Сергейкин Олег Анатольевич мгту им. Н. Э. Баумана, кафедра мт-1

О
http://sergeykin.nm.ru/

БЗОР ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРОГРАММЫ ANSYS

Сергейкин Олег Анатольевич

МГТУ им. Н. Э. Баумана, кафедра МТ-1 (“Металлорежущие станки”)

http://sergeykin.nm.ru

sergeykin@nm.ru

4 ноября 2002 г.

Представлено описание методов и средств параметрической оптимизации конструкций, доступных в программе ANSYS. Рассмотрены их возможности и алгоритмы, лежащие в основе их работы. При подготовке обзора использовалась документация к ANSYS 5.7 ([1, 2]).

Введение

Программа ANSYS располагает возможностями не только для расчета конструкции, но и для отыскания ее оптимального варианта (оптимального проекта). Оптимальным является проект, отвечающий всем предъявляемым требованиям и имеющий минимальные значения определенных показателей, таких как вес, площадь поверхности, объем, напряжения, собственные частоты и т. п.

В ANSYS доступны методы и средства оптимизации. Следует сразу указать разницу между ними. Методы оптимизации (methods) обеспечивают оптимизацию целевой функции путем варьирования входных параметров. Средства оптимизации (tools) обеспечивают получение нескольких наборов выходных параметров (целевая функция, переменные состояния) при изменении входных параметров по заданному закону, оптимизацию целевой функции они не производят.

Перед описанием методики оптимизации проекта в ANSYS, необходимо определить некоторые термины.

Переменные проекта (design variables) – это параметры, которые изменяются с целью нахождения оптимального проекта. Для переменных проекта указываются ограничения – минимальное и максимальное значения. Эти значения определяют диапазон изменения переменных проекта. Переменными проекта обычно являются геометрические параметры, такие как длина, толщина, диаметр или координаты точек. Переменные проекта могут принимать только положительные значения.

Переменные состояния (state variables) – это параметры, которые служат ограничениями для проекта. Они также называются зависимыми переменными. Как правило, они представляют собой параметры отклика, являющиеся функциями переменных проекта. Переменные состояния могут быть ограничены максимальным и минимальным значениями или иметь только одно из этих ограничений. Примерами переменных проекта являются напряжения, температуры, скорости тепловых потоков, собственные частоты, деформации и т. п. Однако переменная состояния не обязательно должна быть вычисляемой величиной, в качестве переменной состояния может быть указан любой параметр.

Целевая функция (objective) – это зависимая переменная, которую требуется минимизировать. Она должна быть функцией переменных проекта, т. е. изменение значений переменных проекта должно изменять значение целевой функции. В оптимизационной задаче может быть определена только одна целевая функция.

Переменные проекта, переменные состояния и целевая функция обобщенно называются переменными оптимизации (optimization variables). Пользователь должен указать, какие параметры в модели являются переменными проекта, переменными состояния, и целевой функцией.

Набор параметров проекта, или проект (design set, design) – это набор значений параметров, представляющих какую-либо конфигурацию модели. Как правило, набор параметров проекта характеризуется значениями переменных оптимизации, однако в него включаются все параметры модели, в том числе и те, которые не являются переменными оптимизации.

Возможный проект (feasible design) – это проект, удовлетворяющий всем указанным ограничениям – на переменные состояния и переменные проекта. Если хотя бы одно из ограничений не соблюдается, проект называется невозможным (infeasible design). Наилучший проект (best design) – тот, который удовлетворяет всем ограничениям и обеспечивает минимальное значение целевой функции. Если все проекты являются невозможными, наилучшим является проект, наиболее близкий к тому, чтобы быть возможным, вне зависимости от значения целевой функции.

Методы оптимизации в ANSYS. Общее описание

Методы оптимизации производят минимизацию целевой функции. В программе доступны два метода: метод аппроксимации (subproblem approximation method) и метод первого порядка (first order method). Метод аппроксимации – это метод нулевого порядка, обеспечивающий эффективное решение большинства конструкторских задач. Метод первого порядка основан на оценке чувствительности проекта к изменению определенных факторов и более подходит для решения задач, требующих высокой точности.

Кроме того, пользователь может применить другой оптимизационный алгоритм, в этом случае алгоритм ANSYS будет пропущен.

Как при использовании метода аппроксимации, так и метода первого порядка, программа выполняет серию итераций. В течение каждой итерации выполняется расчет начального проекта, оценивается соответствие результатов расчета определенным критериям качества и, при необходимости, осуществляется изменение проекта. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены определенные условия.

Переменные состояния и ограничения на переменные проекта используются, чтобы ограничить изменения в проекте и приводят к оптимизационной задаче с ограничениями. ANSYS преобразует эту задачу в оптимизационную задачу без ограничений. При проведении оптимизации по каждому из методов, программа учитывает ограничения, наложенные на переменные состояния, добавляя к целевой функции штрафные функции.

Метод аппроксимации

При использовании метода аппроксимации программа на каждой итерации производит аппроксимацию целевой функции и переменных состояния (методом наименьших квадратов) квадратичными функциями переменных проекта. Для аппроксимации используются значения целевой функции и переменных состояния на предыдущих итерациях (т. е. для предыдущих наборов параметров).

Следует отметить, что в документации к ANSYS не описаны некоторые детали алгоритма построения данных аппроксимаций (вычисление весовых коэффициентов для различных наборов параметров). Кроме того, существуют ограничения на количество одновременно учитываемых при аппроксимации наборов параметров.

После построения аппроксимаций программа преобразует оптимизационную задачу с ограничениями в задачу без ограничений, находит экстремум аппроксимации целевой функции и назначает на следующей итерации значения переменных проекта, соответствующие этому экстремуму. Эта процедура повторяется и на следующих итерациях.

Пользователь может выбирать тип аппроксимирующей функции. Можно использовать линейную функцию, квадратичную функцию без перекрестных членов и квадратичную функцию с перекрестными членами

Для начала итераций по методу аппроксимации необходимо наличие определенного количества наборов параметров (для построения аппроксимирующей функции). В случае их отсутствия программа создаст их сама, случайным образом варьируя переменные проекта внутри их границ.

Т. к. это случайные наборы параметров, то сходимость может быть медленной. Иногда можно ускорить сходимость, создав несколько возможных наборов параметров. Это может быть сделано путем создания нескольких случайных наборов параметров и исключения всех невозможных наборов параметров. Кроме того, можно создать начальные наборы параметров путем выполнения нескольких одиночных циклов анализа, указывая новые значения переменных проекта перед каждым циклом.

В конце каждого цикла анализа производится проверка сходимости и условий прерывания оптимизации. Задача считается сошедшейся, если текущий, предыдущий и наилучший проекты (наборы параметров) являются возможными и выполнено одно из следующих условий:

– Разность значений целевой функции между лучшим возможным проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции;

– Разность значений целевой функции между двумя последними проектами меньше погрешности сходимости целевой функции;

– Разности значений всех переменных проекта между лучшим возможным проектом и текущим проектом меньше их погрешностей сходимости;

– Разности значений всех переменных проекта между двумя последними проектами меньше их погрешностей сходимости.

Пользователь может указать погрешности сходимости целевой функции и переменных проекта.

Иногда процедура оптимизации может быть прервана до достижения сходимости. Это происходит в случае выполнения одного из приведенных ниже условий:

Выполнено указанное количество итераций;
Количество последовательных невозможных проектов достигло указанного предела.

Сходимость не всегда означает нахождение глобального минимума. Она означает только то, что был выполнен один из указанных выше критериев. Поэтому именно пользователь должен определить, был ли проект достаточно оптимизирован. Если это не так, то можно выполнить дополнительные итерации.

Метод первого порядка

Метод первого порядка использует информацию о производных зависимых переменных относительно переменных проекта. Этот метод очень точен и хорошо решает задачи с большими диапазонами изменения зависимых переменных, однако требует больших вычислительных ресурсов.

При использовании метода первого порядка программа преобразует оптимизационную задачу с ограничениями в задачу без ограничений, а затем на каждой итерации вычисляет градиент целевой функции по переменным проекта. Для вычисления каждой частной производной программа присваивает небольшое приращение соответствующей переменной проекта, оставляя значения других переменных проекта прежними, и производит расчет конструкции с данным набором параметров.

После вычисления всех частных производных, определяется направление поиска экстремума на данной итерации. Следует отметить, что, в общем случае, поиск осуществляется не в направлении градиента, для определения направления поиска используется более сложная зависимость. Затем осуществляется линейный поиск экстремума целевой функции по данному направлению.

Пользователь может указать приращения переменных проекта, используемые для вычисления градиента, а также предельное значение шага линейного поиска

Таким образом, каждая итерация разделяется на набор субитераций, который включает поиск направления и вычисление градиента. В связи с этим одна оптимизационная итерация для метода первого порядка включает в себя несколько циклов анализа.

Найденный таким образом экстремум используется в качестве исходной точки для следующей итерации и т. д.

Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнута сходимость или условия прерывания процесса оптимизации. Задача считается сошедшейся, если текущий, предыдущий и наилучший проекты (наборы параметров) таковы, что выполняется одно из следующих условий:

– Разность значений целевой функции между лучшим проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции.

– Разность значений целевой функции между предыдущим проектом и текущим проектом меньше погрешности сходимости целевой функции.

Процедура оптимизации может быть прервана до достижения сходимости. Это происходит в случае, если выполнено максимальное количество итераций, указанное пользователем.

По сравнению с методом аппроксимации, метод первого порядка является более точным. Однако высокая точность метода первого порядка не всегда гарантирует получение наилучшего решения. Для метода первого порядка возможна сходимость при невозможном наборе параметров проекта. В этом случае, скорее всего, был обнаружен локальный минимум, или не существует возможных наборов параметров проекта.

Если это случилось, может быть полезным проведение оптимизации методом аппроксимации, т. к. это более хорошее средство для исследования всей области варьирования параметров проекта. Кроме того, будет полезным получить случайные наборы параметров проекта, чтобы обнаружить область их возможных значений (если она существует), а затем перезапустить метод первого порядка, используя возможный набор параметров проекта в качестве начальной точки.

Средства оптимизации в ANSYS

В дополнение к двум методам оптимизации, в программе ANSYS доступны пять различных средств оптимизации.

Средства оптимизации используются для оценки и понимания области варьирования параметров проекта. Они обеспечивают не оптимизацию целевой функции, а автоматическое получение нескольких наборов параметров проекта при определенном законе изменения переменных проекта. Для использования этих средств не требуется наличие целевой функции, однако переменные проекта должны быть определены.

Средства оптимизации, доступные в ANSYS:

Однократный анализ (single-loop analysis tool) заключается в выполнении расчета одного варианта конструкции с установленными в данный момент переменными проекта.

Случайное варьирование (random tool) выполняет указанное число циклов анализа, устанавливая каждый раз для переменных проекта случайные значения. Появившийся в версии ANSYS 5.7 модуль вероятностного анализа является своеобразным расширением этого средства оптимизации.

Сканирование области варьирования параметров (sweep tool) создает заданное количество наборов параметров, поочередно варьируя каждую переменную проекта в исходном наборе параметров через весь диапазон ее изменения. Значения других переменных проекта при этом остаются неизменными.

Факторный анализ (factorial tool) создает наборы параметров, анализируя конструкцию при различных сочетаниях крайних значений переменных проекта.

Градиентный анализ (gradient tool) вычисляет градиенты целевой функции и переменных состояния относительно переменных проекта.

Литература

ANSYS 5.7 Theory Reference. ANSYS Inc., 2001.
ANSYS 5.7 Advanced Analysis Techniques Guide. ANSYS Inc., 2001.

О http://sergeykin.nm.ru/