Расчётная схема: Параметры схемы: e = 100 B; j = 2 A

РГЗ № 4

Вариант № 9

Расчётная схема: Параметры схемы:

E = 100 B; J = 2 A;

R₁ = 60 Ом; R₂ = 50 Ом;

R₃ = 25 Ом; L = 20 мГн;

С = 250 мкФ;

Определить i_C, u_ab

Классический метод:

Независимые начальные условия:

Из схемы видно, что iL0=E-R3JR3 A и UC0=0 B

Составление ХУ(характеристическое уравнение): разрываем послекоммутационную схему в любом месте и записываем входное сопротивление относительно получившихся зажимов с условием, что ЭДС закорачиваются, источники тока разрываются.

R3LpR3+Lp+R2+1CpR1R1+R2+R3LpR3+Lp+1Cp=0

R1R3LCp2+R2CpR3+Lpp+R3+Lp=0
R1LCR2+R3p2+R1R2R3C+Lp+R1R3 =0

p2 +R2R3C+LLCR2+R3p+R3LCR2+R3=0

p2 +886.667p+66666.667=0
p2 +b∙p+c=0
Решая квадратное уравнение, получим корни:

p1,2=-b±b2-4c2

p1=-82.948
p2=-803.719

Находим установившиеся значения при t→∞:

iC∞=0 A

Uab∞=E=100 В

Общий вид искомых величин:

iCt=A∙ep1∙t+B∙ep2∙t+iС∞=A∙e-82.948∙t+B∙e-803.719∙t
Uabt=A'∙ep1∙t+B'∙ep2∙t+Uab∞=A'∙e-82.948∙t+B'∙e-803.719∙t+100

Нахождение зависимых начальных условий с помощью независимых начальных условий:

составляем систему уравнений Кирхгофа в дифференциальной форме:
iL-iE-i1=0iC+i2-iL=JR1i1=-ER3i2+LdiLdt=ELdiLdt+R1i1+UC+R2iC=0
Вычитаем из 4-го уравнения 5-е:
R3i2-R1i1-UC-R2iC=E (*)
Упростив это уравнение с учётом независимого начального условия на конденсаторе и 3-го уравнения запишем:
R3i2=R2iC
Выражаем из 2-го уравнения второй ток и подставляем в уравнение выше:
i2=iL+J-iC
iC=R3J+iL0R2+R3
Чтобы найти производную продифференцируем 3-е и (*), и с учётом этого, аналогичными вычислениями, выражаем искомую производную:
R1di1dt=0⟹di1dt=0
R3di2dt-R1di1dt-iCС-R2diСdt=0⟹R3di2dt-iCС=R2diСdt
Подставляем в последнее выражение:
di2dt=diLdt-diСdt
Находим искомое значение:
diCdt=R3diLdt-iCСR2+R3=484.444 А/с
Для напряжения:

i2=iL+J-iC=2.667 A

Uab=R3i2=66.667 B
Производная:
dUcdt=R3diLdt-diСdt=29555.556 B/c

Нахождение постоянных интегрирования:

для iC:
iCt=A∙ep1∙t+B∙ep2∙t+i1∞=A∙e-82.948∙t+B∙e-803.719∙tdi1dt=p1∙A∙ep1∙t+p2∙B∙ep2∙t=-82.948∙A∙e-82.948∙t-803.719∙B∙e-803.719∙t
подставляем найденные зависимые начальные условия в эту систему:
1.333=A+B484.444 =p1∙A+p2∙B=-82.948∙A-803.719∙B
B=1.333-A484.444=p1∙A+p2∙1.333-A=-82.948∙A-803.719∙1.333-A
p1-p2∙A=1556.07B'=1.333-A

A=2.159B=1.333-A=-0.826

для Uab :
Uabt=A'∙ep1∙t+B'∙ep2∙t+UC∞=A'∙e-82.948∙t+B'∙e-803.719∙t+100dUabdt=p1∙A'∙ep1∙t+p2∙B'∙ep2∙t=-82.948∙A'∙e-82.948∙t-803.719∙B'∙e-803.719∙t

подставляем найденные зависимые начальные условия в эту систему:

66.667 =A'+B'+10029555.556=p1∙A'+p2∙B'=-82.948∙A'-803.719∙B'
B'=-100-A'29555.556=p1∙A'+p2∙-100-A'=-82.948∙A'-803.719∙-100-A'
p1-p2∙A'=2764.925B'=-100-A'
A'=3.836B'=-37.169
Запишем окончательный вид искомых величин:
iCt=A∙ep1∙t+B∙ep2∙t+iС∞=A∙e-82.948∙t+B∙e-803.719∙t=
=2.159∙e-82.948∙t-0.826∙e-803.719∙t
UCt=A'∙ep1∙t+B'∙ep2∙t+Uab∞=A'∙e-82.948∙t+B'∙e-803.719∙t+100=
=3.836∙e-82.948∙t-37.169∙e-803.719∙t+100
Операторный метод

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа в операторной форме:

IL-I1-IE=0I2-IL+IC=JpR1∙I1=-EpR3I2+pLIL=Ep+LiL0R1∙I1+pLIL+R2+1pСIC=LiL0
Матричная форма:

-10R10R1010R301-10pLpL0100R2+1pС-10000∙I1I2ILICIE=0Jp-EpEp+LiL0LiL0

Решаем через обратную матрицу:
I1I2ILICIE=-10R10R1010R301-10pLpL0100R2+1pС-10000-1∙0Jp-EpEp+LiL0LiL0
Запишем отдельно:
I1=-1,667p
I2=
IL=
IC=
IE=
Находим искомые величины:
ICp=IC=
Uabp=R3I2=R3=
Возьмём обратное преобразование Лапласа от изображения ICp и наёдем его оригинал:
Чтобы найти оригинал, воспользуемся теоремой разложения, наше изображение имеет вид:
,где .

Оригинал будет рассчитываться по формуле:

, где - к-й корень уравнения .
Если один из корней равен нулю, то формула приводится к такому виду:

,где .
Корни знаменателя:

p1=-82.948
p2=-803.719
iCt=∙e-82.948t+∙e-803.719t=

=∙e-82.948t+∙e-803.719t=

=2.159∙e-82.948t-0.826∙e-803.719t

Для Uabt:
Uabt=∙ep1t+∙ep2t+
+Uab∞=∙e-82.948t+
+∙e-803.719t+100=
=3.836∙e-82.948t-37.169∙e-803.719t+100
Строим графики: