Степень гладкости метрического тензора многообразия М, полученного склеиванием Mq и Mi - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Степень гладкости метрического тензора многообразия М, полученного склеиванием Mq - страница №1/1





Содержание

Введение ...2

Глава 1. Степень гладкости метрического тензора многообразия М,

полученного склеиванием Mq и Mi ...8

§1. Обозначения ...8

§2. Обобщенные функции и "степень гладкости" метрического тензора

пространства М ...9

§3. Формальные секционные кривизны в М ...10

§4. Связь формальных кривизн и кривизны по Александрову...12

§5. Малая деформация многообразия с уменьшением второй формы

края ...15

Глава 2. Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к ...17

§1. План доказательства теоремы 1 ...17

§2. Построение метрики (•, •)$ на Mq ...17

§3. Вспомогательные равенства ...19

§4. Три приближенных равенства...21

§5. Оценка кривизны Римана А;,5 метрики (•, •}$ ...23

§6. Две предварительные оценки...23

§7. Окончательная оценка секционных кривизн К^ метрики (•, •)$...25

Глава 3. Склеивание римановых многообразий кривизны ^ к ...26

§1. /с-выпуклость полей Якоби...26

§2. План доказательства теоремы 2 ...27

§3. Поведение геодезических в одном листе ...28

§4. Выбор малой окрестности. Локальное поведение

почти-геодезических ...29

§5. Связь почти-геодезических с кратчайшими ...31

§6. Доказательство леммы 3.4...32

§7. Доказательство теоремы 2...34

Глава 4. Липшицева аппроксимация пространств ...35

§1. Липшицева аппроксимация пространств ...35

§2. О самосопряженных операторах в двумерном пространстве ...40

Приложение. Необходимость условий теорем 1 и 2 ...45

Список литературы ...48

Введение


Исторические замечания. Пространства Александрова — один из основных объектов изучения современной геометрии. Они являются обобщениями римановых многообразий. Пространствами Александрова обычно называют три разных типа пространств: двумерные многообразия ограниченной интегральной кривизны, пространства ограниченной сверху кривизны и пространства ограниченной снизу кривизны. Первоначально ([16], 1941 год), А. Д. Александровым рассматривалась внутренняя геометрия выпуклых поверхностей и, что в некотором смысле то лее самое, двумерные многообразия неотрицательной кривизны. Впрочем, он вскоре ([17], 1944 год) отметил, что если рассматривать выпуклые поверхности не в евклидовом пространстве, а в произвольном пространстве постоянной кривизны, то получаются двумерные многообразия ограниченной снизу кривизны. Более точно: выпуклая поверхность в трехмерном пространстве постоянной кривизны К является двумерным многообразием кривизны ^ К, а любое двумерное многообразие кривизны ^ К (по крайней мере локально) представимо выпуклой поверхностью в трехмерном пространстве постоянной кривизны К. Детальное изложение внутренней геометрии выпуклых поверхностей было представлено в монографии ([18], 1948 год). Там же в заключительной главе была намечена программа изучения внутренней геометрии более общего класса поверхностей — поверхностей ограниченной интегральной кривизны. Эта программа была реализована в книге А. Д. Александрова и В. А. Залгаллерра [22]. Иной подход поверхностям ограниченной интегральной кривизны (аналитический, с использованием изотермического элемента) был предложен и реализован Ю. Г. Решетником. Описание этого подхода можно найти в [39], там же есть ссылки на работы, в которых этот подход был разработан. Параллельно развитию теории поверхностей ограниченной интегральной кривизны А. Д. Александров ([19], [3], 1950-е годы) заложил основы теории пространств, ограниченной сверху (соответственно снизу) кривизны.

Теория двумерных многообразий ограниченной интегральной кривизны была развита А. Д. Александровым и его учениками, так что почти все принципиальные вопросы этой теории нашли свое решение, см. [22], [39]. Двумерный случай сильно выделяется: и поверхности ограниченной снизу кривизны, и поверхности ограниченной сверху кривизны являются поверхностями ограниченной интегральной кривизны. В многомерном случае такого естественного общего класса не известно.

Изначально в исследованиях А. Д. Александрова пространств ограниченной кривизны много внимания уделялось, по существу, аксиоматическому вопросу описания пространств Александрова в терминах избытков треугольников (избыток — сумма углов треугольника за вычетом 7г). В последующий период пространствам ограниченной сверху кривизны уделялось больше внимания, чем пространствам ограниченной снизу кривизны. Существенный прогресс в теории пространств ограниченной снизу кривизны был связан с исследованием Ю.Д.Бураго, М.Л.Громова и Г.Я.Перельмана [26] и последующих за ним работ, среди которых необходимо выделить сильные результаты Г. Перельмана, см., например, его статью [34] и, к сожалению, неопубликованный препринт [13]. Описание основ теории пространств кривизны ограниченной снизу есть, например в обзоре Плаута [15].

Теория пространств ограниченной сверху кривизны развивалась более равномерно (см., например [20], [37], [38], [21], [11], [5], [27]). В ее развитии необходимо отметить роль идей М. Л. Громова. В изучении пространств ограниченной сверху кривизны существенную роль сыграли методы, связанные с метрикой Громова-Хаусдорфа и, в частности, асимптотический подход к этим пространствам — т.е. изучение их поведения на бесконечности.

Стоит отметить, что пространства кривизны ^ к и ^ к (как молено было предположить из истории развития соответствующих теорий) существенно отличаются по своим свойствам и для них обычно используются различные методы исследования несмотря на схожесть определений.

Напомним, что к-шюскостью называется полная односвязная поверхность постоянной кривизны к. Для треугольника АаЬс в произвольном метрическом пространстве треугольником сравнения (на «-плоскости) называется треугольник на «-плоскости с теми лее длинами сторон, что и в АаЬс.

Имеется несколько равносильных определений пространств ограниченной сверху (соответственно, снизу) кривизны. Нам удобно использовать в дальнейшем следующее, не совсем традиционное определение.

Метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны ^ к, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность U, что для любого треугольника АаЬс, содержащегося в U, определены углы /abc, /bca и /.cab и они удовлетворяют неравенствам

Aabc ^ /Kabc, /bca ^ ZKbca, /cab ^ /Kcab,

где через /Kabc обозначен соответствующий угол в треугольнике сравнения. Такой угол называется углом сравнения.

Аналогично, метрическое пространство X с внутренней метрикой называется пространством кривизны ^ к, если каждая точка пространства X имеет такую окрестность U, что для любого треугольника АаЬс, содержащегося в U, определены углы /abc, /Ьса и /cab и они удовлетворяют неравенствам

/abc ^ /Kabc, /bca ^ /Kbca, /cab ^ /Kcab;

кроме того требуется, чтобы сумма смежных углов равнялась тг, то есть если г — внутренняя точка кратчайшей \pq], то для любой кратчайшей [rs] выполнено /prs+/srq = тг. (По-видимому, неизвестно, необходимо ли последнее условие.)

Тема этой диссертация лежит на стыке теории пространств Александрова (ограниченной сверху или снизу кривизны) и римановой геометрии, а в самой диссертации рассматриваются римановы многообразия с (гладким) краем. Несмотря на то, что риманово многообразие с краем является естественным объектом, по-видимому, поведение кратчайших около края не изучалось систематически вплоть до работы С. Александер, И. Берга и Р. Бишопа [1]. Вскоре теми же авторами [2] было получено необходимое и достаточное условие того, что риманово многообразие с (гладким) краем является пространством кривизны ^ к. В частности, там было доказано, что риманово многообразие с краем всегда является пространством ограниченной сверху кривизны.

Теоремы о склеивании играют в синтетической геометрии заметную роль, позволяя конструировать новые объекты из известных блоков. Даже если эти блоки — гладкие римановы многообразия (с гладким краем), в результате

склеивания гладкость обычно теряется, и мы выходим за пределы классической римановой геометрии. В теории выпуклых поверхностей и в теории поверхностей ограниченной интегральной кривизны фундаментальную роль играет теорема А. Д. Александрова о склеивании (см. последнюю главу книги [22]). Так, теорема А.Д.Александрова о склеивании вместе с теоремой А. В. По-горелова ([35]) о неизгибаемости замкнутых выпуклых поверхностей в R3 дала мощный инструмент в изучении изгибания выпуклых поверхностей с краем.

В двумерном случае кроме теоремы Александрова известна теорема Ю. Д. Бураго и С. В. Буяло ([25]) о склеивании для двумерных полиэдров. О ней будет немного ниже. В случае размерности, отличной от двух, автору известны только две общие теоремы о склеивании: теорема Ю. Г. Решетняка [37] о склеивании для пространств ограниченной сверху кривизны и теорема А. Петрунина [14] о склеивании для пространств ограниченной снизу кривизны. Недавно теорема Ю. Г. Решетняка помогла решить долгое время стоявшие открытыми проблемы теории полурассеивающих бильярдов, см. серию работ Д. Бураго, С. Ферглера и А. Каноненко [7], [8], [9], [10].

В результате склеивания из симплексов, снабженных римановой метрикой, получаются так называемые полиэдральные пространства. Обычно рассматривались полиэдральные пространства, склеенные из симплексов постоянной кривизны и с вполне геодезическими гранями (см., например, Ф. Брюа и Дж. Титса [6]). Отметим работы Н. Д. Лебедевой [32], [33], в которых рассматривались общие полиэдральные пространства при условии отсутствия сопряженных точек. В работе В. Бальмана и М. Брина [4] рассматривались двумерные орбиэдры, для которых соответствующие полиэдральные пространства неположительной кривизны получаются склеиванием симплексов с кусочно гладкой метрикой. В работе Ю. Д. Бураго и С. В. Буяло [25], дополненной работой С. В. Иванова [28], была дана полная характеризация двумерных полиэдров ограниченной сверху кривизны. В частности, была доказана теорема о склеивании, позволяющая клеить из кусков двумерных многообразий ограниченной сверху кривизны полиэдры, у которых кривизна также ограничена сверху.

Однако довольно долгое время оставался открытым вопрос (в случае размерности большей двух) в каких случаях пространство, полученное склеиванием двух многообразий с краем, является пространством ограниченной сверху или снизу кривизны. Настоящая диссертация отвечает на этот вопрос. В ней найдены необходимые и достаточные условия того, что пространство, полученное из нескольких римановых пространств с краем склеиванием по изометрии краев, является пространством кривизны ^ к (соответственно, пространством кривизны ^ к).

Формулировки основных результатов. Пусть дан некоторый конечный набор n-мерных римановых многообразий {Ма \ а ? 1} (в теореме 1 считаем / = {0,1}) с изометричными друг другу краями Га. Фиксируя изометрии одного из Га с остальными, можно отождествлять все Га с некоторым пространством Г. Поэтому будем считать, что вторые квадратичные формы Ва граничных гиперповерхностей относительно внешних нормалей заданы на одной гиперповерхности Г и их можно складывать.

Теорема 1. Предположим, что у многообразий Mq и М\ секционные кривизны ^ к, а форма L = Bo + Bi неотрицательно определена.

Тогда пространство М, полученное склеиванием пространств Mq и М\

вдоль выбранной изометрии, является пространством Александрова кривизны ^ к.

Теорема 2. Предположим, что секционные кривизны всех многообразий Ма не большее к и что для любых а ф (3 форма Ва + В# неположительно определена. Пусть секционные кривизны Г в тех двумерных направлениях а, для которых сужения Ва на а отрицательно определены при всех а е /, не превосходят к.

Тогда пространство М, полученное склеиванием всех {Ма\а € 1} вдоль выбранных изометрии, является пространством кривизны ^ к.

Заметим, что условие теоремы 2 (если многообразий больше двух) несколько слабее условия, что для любых а ф 0 пространства Ма U Мр являются пространством кривизны ^ к. С другой стороны, если склеиваемых многообразий больше двух, то для того, чтобы М было пространством ограниченной сверху кривизны необходимо и достаточно того, что для любых а Ф 0 кривизна пространства Ма U Мз была ограничена сверху.

Сравним как соотносятся ранее известные теоремы о склеивании с нашими теоремами. В двумерном случае теорема 1 (как и 2, если склеиваются два многообразия) является частным случаем теоремы А. Д. Александрова о склеивании. В двумерном случае теорема 2 во всей ее полноте (если склеивается произвольное количество листов) следует из теоремы о склеивания в статье Бу-раго и Буяло [25], посвященной двумерным полиэдрам. Стоит отметить, что в этом случае Г — одномерно, а значит условия не ее секционные кривизны исчезают.

Теорема 1 обобщает теорему А. Петрунина в том частном случае, когда склеиваемые пространства являются римановыми. Стоит отметить, что Mq и М\ могут не быть пространствами Александрова кривизны ^ к. В том же случае, когда Mq и М\ являются таковыми (т.е. когда обе вторые основные формы неотрицательно определены), теорема 1.1 следует из теоремы Петрунина.

Многообразия Ма с краем, как показано в [2], являются пространствами ограниченной сверху кривизны. В этой статье было доказано, что для Ма верхняя граница кривизны является максимумом секционных кривизн самого многообразия и секционных кривизн его границы Г в тех двумерных направлениях, сужения на которые второй основной формы отрицательно определены. В частности, сами пространства Ма могут не быть пространствами кривизны ^ к. Однако они заведомо будут пространствами ограниченной сверху кривизны.

Теорема 2 обобщает тот частный случай теоремы Решетняка [37] о склеивании пространств ограниченной сверху кривизны, в котором склеиваемые пространства являются римановыми. Действительно, условие теоремы Решетняка (выпуклость множеств, по которым происходит склеивание) означает, что все вторые формы неположительно определены, а в этом случае каждое Ма имеет кривизну ^ к (см. [2]).

Следующий известный пример иллюстрирует необходимость условия на секционные кривизны края. Рассмотрим две копии трехмерного евклидова пространства с вырезанным единичным шаром и склеим по граничным сферам. Тогда полученное пространство не является пространством неположительной кривизны, хотя оно является пространством кривизны не большей 1.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, дополнения и списка литературы. В первой главе рассматривается пространство М, которое получается склеиванием двух многообразий Mq и М\ с краем по изо-метрии краев и изучается (негладкий) метрический тензор полученного многообразия с помощью производных в смысле обобщенных функций. Для некоторого класса пространств вводятся понятия формальных символов Кристоффе-ля, формальных кривизн Римана и формальных секционных кривизн. Доказывается, что если формальные секционные кривизны ограничены с одной стороны некоторой константой, то кривизна пространства в смысле Александрова также ограничена с той же стороны некоторой константой (возможно другой). В некоторых случаях (см. леммы 1.6 и 1.7) эти константы совпадают, а в некоторых — нет (см. лемму 1.8). Отметим, что различие этих констант связано не со способом доказательства, а (по крайней мере в случае ограничения кривизны сверху, как вытекает из условия на секционные кривизны границы в теореме 2) связано с существом дела. Эти результаты подытожены в лемме 1.1 и, в дальнейшем будет использоваться только она. Кроме того в §5 (лемма 1.9) предложена конструкция, позволяющая уменьшать вторую форму края за счет малой деформации метрики. Этот прием позволяет при доказательстве теоремы 2 считать, что сумма вторых форм не только неположительно определена, но и отрицательно определена.

Вторая глава посвящена доказательству теоремы 1. Это доказательство следует следующему плану: М аппроксимируется пространствами, к которым применим пункт 1 леммы 1.1. Эти пространства определяются в §2, а далее, вплоть до конца главы, оцениваются секционные кривизны таких пространств (в гладкой их части).

Третья глава посвящена доказательству теоремы 2. Как отмечалось выше, за счет леммы 1.9 можно считать, что сумма вторых форм не только неположительно определена, но и отрицательно определена. Приведем набросок этого доказательства. Если склеиваются два многообразия, то, по третьему пункту леммы 1.1, у соответствующего пространства кривизна ограничена сверху. После изучения почти-геодезических (определение дано в главе 3) это утверждение вместе с леммой 3.4 позволяют доказать, что М, удовлетворяющее условию теоремы 2, является пространством ограниченной сверху кривизны, но получающаяся при этом константа не оптимальна. Наконец, нахождение точной верхней оценки кривизны делается с помощью полей Якоби (используя результаты и методы работы С. Александер, И. Берга и Р. Бишопа [2]).

В четвертой главе мы изучаем, в каких случаях пространство М, полученное склеиванием из двух римановых многообразий, можно липшицево аппроксимировать римановыми многообразиями с почти теми же ограничениями на кривизну, что и у самого пространства М. Из доказательства теоремы 1 следует, что если М является пространством кривизны ^ к, то существует семейство пространств М§, кривизны ^ к$, где Ms сходится к М по Липшицу и к$ —> к, если <5 —» 0. Поэтому вопрос интересен только в случае ограниченности кривизны сверху. В четвертой главе мы покажем, что при некоторых дополнительных условиях аналогичное утверждение верно и для ограничения кривизны сверху. Стоит отметить, что четвертую главу можно рассматривать, как альтернативное доказательство того, что М из теоремы 2 является пространством ограниченной сверху кривизны. Это утверждение уже использовалось в доказательстве теоремы 2 и следовало из третьего пункта леммы

1.1. В некоторых частных случаях результаты этой главы доказывают теорему 2, например:

1) размерность М равняется трем (см. следствие 4.1.4);

2) Во ^ 0 или Bi ^ 0 (см. следствие 4.1.1);

3) Во < 0 и Bi ^ 0 (см. следствие 4.1.2).

Впрочем в последнем случае, как обсуждалось выше, теорема 2 следует из теоремы Решетняка о склеивании. С другой стороны, из теоремы Решетняка не следует возможность соответствующей лиишицевой аппроксимации.

Мы считаем наиболее интересным из этих трех случаев первый.

Наконец, в приложении доказано, что условия в теоремах 1 и 2 являются не только достаточными, но и необходимыми.

Основные результаты первых трех глав опубликованы в статьях автора [29],[30], [31] и [12] .

Глава 1. Степень гладкости метрического тензора многообразия м, полученного склеиванием мо и м\.

Пусть М получается склеиванием многообразий Mq и М\ с краем по изомет-рии краев Го = Гх = Г. Пространства такого типа рассматриваются в теореме 1 и в частном случае теоремы 2, когда склеиваются ровно два многообразия с краем. В этой главе мы зададим координаты в таком пространстве М и изучим свойства метрического тензора в этих координатах.

§1. Обозначения

Выберем локальную систему координат (карту) (х1,... ,хп~1) на Г, содержащую точку хо. Введем в Mq локальные координаты (ж1,... ,хп) так, что хп(р) — это расстояние от данной точки р до Г, а ее остальные координаты — такие же, как у ближайшей к р точки из Г. Аналогично, в Mi расстояние от р до Г равно — хп(р), а остальные ее координаты — такие же, как у ближайшей к р точки из Г. Совместно эти координаты задают на М (в малой окрестности Г) координаты, гладкие на Mi и Мо порознь, и, следовательно, гладкую структуру на М, в которой Mi и Мо являются гладкими подмногообразиями.

Обозначим векторные поля dxi при г < п через е*, а (единичное) векторное поле дхп, ортогональное к эквидистантным к Г поверхностям, — через N.

Цель этой главы — доказать следующую лемму.

Лемма 1.1.

1. Если у пространств Mq и М\ секционные кривизны ^ к, а Во + Bi = 0, то у М кривизна ^ к.

2. Если у пространств Mq и Mi секционные кривизны ^ к, a Bo + Bi = 0, то у М кривизна ^ к.

3. Если у пространств Mq и Mi секционные кривизны ограничены сверху, а форма Bo + Bi отрицательно определена, то у М кривизна ограничена сверху.

Доказательство. Первое утверждение следует из леммы 1.4, замечания после леммы 1.5 и леммы 1.6. Второе — из леммы 1.4, замечания после леммы 1.5 и леммы 1.7. И, наконец, последнее — из лемм 1.3, 1.5 и 1.8. ?

Следующее утверждение очевидно.

Лемма 1.2. С точностью до множителя любая ненулевая двумерная площадка (бивектор) U Л V имеет вид X Л (Y + cN), где

п-1 п-1

г=1 i=l


причем

п—1 п—1 п—1

t=l t=l

В дальнейшем кривизна Римана рассматривается для площадок именно такого вида.



Замечание. Векторные поля X и Y указанного вида (с постоянными С{, с и di) коммутируют: [X, Y] = 0. Указанные условия на q, с и d{ гарантируют равномерную ограниченность сверху для величины ||ХЛ(У+ ciV)||~1, числа с, норм полей X и Y и их первых и вторых (ковариантных) производных по X, Y и N, а также для нормы производных произвольного оператора по X и У.

§2. Обобщенные функции и степень гладкости метрического тензора пространства м

Из С2-гладкости метрических тензоров Mq и Mi вплоть до границы сразу следует, что метрический тензор такого пространства непрерывен. Вне Г метрический тензор гладкий, а все его производные в точках Г имеют только (локально) конечный скачок.

Однако нас будут интересовать не обычные производные метрического тензора, а производные в смысле теории обобщенных функций.

Напомним, что под обобщенными функциями на С°°-гладком многообразии понимаются линейные функционалы, заданные на множестве гладких финитных функций Cq° и непрерывные в некотором смысле. Пусть на этом многообразии задана мера /х, эквивалентная объему, соответствующему произвольной (а значит любой) римановой метрике. В нашем случае такой мерой /х будет служить объем, соответствующий нашей (негладкой) метрике. Тогда обычная функция / из L\t ioc задает обобщенную функцию по формуле:

Другим примером обобщенной функции является произвольный заряд v (т.е. знакопеременная мера), определяющий обобщенную функцию следующим образом:

ip I—> / ipdu для if ? С%°.

В дальнейшем, если действие обобщенной функция совпадет с действием функции из Lit ioc (или заряда), мы будем говорить, что эта обобщенная функция совпадает с соответствующей функцией (или зарядом).

Напомним также, что (по аналогии с формулой Стокса) производная обобщенной функции / по гладкому векторному полю v определяется так:

Таким образом произвольная обобщенная функция является обобщено "бесконечно дифференцируемой", и можно изучать свойства ее производных в смысле обобщенных функций.

Для любой обобщенной функции / определено ее произведение на Cq°-функцию а по правилу

Также отметим, что для обобщенных функций, соответствующих зарядам, определено произведение их на непрерывные функции. Дело в том, что действие заряда на Cq° однозначно продолжается с действия на непрерывных функциях. То есть произведение можно задавать тем же правилом.

Далее под производной будет пониматься производная в смысле теории обобщенных функций. Отметим, что это не играет роли для гладких функций так как для них это обычные производные.

Легко видеть, что справедливы следующие леммы.

Лемма 1.3. Метрический тензор пространства М непрерывен, его первые производные — ограниченные функции. Наконец, вторые производные метрического тензора пространства М являются зарядами.

Лемма 1.4. Пусть для пространства М сумма вторых форм относительно внутренних нормалей Во + Bi = 0.

Тогда коэффициенты метрического тензора (•,•) принадлежат соболевско-му классу W^00.

Доказательство. Заметим, что метрический тензор {•,•) может не быть С2-гладким, поскольку на Г может происходить скачок вторых производных, но несмотря на это первые производные непрерывны. Действительно, из условия Bo + Bi = 0 следует, что вторые формы Г относительно нормали N как в пространстве Mq так и в М\ совпадают. Так как связность в Mq и в М\ в токах на Г выражается через связность пространства Г и вторую форму Г относительно N, то (учитывая, что вне Г метрический тензор (•, •) — гладкий) связность Леви-Чивита V непрерывна на М. Формула

ak9ij — 1 ik9ij + l kj9u »

выражающая первые производные коэффициентов метрического тензора (•, •) через сами эти коэффициенты и символы Кристоффеля, показывает, что первые производные метрического тензора непрерывны. Учитывая еще и то, что его вторые производные на Mq и М\ (по отдельности) непрерывны вплоть до Г, получаем, что (•, •) € W^^°. П

§3.Формальные секционные кривизны в М

Напомним обычные формулы для вычисления символов Кристоффеля, кривизны Римана и секционных кривизн (см., например, [36]), где под (ру') понимается матрица обратная к (gij):

(i.i) г& = \дк\дт + дт - д19г1),

k(ukek,vlei) = ulv:jvkulx

(1.3) *.(«'« л

Заметим, что в (1.2) вторые производные входят линейно, а первые производные являются ограниченными функциями. Таким образом для произвольного непрерывного метрического тензора д^, у которого первые производные ограничены, а вторые производные являются зарядами, мы можем определить формальную связность Леей- Чивитта, формальную кривизну Римана и формальные секционные кривизны как обобщенные функции, исходя из (1.1)—(1.3). Вернемся к М, полученному склеиванием двух многообразий. В этом случае символы Кристоффеля (являясь гладкими вне Г) на Г разве что имеют скачок, а формальные кривизны Римана и секционные кривизны являются некоторыми зарядами. Впрочем, если находиться в предположениях леммы 1.4, формальные кривизны являются ограниченными функциями, которые непрерывны вне Г, а на Г разве что имеют скачок. Однако, в любом случае, так как gij g. С2, то нельзя утверждать (без дополнительных обоснований), что формальные кривизны имеют геометрический смысл.

Напомним, что утверждение "заряд ^ к" (или ^ к) означает, что если к этому заряду прибавить заряд с плотностью относительно стандартной меры тождественно равной —к, то получится заряд не принимающий положительных (или отрицательных) значений.

Таким образом, имеет смысл следующая лемма.

Лемма 1.5. Пусть форма Bo + Bi отрицательно (положительно) определена. Тогда формальные кривизны пространства М ограничены сверху (снизу). Более того, если секционные кривизны обоих пространств Mq и М\ в некоторой окрестности ^ к (^ к), то в этой окрестности и формальные кривизны ^ к (^ к).

Доказательство. Мы будем доказывать эту лемму для отрицательно определенной формы Во + Вь Для положительно определенной формы доказательство полностью аналогично.

Так как вне Г обобщенные производные совпадают с обычными производными, то вне Г формальные кривизны совпадают с обычными секционными кривизнами (которые там определены). Поэтому вопрос заключается лишь в том, что происходит на гиперповерхности Г.

Как отмечалось выше, любое двумерное направление можно представить в виде X Л (Y + cN), где N = дхп, а X и У являются линейными комбинациями dxi,...,dxn-i.

Покажем, что при с ф 0 на всем Г у формальных секционных кривизн имеется отрицательная сингулярная нагрузка. Из этого будет следовать, что при с^О формальные кривизны не превосходят К.

Для этого перейдем от формальных секционных кривизн к формальным кривизнам Римана и покажем, что у них имеется отрицательная сингулярная нагрузка на Г. Так как эти кривизны отличаются только на множитель, равный площади двумерной площадки (а эта площадь непрерывна), то этого достаточно.

Теперь преобразуем кривизну Римана (заметим, что поля X, Y и JV коммутируют) :

+ cN) - V(y+CjV)V*(y + cJV),X) = cN),X) - {V(Y+cN)(Y + cN),yxX)--(Y + cN)(Vx(Y + cN),X) + (VX{Y + cN

Легко видеть, что формальная связность Леви-Чивитта, которая вне Г гладкая, на Г может иметь разве что гладкий скачок. Здесь и далее под гладким скачком понимается скачок на Г, величина которого является гладкой функцией на Г. Поэтому, если отбросить величины, которые на Г имеют только гладкий скачок, то останется только третье слагаемое:

-(Y + cN)(Vx(Y + cN),X) =

= -Y(VX(Y + cN),X) - cN(VxY,X) - c2N(VxN,X).

Здесь первое и второе слагаемые имеют только гладкий скачок. Теперь посмотрим на последнее слагаемое —c2N(4xN,X) = c2iV(VxX, N). Отметим, что выражение (VxiV,J) является значением второй формы эквидистантных к Г поверхностей (относительно их нормали iV) на векторе X. При этом нормаль внешняя при хп<0и внутренняя при хп > 0. Поэтому плотность заряда на Г (относительно ее стандартной меры) равняется величине скачка функции c2N(VxX, N), а он равен с2(-В0рО — Bi(X)) Таким образом, кривизны Римана имеют отрицательную сингулярную нагрузку. Следовательно и формальные секционные кривизны имеют отрицательную сингулярную нагрузку при с ф 0.

Теперь рассмотрим случай с = 0. Отметим, что секционные кривизны эквидистантных к Г поверхностей (поверхностей хп = const) непрерывны. Далее воспользуемся теоремой Гаусса. Она, как нетрудно проверить, в данном (негладком) случае также верна. Так как вторые формы имеют только скачок на Г, формальные секционные кривизны имеют только (локально) конечный скачок. То есть формальные кривизны (при с = 0) являются обычными функциями, которые непрерывны вне Г, а на Г имеют скачок. Таким образом лемма доказана. ?

Замечание. Утверждение, аналогичное лемме 1.5 верно и если находиться в предположениях леммы 1.4 (Во + Bi = 0). Действительно, в этом случае формальные кривизны являются L^-функциями. Кроме того, неравенство ^ к (или > к, соответственно) достаточно проверять только во внутренностях Mq и Mi, так как для Lj^-функций неравенство ^ к (или ^ к, соответственно) достаточно проверять почти всюду.

§4. Связь формальных кривизн и кривизны по Александрову

Лемма 1.6. Пусть М — "обобщенное риманово многообразие", a gij € W2^ — коэффициенты его метрического тензора. Пусть все его формальные кривизны (почти всюду) ^ «о-

Тогда Л4 является пространством Александрова кривизны ^ «о-

Доказательство. Усреднив (по Соболеву) тензор д^, получим тензор gij(t), который стремится к д^ при t —> 0. Будем считать t настолько малым, что значения д^ (t) в е-окрестности Ue (x) произвольной точки х не зависят от значений gij вне 2е-окрестности U2e(x) точки х.

Очевидно, что элементы метрического тензора gij(y) и все их первые частные производные, если у меняется в пределах окрестности U2?(x), меняются

меньше, чем на ое(1), где под о?(1) понимается функция, (равномерно) стремящаяся к нулю при е —> 0. Покажем, что у усредненного тензора дц (в окрестности U?(x) произвольной точки х) секционные кривизны > kq — ое(1). Действительно, рассмотрим как изменяется секционная кривизна многообразия Л4 при усреднении. Так как можно рассматривать только двумерные направления и1вг Avjej, для которых Yl(ut) — YHvt) = 1 и ^u*v* = 0 (см. лемму 1.2), то знаменатель gijUxv?guvkvl — {gijUlv^)2 в (1.3) равномерно отделен от нуля. В выражении формальной кривизны Римана (1.2) первое слагаемое в больших скобках |\д*кдц — djtfik — d?k9ji + ^ii9jk) является линейной комбинацией вторых производных метрического тензора, а второе слагаемое

непрерывно.

Итак, числитель правой части (1.3) ограничен, а знаменатель непрерывен и равномерно отделен от нуля. Как видно из (1.1) и формулы для вычисления обратной матрицы, если у меняется в пределах U2?(x), то символы Кристоф-феля Tljk(y) меняются меньше, чем на о?(1). Поэтому, при замене коэффициентов дц (но не их вторых производных) и символов Кристоффеля на их значения в некоторой точке выражение секционной кривизны изменится на ое(1). Следовательно, секционная кривизна близка к аффинной комбинации вторых производных метрического тензора.

Итак, для набора (иг,ъ'г) имеем следующие величины:

1. Формальная кривизна К\ (см. (1.3)).

2. Величина Къ, которая получается из выражения (1.3) (с подстановкой в него (1.2)) при замене коэффициентов gij (но не их вторых производных) и символов Кристоффеля на некоторые константы (их значения в какой-то точке).

3. Секционная кривизна Кз метрики дц.

4. Величина К±, которая получается из выражения (1.3) (с подстановкой в него (1.2)) для сглаженного тензора g"ij при замене его коэффициентов (но не их вторых производных) и соответствующих символов Кристоффеля на ровно те лее самые константы, что и в К?,.

Мы знаем, что в окрестности U2?(x) выполнены следующие соотношения \К\ — А"г| = °е(1)> |^з ~ К±\ — °е(1) и К\ ^ «о- Однако K-i и К± являются аффинными комбинациями вторых производных коэффициентов соответствующих метрических тензоров. Поэтому, в силу линейности усреднения по Соболеву (т.е. того, что оно является линейным отображением пространств функций), К$ есть усреднение величины Кг- Таким образом, если К% ^ kq — о?(1) в окрестности U2?(x), то К4 ^ «о — ое(1) в окрестности U?{x). Окончательно в окрестности U?{x) выполнено Кз ^ ко — о?(1), что и требовалось доказать.

Так как предел (по Громову-Хаусдорфу) пространств ^ к является пространством кривизны ^ к, a gij(t) —*¦ gij при t —> 0, то Л4 является пространством Александрова кривизны ^ «о — о?(1). Наконец, в силу произвольности выбора е, мы получаем, что Л4 имеет кривизну ^ «о-D

Лемма 1.7. Пусть М. — "обобщенное риманово многообразие", а д^ € И^о'^° — коэффициенты его метрического тензора. Пусть все его формальные кривизны (почти всюду) ^ «о-

Тогда Ai является пространством Александрова кривизны ^ kq.

Доказательство. Эта лемма почти ананалогична предыдущей. Есть ровно одно существенное различие. В лемме 1.6 аналогичное заключение вытекало из того, что предел (по Громову-Хаусдорфу) пространств кривизны ^ ко является также пространством кривизны ^ /со. В случае ограниченности кривизны сверху подобное утверждение, вообще говоря, не верно. Для того, чтобы оно стало верным, необходимо наложить на последовательность пространств дополнительные ограничения. Наиболее простым из них является равномерная отделенность от нуля радиуса инъективности. Так как это условие трудно проверять непосредственно, мы воспользуемся другим достаточным условием для того, чтобы верхняя оценка на кривизну сохранялась при предельном переходе. А именно, оценка сохраняется при равномерной сходимости без локальных взрывов, см. [27]. Под сходимостью без локальных взрывов понимается сходимость, при которой отношение расстояний, измеренных с помощью любых двух метрик из семейства сходящихся метрик, (локально, с некоторого момента) равномерно ограничена.

Это условие является более слабым нежели липшицева сходимость. Это ограниченность расстояния по Липшицу. Или же ограниченность диллатации "тождественного" отображения. Однако в нашем случае имеет место даже липшицева сходимость (просто в силу равномерной сходимости метрического тензора). ?

Лемма 1.8. Рассмотрим "обобщенное риманово многообразие" Ai с (вообще говоря, негладким) метрическим тензором gij. Предположим, что все вторые производные (в смысле теории обобщенных функций) этого метрического тензора являются зарядами. Пусть все формальные кривизны (локально) ограничены сверху и к тому же первые производные метрического тензора (локально) равномерно ограничены по абсолютной величине.

Тогда пространство М. с метрическим тензором дц является пространством ограниченной сверху кривизны.

Доказательство. Модифицируем доказательство леммы 1.6 (с учетом замечания про сходимость из доказательства предыдущей леммы). Построим последовательность римановых многообразий равномерно сходящихся к М. такую, что их секционные кривизны ограничены сверху. Такие римановы метрики будут получены из М. сглаживанием д^ по Соболеву. При этом нам надо оценить секционные кривизны сглаженных метрик.

По некоторой аналогии с доказательством леммы 1.6 мы можем рассмотреть следующие шесть величин (каждую из которых будем трактовать, как обобщенные функции или заряды):

1. Формальная кривизна К\.

2. Величина К%, которая получается из (1.3) (с подстановкой в него (1.2)) откидыванием символов Кристоффеля изначальной (негладкой) метрики:

3. Величина К$, которая получается из (1.4) для изначальной (негладкой) метрики заменой коэффициентов метрического тензора (но не их вторых производных) на некоторые константы (их значения в некоторой точке).

4. Секционная кривизна К± усредненной по Соболеву метрики.

5. Величина К$, которая является выражением (1.4), но для сглаженной по Соболеву метрики.

6. Выражение Кб, которое получается из выражения (1.4) для сглаженной по Соболеву метрики при замене коэффициентов метрического тензора (но не их вторых производных) на ровно те же самые константы, что и в К3.

Во первых, К\ и Кг и, соответственно, К± и К$ различаются меньше чем на некоторую константу (в силу равномерной ограниченности первых производных). Далее, мы знаем, что К\ ограничено сверху. Следовательно Кг равномерно ограничено сверху. А значит числитель Кг ограничен сверху. А так как знаменатель Кг (и Кз) равномерно ограничен сверху и отделен от нуля, то и Кз равномерно ограничено сверху.

Однако Кз и Кб являются аффинными комбинациями вторых производных коэффициентов соответствующих метрических тензоров. Поэтому, в силу линейности усреднения по Соболеву (т.е. того, что усреднение по Соболеву является линейным отображением пространств функций), К& является усреднением величины Кз- Таким образом, так как Кз равномерно ограничено сверху, то и Kq также равномерно ограничено сверху.

Поэтому числитель Кб ограничен сверху. А так как знаменатель К$ (и Кб) равномерно ограничен сверху и отделен от нуля, то и К$ равномерно ограничено сверху.

Окончательно, К\ ограниченно сверху (так как К$ и К*, различаются меньше, чем на некоторую константу). То есть значения секционных кривизн метрического тензора, усредненного по Соболеву, ограниченно сверху.

Но с другой стороны, как уже говорилось в лемме 1.7, сходимость будет равномерной без локальных взрывов. Таким образом М является пространством ограниченной сверху кривизны. Это доказывает лемму. ?

Замечание. Очевидно, что аналогичный результат верен и для ограниченности формальных кривизн снизу, однако нам не понадобится.

§5. Малая деформация многообразия с уменьшением второй формы края

Лемма 1.9. У каждой точки края (гладкого) риманова многообразия (М,до) с краем найдется окрестность U с компактным замыканием и непрерывное семейство гладких метрик gs на ней таких, что выполнены следующие условия:

1. Компоненты метрического тензора gs равномерно стремятся к компонентам до при S —> 0.

2. Все метрики gs совпадают на краю многообразия.

3. Разность вторых форм края многообразия (относительно внешней нормали) соответствующих метрикам gs и до является отрицательно определенной при 5 € (0,1].

4- Отличие секционных кривизн метрик gs от соответствующих кривизн метрики до стремится к нулю равномерно на U при при 8 —> 0.

Доказательство леммы 1.9. Для получения необходимого семейства метрик

достаточно рассмотреть скалярные произведения следующего вида:

В этом выражении хп опять является расстоянием до гиперповерхности Г.

Легко видеть, что условия 1, 2 и 4 выполняются, так как эта метрика С2-близка к исходной.

Для того, чтобы проверить условие 3, достаточно написать выражение для второй основной формы на векторном поле X, коммутирующем с единичным полем нормалей N:

-±N((X,X)s) = -\n((X,X)) - \S(X,X).

Здесь левая часть это вторая форма, соответствующая метрике из построенного семейства д$, а первый член правой части — вторая форма, соответствующая изначальной метрике до.



Таким образом, условие 3 также выполняется.