страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Семинар 10. Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина принимает значения - страница №1/1
(ТВиМС, 9.11.03) Семинар 10.Пусть наблюдаемая в эксперименте случайная величина принимает значения a1, a2,…, r– число элементов соответствующей выборки =(X1,…,Xn), принявших значение ar( r=1, 2,…), r*=r /n– относительная частота. Запись в виде последовательности пар {( ar, r)}, где r >0, или в виде таблицы
называется статистическим рядом. Наиболее важными характеристиками случайной величины являются ее моменты k=Ek, а также центральные моменты k=E(–1)k (когда они существуют). Их статистическими аналогами, вычисляемыми по соответствующей выборке = (X1,…,Xn), являются выборочные моменты , . Величина называется выборочным средним и обозначается :==; величина называется выборочной дисперсией Dв===. Если выборочные данные представлены в виде статистического ряда {( ar, r)}, то выборочные моменты вычисляются по формулам Для произвольного распределения F и произвольного числа p(0,1) уравнение F(x)=p определяет р-квантиль p, т.е. F(p)=p (чтобы решение было однозначным, график F(x) в точках разрыва (когда они есть) дополняют вертикальными отрезками, а в случаях, когда этому уравнению удовлетворяет много значений х, в качестве p выбирается минимальное) . Выборочная р-квантиль определяется как р-квантиль эмпирической функции распределения , т.е. =p, и является статистическим аналогом p. Задачи1. Дан статистический ряд {(–6, 1), (–5, 4), (–4, 1), (–3, 2), (–2, 3), (–1, 2), (0, 4), (2, 2), (3,1)}. Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. Ответ: =–1,85; =6,628. 2. Дан статистический ряд
Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию. 3. Задан статистический ряд {( ar, r) выборки объема n.
4. Для статистических рядов
Вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, используя задачу 3. 5. Доказать, что выборочная p-квантиль выражается через порядковые статистики X(k) выборки = (X1,…,Xn) следующим образом: где [a]– целая часть числа a. 6. Доказать формулы (предполагается, что моменты 2k, k+s конечны). Указание. Воспользоваться независимостью и одинаковой (с величиной ) распределенностью элементов выборки = (X1,…,Xn) 7. Воспользовавшись неравенством Чебышева, доказать, что при n и любом >0 P{| –k |>}0. 8. Доказать, что при k2 имеет место представление 9. Вычислить математическое ожидание и дисперсию выборочной дисперсии. Указание. Перейти к центрированным величинам Yi=Xi–1 и записать Dв в виде 10. Воспользовавшись центральной предельной теоремой и задачей 6, доказать, что при n выборочный момент асимптотически нормален с параметрами, т.е. . 11. Пусть vn есть число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p (0pn вычислить границу такую, что . Укладываются ли в эти границы при =0,98 результаты следующего эксперимента: при n=4040 бросаниях монеты наблюдалось 2048 выпадений «герба». Указание: Воспользоваться центральной предельной теоремой, монету считать симметричной. Ответ: =, q=1–p, определяется уравнением Ф()=(1+)/2, 0,98=0,0183 и соответствие данных теории хорошее. 12. Используя такой же подход, как в задаче 11, проверить соответствие теории следующих данных: среди n=10000 «случайных чисел» 0, 1,…,9 числа, не превосходящие 4, встретились 5089 раз. Ответ: 0,98=0,0116 и соответствие данных теории хорошее. |
|