Случайные процессы учебно-методическое пособие Москва 2006 - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Учебно-методическое пособие Ижевск 2012 резьбовые соединения учебно-методическое... 1 403.92kb.
Учебно-методическое пособие Н. Новгород 2011 ббк 74. 5 В 12 2 591.49kb.
Учебно-методическое пособие по специальности 1-08 01 01 «Профессиональное... 4 1608.91kb.
Случайные процессы и динамические системы 1 34.39kb.
1. Введение: зачем все это нужно? Случайные процессы и временные... 1 70.91kb.
Учебно-методическое пособие для студентов 2-го курса биологического... 6 1282.1kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 417.26kb.
Учебно-методическое пособие Под редакцией к ю. н профессора И. 6 1426kb.
Учебно-методическое пособие Издание восьмое, стереотипное Издательство... 12 3595.96kb.
Учебно-методическое пособие по проведению тестирования по дисциплине... 1 180.52kb.
Под общей ред. М. В. Гамезо Общая психология Учебно-методическое... 11 5027.04kb.
Информация Министерства социальной защиты населения и труда Республики... 1 53.04kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Случайные процессы учебно-методическое пособие Москва 2006 - страница №1/1


министерство образования и науки российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Кафедра математических основ управления



СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Учебно-методическое пособие

Москва 2006
УДК 519.7
Составители: А.А.Натан, О.Г.Горбачев, С.А.Гуз,

Е.В.Бурнаев, А.В.Гасников



Случайные процессы: Учебно-методическое пособие / Сост. А.А.Натан, О.Г.Горбачев, С.А.Гуз, Е.В.Бурнаев, А.В.Гасников. – М.:МФТИ. М., 2006. – 18 с.

Содержит программу, список литературы и задачи одноименного курса, читаемого студентам факультета управления и прикладной математики Московского физико-технического института. Задачи могут быть использованы в качестве упражнений на семинарских занятиях, заданий, экзаменационного материала, а также при самостоятельном освоении курса.


ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА

«Случайные процессы»
Определение понятия «случайный процесс». Система конечномерных распределений случайного процесса, ее свойства. Моментные функции случайного процесса. Корреляционная и взаимная корреляционная функции случайных процессов, их свойства. Преобразования случайных процессов.

Непрерывность случайного процесса в среднем квадратическом, ее необходимое и достаточное условие. Непрерывность случайного процесса по вероятности и с вероятностью единица. Производная случайного процесса в среднем квадратическом, необходимое и достаточное условие ее существования. Интеграл от случайного процесса в среднем квадратическом, необходимое и достаточное условие его существования.

Стационарный случайный процесс. Строгая и слабая стационарность случайного процесса. Взаимная стационарность случайных процессов. Эргодичность случайного процесса по математическому ожиданию в среднем квадратическом. Условия эргодичности по математическому ожиданию.

Спектральное представление стационарного случайного процесса. Теорема Хинчина о спектральном представлении корреляционной функции случайного процесса. Спектральная функция и спектральная плотность случайного процесса, их свойства и приложение. Случайный процесс типа «белый шум».

Пуассоновский случайный процесс. Сложный пуассоновский процесс, процесс с пееменной интенсивностью. Процессы восстановления;

Гауссовский (нормальный) случайный процесс, его свойства.

Марковский случайный процесс. Дискретная марковская цепь. Переходные вероятности. Уравнения Колмогорова–Чепмена. Однородные дискретные марковские цепи. Классификация состояний дискретной марковской цепи, теорема о «солидарности» их свойств.

Асимптотическое поведение дискретной марковской цепи. Предельное и стационарное распределения вероятностей состояний дискретной марковской цепи. Торемы об эргодичности дискретных марковских цепей.

Марковская цепь с непрерывным аргументом. Прямое и обратное уравнения Колмогорова–Феллера. Примеры приложения теории марковских цепей (модели систем массового обслуживания).

Непрерывный марковский процесс. Обобщенное уравнение Маркова. Уравнения Колмогорова и Колмогорова–Фоккера–Планка. Броуновское движение (винеровский процесс).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ




  1. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1996. – 320 с

  2. Гнеденко Б,В. Курс теории вероятностей. – М: Наука, 1988. – 446 с.

  3. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир. 1969. – 400 с.

  4. Натан А.А., Горбачев О.Г., Гуз С.А. Основы теории случайных процессов: Учебное пособие. – М.: МФТИ, 2003. – 165 с.

  5. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. – М.: Наука, 1979. – 1984 с.

  6. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

  7. Климов Г.П., Кузьмин А.Л. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. – М.: изд. МГУ, 1985. – 232 с.

  8. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука, 1986. – 328 с.

  9. Случайный вектор. Учебно-методическое пособие. Составитель Натан А.А. – М.: МФТИ, 2003. – 29 с.


ЗАДАЧИ

по курсу «Случайные процессы».
1. Пусть случайный процесс задан на вероятностном пространстве , где: –множество всех подмножеств множества W, P приписывает вероятности, равные 1/2, одноэлементным множествам {1} и {2}. Пусть множество значений параметра есть отрезок [0,1] и . Найти реализации случайного процесса X(t) и его семейство конечномерных распределений.

2. Пусть случайный процесс определен на вероятностном пространстве где = [0, 1], B – -алгебра борелевских подмножеств множества , P – мера Лебега. Пусть (0, 1) и = 1 при при Найти реализации случайного процесса X(t) и его двумерные распределения.

3. Пусть – случайная величина с функцией распределения . Найти семейство конечномерных распределений случайного процесса .

4. X– случайная величина с равномерным распределением на интервале (0,1). Найти вид реализаций, распределения сечений, системы конечномерных распределений, моментные функции (функцию математического ожидания, корреляционную функцию) случайных процессов: ; a – неотрицательная неслучайная величина, tÎ[0,¥).

5. Найти вид реализаций, систему конечномерных распределений, моментные функции (математическое ожидание, корреляционную функцию) пуассоновского случайного процесса.

6. Показать, что для нормального случайного процесса функция математического ожидания m = m(t) и корреляционная функция R = R(t1, t2) вполне задают систему конечномерных распределений процесса.

7. Пусть X и Y – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 1/2, Найти семейство конечномерных распределений случайного процесса

8. Пусть X и Y – случайные величины, причем Y имеет симметричное относительно нуля распределение, Найти вероятность того, что реализации случайного процесса , возрастают.

9. Найти корреляционную функцию случайного процесса где – неслучайные функции, – некоррелированные случайные величины с дисперсиями соответственно.

10. Пусть X1(t), …, Xn(t) – независимые случайные процессы с функциями математического ожидания MXi(t) = mi(t) и с корреляционными функциями . Найти функцию математического ожидания и корреляционную функцию случайного процесса

11. Пусть X1(t), X2(t) – два независимых случайных процесса с корреляционными функциями и . Найти корреляционную функцию случайного процесса

12. Пусть – вещественное число. Найти корреляционную функцию случайного процесса .

13. Пусть случайные величины такие, что V не зависит от А и равномерно распределена на отрезке [0, 2p], A и X имеют совместное распределение с функцией плотности распределения . Найти математическое ожидание и корреляционную функцию случайного процесса . Является ли данный случайный процесс стационарным?

14. Случайный процесс имеет вид , где A и B – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1], . Вычислить вероятность случайного события





15. Пусть для корреляционной функции RX(t1,t2) случайного процесса X(t) выполняется условие: для пары



Как это условие отражается на свойствах случайного процесса?

16. Показать, что любая функция двух аргументов вида


( – любые неслучайные действительные функции) обладает свойствами корреляционной функции.
17. X и Y – независимые случайные величины с распределениями вероятностей: P{X=1}=P{X=-1}=P{Y=1}=P{Y=-1}=0,5. Является ли случайный процесс

.

( – неслучайная величина) стационарным а) в широком смысле; б) в узком смысле?

18. Пусть , – пуассоновский случайный процесс с параметром l. Доказать, что случайный процесс является стационарным в широком смысле.

19. Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин?

20. Доказать, что сумма независимых стационарных случайных процессов является стационарным случайным процессом.

21. Пусть – стационарный случайный процесс, Y – случайная величина. Является ли случайный процесс стационарным?

22. Пусть X(t) – стационарный (в широком смысле) дифференцируемый в среднем квадратическом случайный процесс. Является ли стационарным случайный процесс Являются ли процессы X(t) и Y(t) взаимно стационарными?

23. Показать, что для эргодичности по математическому ожиданию стационарного случайного процесса X(t) с корреляционной функцией RX() достаточно выполнения условия .

24. Случайный процесс задан в виде , где – заданное число, – гауссовский центрированный стационарный в широко смысле случайный процесс, имеющий непрерывную корреляционную функцию (), причем Исследовать случайный процесс Y(t) на стационарность и эргодичность, найти его корреляционную функцию. (Учесть, что для системы нормально распределенных центрированных случайных величин справедливо соотношение

где при

25. Случайный процесс X(t) имеет вид , где – известные числа, j – случайная величина с функцией плотности распределения f(x), t ³ 0. Исследовать случайный процесс X(t) на стационарность и на эргодичность по математическому ожиданию в следующих случаях a) f(x) = cos х при х Î [0, p/2], f(x) = 0 при х  [0, p/2]; б) f (x) = 1/2p при x Î [0,2p], f(x) = 0 при x Ï [0, 2p].

26. X(t) – случайный процесс с корреляционной функцией, , Y – независимая от X(t) случайная величина с дисперсией . Являются ли эргодичными по математическому ожиданию процессы X(t) и Z(t)=X(t)+Y ?

27. Показать, что функция , где – некоторые положительные постоянные, может быть корреляционной функцией непрерывного в среднем квадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса. Определить спектральную плотность, соответствующую такой корреляционной функции.

28. Проверить, что функция является корреляционной функцией некоторого случайного процесса. Найти его спектральную плотность.

29. Найти спектральную плотность случайного процесса , корреляционная функция которого имеет вид

30. Пусть – случайный процесс, определенный на вероятностном; пространстве Доказать, что если множество счетно и все одноточечные его подмножества имеют положительные вероятности, то стохастическая непрерывность случайного процесса эквивалентна условию непрерывности :всех его траекторий.

31 Пусть – случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и с корреляционной функцией вида . Доказать, что данный случайный процесс бесконечно дифференцируем в среднем квадратическом.

32. Исследовать на дифференцируемость в среднем квадратическом случайный процесс где – известные числа, – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 2p], t ³ 0.

33. Показать, что поток событий является пуассоновским с интенсивностью  тогда и только тогда, когда временной интервал между соседними событиями имеет показательное распределение с математическим ожиданием MX = -1.

34.Точечный случайный процесс X(t) представляет собой результат сложения r независимых пуассоновских потоков событий с интенсивностями . Определить тип и параметры процесса X(t).

35. Пусть задан пуассоновский поток событий X(t) с интенсивностью . Представим этот поток в виде r подпотоков путем отнесения каждого события из X(t) к подпотоку Xi(t) с вероятностью pi (независимо от других событий), Определить тип и параметры случайных процессов .

36. Пусть X(t) – пуассоновский случайный процесс с интенсивностью  и Y(t) – случайный процесс, полученный в результате удаления из X(t) всех событий, очередной номер которых не кратен s. Определить тип и параметры распределения интервала между соседними событиями в случайном процессе Y(t).

37. Деятельность коммерческой фирмы состоит в выполнении потока сделок, реализуемых в случайные моменты времени t = t1, t2,…,tk,…Каждая k-ая сделка приносит фирме прибыль, представляющую собой случайную величину Vk с математическим ожиданием m и с дисперсией 2. Поток сделок описывается пуассоновским процессом с интенсивностью . Найти математическое ожидание и дисперсию суммарной прибыли, получаемой фирмой к моменту t. Используя предельную теорему, оценить вероятность получения суммарной прибыли к моменту t = t* не ниже Q* (положить:  = 1, t* = 100, m = 4, 2 = 9, Q* = 250).

38. В задаче 58 случайная величина Vk с вероятностью p принимает значение 1 («успешная сделка») и с вероятностью q = 1 - pзначение 0 («безуспешная сделка»). Найти тип и параметры потока успешных сделок.

39. Пусть X(t) – нормальный (гауссовский) случайный процесс с корреляционной функцией Проверить существование производной в среднем квадратическом, найти распределение случайного процесса Y(t) и взаимную корреляционную функцию процессов X(t) и Y(t).

40. Пусть X(t) – нормальный (гауссовский) случайный процесс с математическим ожиданием mX(t) = m = const и корреляционной функцией Найти вероятность , если (величины с и заданы).

41. Пусть X(t) = (X1(t), …, Xn(t)) – n – мерный нормальный стационарный векторный случайный процесс с известными моментными функциями – вектором математических ожиданий его компонент MX(t) = (MX1(t), …, MXn(t)) и матрицей корреляционных функций R(t1, t2) =(Rij(t1, t2)), где при i = j Rii(t1, t2) – корреляционная функция случайного процесса Xi(t) и при ij Rij(t1, t2) – взаимная корреляционная функция случайных процессов Xi(t) и Xj(t) (i, j = 1, …, n). Найти распределение скалярного случайного процесса Xn в момент времени при известных значениях[ случайных процессов X1(t), …, Xn-1(t) в момент. .

42. Пусть X(t) = (X1(t), X2(t)) – двухмерный нормальный стационарный векторный случайный процесс с известными моментными функциями: MX(t) = (MX1(t), MX2(t)), корреляционными функциями . и взаимной корреляционной функцией его компонент. Найти вероятность , если (величины с и d заданы).

43. Урна содержит в начальный момент m белых и k черных шаров. Опыт состоит в последовательности шагов с извлечением из урны на каждом n–м шаге одного шара, его возвращением в урну и добавлением в неё одного шара того же цвета. Пусть событие An обозначает извлечение белого шара на n-м шаге, а событие Bn(r) – нахождение в урне на n-м шаге r белых шаров. Являются ли последовательности {An} и {Bn(r)} марковскими?
44. Однородная дискретная марковская цепь X(t) с множеством состояний S имеет известные переходные вероятности

pij=P{X(t+1) =j| X(t)=i}, i,jÎS.

Найти распределение вероятностей состояний процесса в момент t+1, если а) известно состояние процесса в момент t; б) известно распределение вероятностей состояний процесса в момент t; в) известно состояние процесса в момент t – 1.

45. Товар определенного типа продается магазином поштучно в порядке очереди (по записи). Число покупателей U(r), записывающихся в очередь в течение r-го интервала времени (r = 1, 2,…)– случайная величина; случайные величины независимы в совокупности. В начале каждого интервала времени на продажу в магазин поступает один экземпляр товара при условии, что очередь на его покупку не пуста. Является ли длина очереди, фиксируемая в конце каждого интервала времени, марковской цепью?

46. Показать, что для дискретной марковской цепи при t1 < t2 < t3 одновременно справедливы равенства



а)

;

б)



в)

.

47. Пусть последовательность X0, X1, …, Xn – дискретная марковская цепь. Является ли марковской последовательность Xn, Xn -1, …, X0?

48. Пусть – последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковую функцию плотности распределения f (x): f(x) > 0, -¥ < x < ¥. Является ли последовательность марковской, если:

Для марковских цепей найти переходные вероятности за один шаг.

49. Пусть и – две марковские цепи. Будет ли марковской цепью последовательность ?

50. Пусть последовательность случайных величин X0, X1,… образует марковскую цепь. Доказать, что любая подпоследовательность последовательности X0, X1, …также является марковской цепью.

51. Известно, что дискретная марковская цепь полностью определяется начальным распределением и матрицей вероятностей перехода за один шаг. Определяется ли дискретная марковская цепь начальным распределением и матрицей вероятностей перехода за два шага?

52. Пусть – последовательность случайных величин, образующих марковскую цепь, (x) – некоторая функция. Будет ли последовательность (X0), (X1), …марковской цепью?

53. Дискретная марковская цепь имеет следующую матрицу вероятностей перехода за один шаг:

Найти матрицу вероятностей перехода за n шагов и предел при

54. Пусть – последовательность случайных величин, образующие однородную дискретную марковскую цепь. Доказать, что для того, чтобы случайные величины были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за один шаг были одинаковыми.

55 Пусть – последовательность попарно независимых (необязательно независимых в совокупности) случайных величин. Образуют ли они дискретную марковскую цепь?

56. Классифицировать состояния дискретной марковской цепи, изображенные на графике (стрелками изображены переходы, имеющие ненулевые вероятности).

57. Однородная дискретная марковская цепь с тремя состояниями S={0,1,2} имеет матрицу одношаговых переходных вероятностей



Классифицировать состояния цепи.


58. Классифицировать состояния однородной дискретной марковской цепи с счетным множеством состояний S={1,2, …, n,… }, имеющей матрицу одношаговых переходных вероятностей


59. Показать, что в неразложимой однородной дискретной марковской цепи с нулевыми состояниями для "i,j

60. Доказать, что в конечной неразложимой однородной дискретной марковской цепи все состояния – ненулевые.

61. Доказать, что неразложимая дискретная марковская цепь, у матрицы переходных одношаговых вероятностей которой хотя бы один диагональный элемент положителен, не может быть периодической. Может ли неразложимая дискретная марковская цепь, у матрицы одношаговых переходных вероятностей которой все диагональные элементы суть нули, быть непериодической?

52. Пусть X0, X1,… – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения –1 и +1 с вероятностями p и q = 1-p соответственно. Выяснить, будет ли последовательность случайных величин Y0, Y1, …Yn ,… марковской цепью, если положить



63. Проведение некоторого эксперимента состоит в осуществлении большого числа шагов. На каждом шаге может быть выбрано одно из двух возможных действий. Каждое действие может привести как к успеху, так и к неудаче данного шага. Существуют вероятности успеха первого и второго действий соответственно и вероятности их неудач которые экспериментатору неизвестны. Цель экспериментатора состоит в максимизации математического ожидания числа успехов в эксперименте в целом. Сравнить две стратегии проведения эксперимента: а) равновероятный выбор на каждом шаге каждого действия; б) повторение на следующем шаге действия, приведшего к успеху на предшествующем шаге, и смена действия, приведшего к неудаче.


ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

– вероятностное пространство (W – множество исходов, F – s-алгебра, P – вероятностная мера);

MX(t)математическое ожидание случайного процесса X(t);

DX(t)дисперсия случайного процесса X(t);

RX(t1, t2) – корреляционная функция случайного процесса X(t);

N(m, s2) – нормальное распределение с параметрами: m (математическое ожидание) и s2 (дисперсия);

Po(l) – распределение Пуассона с параметром (интенсивностью) l;

F*(×) – функция распределения стандартного нормального распределения N(0,1);



– центрированный случайный процесс;

, T знаки транспонирования (вектора, матрицы).

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Учебно-ме6тодическое пособие


Составители:

Натан Андрей Александрович


Горбачев Олег Геннадьевич

Гуз Сергей Анатольевич

Бурнаев Евгений Владимирович

Гасников Александр Владимирович


Редактор И.А. Волкова


Корректор О.П. Котова
Подписано в печать 26.06.06. Формат 60  84. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.1. Уч.-изд. л. 1.1. Тираж 900 экз.

Заказ № ф-96 .
Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)

Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.