Семинар 10. Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина  принимает значения a - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Контрольная работа 1 Пусть где случайная величина, c =const. 1 85.32kb.
1403. Экз. 01;Тбпд. 01;1 стандартная нормальная случайная величина. 3 588.66kb.
1. приращение аргумента и приращение функции 1 67.01kb.
Оператор кинетической энергии. В 1 46.08kb.
M[X] и дисперсии D[X]. Предполагая, что случайная величина Х 1 50.47kb.
Лекции И. В. Ященко 30 11. 2005 «замкнутая непрерывная кривая без... 1 16.87kb.
Задача Случайная величина задана интегральной функцией 1 29.01kb.
Контрольная работа №3 по курсу «Количественные методы в экономике»... 1 46.85kb.
Задача Непрерывная случайная величина задана ее плотностью распределения 1 18.13kb.
Семинар по Литургике №2 (3-й курс, Красовицкий И. А.) 1 147.61kb.
2. Случайные величины дискретные и непрерывные случайные величины 2 383.56kb.
Гипотезы о параметрах многомерной нормальной случайной величины 1 37.81kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Семинар 10. Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина  принимает значения - страница №1/1

(ТВиМС, 9.11.03) Семинар 10.

Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина  принимает значения a1, a2,…, r– число элементов соответствующей выборки =(X1,…,Xn), принявших значение ar( r=1, 2,…), r*=r /n– относительная частота.

Запись в виде последовательности пар {( ar, r)}, где r >0, или в виде таблицы


a1

a2

a3

…..

…..

1

2

3

……

……

называется статистическим рядом.

Наиболее важными характеристиками случайной величины  являются ее моменты k=Ek, а также центральные моменты k=E(–1)k (когда они существуют). Их статистическими аналогами, вычисляемыми по соответствующей выборке = (X1,…,Xn), являются выборочные моменты



, .

Величина называется выборочным средним и обозначается :==; величина называется выборочной дисперсией Dв===.

Если выборочные данные представлены в виде статистического ряда {( ar, r)}, то выборочные моменты вычисляются по формулам

, .

Для произвольного распределения F и произвольного числа p(0,1) уравнение F(x)=p определяет р-квантиль p, т.е. F(p)=p (чтобы решение было однозначным, график F(x) в точках разрыва (когда они есть) дополняют вертикальными отрезками, а в случаях, когда этому уравнению удовлетворяет много значений х, в качестве p выбирается минимальное) . Выборочная р-квантиль определяется как р-квантиль эмпирической функции распределения , т.е. =p, и является статистическим аналогом p.




Задачи


1. Дан статистический ряд {(–6, 1), (–5, 4), (–4, 1), (–3, 2), (–2, 3), (–1, 2), (0, 4), (2, 2), (3,1)}. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Ответ: =–1,85; =6,628.

2. Дан статистический ряд



ar

2

5

7

10

r

16

12

8

14

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию.

3. Задан статистический ряд {( ar, r) выборки объема n.



  1. Пусть ui=aic,i=1,2,….Доказать, что =с+, Dв(a)=Dв(u).

  2. Пусть ui=cai, i=1,2,….Доказать, что Dв(a)=Dв(u)/c2.

4. Для статистических рядов

ar

1250

1270

1280

r

2

5

3



ar

340

360

375

380

r

20

50

18

12




ar

0,01

0,04

0,08

r

5

3

2

Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, используя задачу 3.

5. Доказать, что выборочная p-квантиль выражается через порядковые статистики X(k) выборки = (X1,…,Xn) следующим образом:

где [a]– целая часть числа a.

6. Доказать формулы

E=k, D=(2kk2)/n, cov(,)=(k+sks)/n.

(предполагается, что моменты 2k, k+s конечны). Указание. Воспользоваться независимостью и одинаковой (с величиной ) распределенностью элементов выборки = (X1,…,Xn)

7. Воспользовавшись неравенством Чебышева, доказать, что при n и любом >0

P{| –k |>}0.

8. Доказать, что при k2 имеет место представление

.

9. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочной дисперсии.

Указание. Перейти к центрированным величинам Yi=Xi1 и записать Dв в виде

Dв= . Ответ E Dв= 2, D( Dв)=.

10. Воспользовавшись центральной предельной теоремой и задачей 6, доказать, что при n выборочный момент асимптотически нормален с параметрами, т.е.



.

11. Пусть vn есть число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p (0pn вычислить границу  такую, что . Укладываются ли в эти границы при =0,98 результаты следующего эксперимента: при n=4040 бросаниях монеты наблюдалось 2048 выпадений «герба». Указание: Воспользоваться центральной предельной теоремой, монету считать симметричной. Ответ: =, q=1–p, определяется уравнением Ф()=(1+)/2, 0,98=0,0183 и соответствие данных теории хорошее.



12. Используя такой же подход, как в задаче 11, проверить соответствие теории следующих данных: среди n=10000 «случайных чисел» 0, 1,…,9 числа, не превосходящие 4, встретились 5089 раз. Ответ: 0,98=0,0116 и соответствие данных теории хорошее.