматического управления.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть имеется интервальная система автоматического управления с единичной обратной связью, которая включает в себя объект управления и линейный регулятор. Объект управления описывается передаточной функцией:

где – коэффициенты полиномов А(s) и B(s), s – оператор Лапласа; m,n=1,2,3…Нижнее подчеркивание коэффициента обозначает его минимальное значение, а верхнее – максимальное значение. Пусть передаточная функция регулятора имеет вид: где – вектор настраиваемых параметров регулятора (заметим, что при анализе качества системы параметры регулятора известны). Тогда характеристический полином замкнутой интервальной системы автоматического управления может быть представлен в виде:

Очевидно, что при изменении интервальных параметров объекта управления корни интервального характеристического полинома (1) мигрируют по корневой плоскости, образуя при этом области локализации корней. Пример таких областей показан на рис.1.

По расположению данных областей можно судить о корневых робастных показателях качества – робастной степени устойчивости и робастной колебательности.

Рис. 1. Отображение параметрического многогранника на корневую плоскость

Ставится задача разработки алгоритма определения данных показателей качества (робастной степени устойчивости и робастной колебательности.) интервальной системы автоматического управления на основе коэффициентного метода без построения областей локализации корней интервального характеристического полинома (1).

Другая задача заключается в параметрическом синтезе робастного регулятора - нахождении таких значений параметров вектора , которые обеспечивали бы максимальную степень устойчивости системы при заданной ее добротности Dw по скорости и расположении корней полинома (1) в желаемом секторе корневой плоскости.

АНАЛИЗ РОБАСТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА

Сформулируем достаточные условия робастной устойчивости интервальной системы.

Утверждение 1. Для того, чтобы интервальная система автоматического управления была устойчива, достаточно выполнения условий:

(2)

где - показатели устойчивости.

Сформулируем достаточные условия заданной робастной степени устойчивости интервальной системы.

Утверждение 2. Чтобы все корни интервального характеристического полинома (1) интервальной системы автоматического управления лежали левее вертикальной прямой, проходящей через точку , достаточно выполнения условий:

(5)

где

Обозначение означает, что коэффициент следует принимать как максимальным, так и минимальным.

Для определения робастной степени устойчивости интервальной системы сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 3. Для определения робастной степени устойчивости интервальной системы автоматического управления необходимо определить минимальное значение , среди максимальных значений при котором выполняются условия:

Представляет интерес задача определения углового сектора расположения корней интервальной системы. Сформулируем утверждение для определения сектора расположения корней интервального характеристического полинома (1).

Утверждение 4. Для того, чтобы определить сектор расположения корней интервального характеристического полинома (1), необходимо выбрать минимальное значение , определяемое на основе следующего выражения:

(9)

Связь и сектора расположения корней определяется на основании рис. 2.

Рис.2. Зависимость сектора расположения корней от значения

СИНТЕЗ РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА

На основе заданной передаточной функции интервального объекта управления и функции регулятора величина добротности по скорости будет определяться выражением:

(12)

Сформулируем достаточное условие заданной колебательности интервальной системы.

Утверждение 5. Для того, чтобы корни интервального характеристического полинома (1) лежали в заданном угловом секторе, необходимы такие настройки регулятора, при которых выполняются условия

(13)

где определяется из рис.2.

Утверждение 6. Чтобы все корни интервального полинома (1) лежали левее вертикальной прямой, проходящей через точку , достаточно определить такие настройки регулятора, при которых выполняются условия

(14)

где

На основе утверждения 7 с целью определения максимальной робастной степени устойчивости сформулировано следующее утверждение.

Утверждение 8. Для определения максимальной робастной степени устойчивости интервальной системы автоматического управления необходимо для всех сочетаний интервальных коэффициентов выбором параметров регулятора обеспечить максимальное значение в (n–2) системах:

ПРИМЕР

Рассмотрим анализ и синтез системы стабилизации положение подводного объекта [10], характеристический полином которой имеет вид

где k1 и k2 – настройки регулятора. Проведем анализ робастных показатели качества системы при

_{Согласно (2) проверим систему на устойчивость:}

Отсюда следует, что система робастно устойчива.

Далее с помощью условия (5) проверим, лежат ли корни характеристического полинома левее заданной степени устойчивости , для чего составим систему

Видно, что условия (5) в системе выполняется, следовательно, корни характеристического полинома исследуемой интервальной системы лежат левее прямой проходящей через точку

Составим систему для определения робастной степени устойчивости:

Решив систему, найдем значение робастной степени устойчивости .

Определим робастную колебательность с помощью условия (9):

Из полученных значений показателей колебательности следует, что имеет минимальное значение 0,28, что соответствует расположению корней характеристического полинома в секторе с углом Из выражения (12) определим добротность

_{Далее перейдем к синтезу робастного регулятора.}

Из выражения для добротности определим первый параметр регулятора Найти второй параметр регулятора можно через степень устойчивости из уравнения:полученного из первого выражения системы (15).

Подставив далее выражения для параметров регулятора в (3), сформируем систему:

Решая данную систему, находим максимальную степень устойчивости На основании найденного значения определим второй искомый параметр робастного регулятора Для проверки найденного решения построим области локализации корней и переходные характеристики системы.

Рис.3 Графики

Из графиков видно, что система с синтезированным регулятором отвечает заданным требованиям.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Б.Т. Поляк, П.С.Щербаков Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.–303.

2. Петров Б.Н., Соколов Н.И., Липатов А.В. и др. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инженерные методы анализа и синтеза. – М.: Машиностроение, 1986. – 256

3. Keel, L.H. Robust stability and performance with fixed-order controllers / Keel L.H. Bhattacharyya S.P. // Automatica 1999 N 35, P. 1717-1724.

4. Wang L. Robust strong stabilizability of interval plants: it suffices to check two t vertices. / Wang L. // System and control letters, 1995, Vol. 26. -P. 133-136.

5. Волков А.Н., Загашвили Ю.В. Метод синтеза систем автоматического управления с максимальной степенью устойчивости при наличии ограничений // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. – 1997. – № 3. – С. 12–19.

6. Ким Д.П. Синтез регулятора максимальной степени устойчивости // Приводная техника. 2003 №4.

7. Татаринов А.В., Цирлин А.М. Задачи математического программирования, содержащие комплексные переменные, и предельная степень устойчивости линейных динамических систем // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. – 1995. – № 1. – С. 28–33.

8. Гайворонский С.А., Езангина Т.А. Настройка ПИД-регулятора для максимизации степени устойчивости интервальной системы // Автоматизация процессов управления. - 2013. - № 1 (31). - С. 86-91.

9. Гайворонский С.А., Езангина Т.А. Программное обеспечение для синтеза линейных регуляторов систем с интервальными параметрами» // Известия ТПУ, серия "Управление, вычислительная техника и информатика", 2012. – т.321 – № 5.-с.29-34

10. Езангина Т.А. Проектирование робастной системы стабилизации положения буксируемого подводного объекта. // X Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии». Томск, 13-16 ноября 2012 г., с.225-227.