Рабочая программа по учебной дисциплине Числовые системы для студентов - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины дпп ф. 09 «числовые системы» Специальность 032100... 1 121.4kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Для студентов, обучающихся по... 3 621.6kb.
Рабочая программа учебной дисциплины Для студентов, обучающихся по... 2 490.19kb.
Рабочая программа по дисциплине «Математический анализ» для студентов... 1 333.41kb.
Рабочая программа по учебной дисциплине Управление инвестициями 2 677.57kb.
Рабочая программа учебной дисциплинЫ «Интеллектуальные информационные... 1 148.62kb.
Рабочая программа по дисциплине «социология» для студентов юридического... 1 362.84kb.
Рабочая программа по дисциплине «математика» для студентов, обучающихся... 5 839.38kb.
Методические рекомендации по организации самостоятельной учебной... 1 287.25kb.
Рабочая программа по дисциплине «Издательское дело» для студентов... 1 175.33kb.
Рабочая программа по дисциплине «Культурология» для студентов по... 1 330.76kb.
0бщая характеристика направления 2 610.58kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Рабочая программа по учебной дисциплине Числовые системы для студентов - страница №1/1

«Утверждаю» Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Зав. кафедрой РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

_________________ по учебной дисциплине Числовые системы для студентов

физико-математического факультета, специальности «Математика»

" "______________200__ г. 3 курс 5 семестр 2009-2010 учебный год

Общий объем учебного курса 48 часов, из них лекций 32 часа, практических 16 часов.

Программу разработал доцент кафедры алгебры Путилов Сергей Васильевич

Тема (раздел)

курса


Кол-во часов

Деление темы (раздела) на

Формы

контроля


Лекции (тема, план)

Кол-во часов

Практические занятия (тема, план)

Кол-во часов

Система

натуральных

чисел

Система

целых чисел

Система

рациональных

чисел


Система

действительных

чисел


Система

комплексных

чисел

Алгебры

над полем


8

4

4



6

4

6



  1. История развития понятия числа. Аксиоматический метод в математике. Аксиомы Пеано и простейшие свойства из них. Принцип полной математической индукции. Метод доказательства по индукции.

  2. Сложение натуральных чисел. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения. Умножение натуральных чисел. Свойства коммутативности и ассоциативности умножения. Закон дистрибутивности.

  3. Сравнение натуральных чисел. Свойство трихотомии. Транзитивность сравнения. Законы монотонности сложения и умножения. Аксиома Архимеда. Теорема о соседних натуральных числах.

  4. Отношение порядка на множестве натуральных чисел. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Вычитание и деление натуральных чисел. Счетные множества и четыре теоремы о них. Непротиворечивость системы аксиом Пеано.




  1. Принципы расширения при построении новых числовых систем. Разбиение множества ℕ×ℕ на классы эквивалентности. Операции сложения и умножения на ℤ. Теоремы о алгебрах <ℤ, + >, <ℤ, ∙>, <ℤ, +, ∙ >.

  2. Отношение «» на ℤ. Алгебраическая система <ℤ, >. Вложение полукольца ℕ в кольцо ℤ и представление целого числа в виде разности натуральных чисел. Минимальность, категоричность и непротиворечивость теории целых чисел.




  1. Построение поля рациональных чисел. .Упорядочение поля рациональных чисел.

  2. Представление любого рационального числа в виде отношения целого и натурального. Минимальность, категоричность, непротиворечивость и архимедовская упорядоченность поля рациональных чисел.




  1. Определение сечения линейно упорядоченного множества и его элементарные свойства. Сечения поля рациональных чисел и их простейшие свойства. Дедекиндовы сечения и их простейшие свойства. Биективное отображение в .

  2. Линейная упорядоченность множества . Алгебра - абелева группа. Система - линейно упорядоченная группа.

  1. Произведение неотрицательных действительных чисел. Алгебра - абелева группа. Вложение поля в поле . Непрерывность поля действительных чисел. Теорема об арифметическом корне.




  1. Построение поля комплексных чисел. Решение в ℂ уравнения . Вложение поля ℝ в поле ℂ. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Формулы извлечения корня из комплексного числа в алгебраической форме.

  2. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа и действия над ними. Формула Муавра. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме. Группа корней n-ой степени из 1.




  1. Алгебра над полем. Примеры конечномерных алгебр над полем .

  2. Гиперкомплексные системы. Теоремы о корне уравнения .

  3. Теорема о невозможности гиперкомплексной системы иметь ранг три. Теорема Фробениуса.




2

2
2


2

2

2



2

2

2


2


2

2


2

2
2
2



Практическое занятие № 1. Тема: Основные алгебраические структуры 1. Группоид. 2.Полугруппа. 3. Моноид. 4. Группа. 5. Полукольцо. 6. Кольцо. Область целостности. 7. Поле. [2], 8.4 (1,5), 4.14(6), 9.4(1), 9.72(10). На дом: [2] 8.14(3,4), 8.20(1), 9.4(2), 9.72(1).

Практическое занятие № 2. Тема: Система натуральных чисел. 1. Определение системы натуральных чисел на основании аксиом Пеано. 2. Сложение натуральных чисел. 3. Умножение натуральных чисел. 4. Полукольцо натуральных чисел. 5. Сравнение натуральных чисел. 6. Принципы полной математической индукции и доказательство методом полной математической индукции. Задача 1. На основании аксиом Пеано, определения операций «+», «» натуральных чисел вычислить: 1) 3+4; 2) 52; 3) .

На дом: 1) 5+3; 2) 26; 3) . Задача 2. Выяснить какое из двух натуральных чисел больше: 1) или ; 2) или . На дом: или . Задача 3. Доказать, что при любом натуральном n справедливо: 1).

2) .

3) .

На дом: 1) ;

2) .



Практическое занятие № 3. Тема: Системы целых и рациональных чисел. 1. Кольцо целых чисел, как расширение полукольца натуральных чисел. 2. Построение кольца целых чисел. 3. Представление любого целого числа в виде разности двух натуральных. 4.Поле рациональных чисел, как расширение кольца целых чисел. 5. Построение поля рациональных чисел. 6. Представление любого рационального числа в виде отношения целого и натурального чисел.

Задача 1. Расположите в порядке возрастания целые числа , если , , . На дом: , , . Задача 2. Исследуйте следующие уравнения на возможность иметь целые корни: 1) ; 2) . На дом: 1) ; 2) . Задача 3. Расположите в порядке возрастания рациональные числа , если б . На дом: . Задача 4. Исследуйте следующие уравнения на возможность иметь рациональные корни: 1) х2=16; 2) 5х3=2. На дом: 1) х3= 64; 2) 3х7=5.



Практическое занятие № 4. Контрольная работа № 1 (нулевой вариант). Задача1. Будет ли следующая алгебраическая система полем: , аb=a+b-, ab=ab-a-b+, a,b.

Задача2. Выяснить, является ли отображение f алгебры

А в алгебру В гомоморфизмом, если А=, В= и f(x)=x2, аb=a-b, ab=a-b. Задача3. Доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство: 12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1. Задача4. Какое из натуральных чисел больше: (5+7)3 или (5+7)2 Задача5. Расположите в порядке возрастания целые числа если , , . Задача6. Выполните действия в поле : , если , , .

Практическое занятие № 5. Тема: Система действительных чисел. 1. Определение сечения в поле . 2. Определение сечений с рубежом, типа пробел, типа скачка. 3. Дедекиндово сечение в и определение поля действительных чисел по Дедекинду. 4. Операции сложения, умножения и отношение меньше в . Задача1. Решите уравнение 1,28(16)- х=0,8(39) На дом: 0,41(32)+х=1,20(42) Задача2. Доказать, что число иррациональное

: На дом: . Задача3. Найти без калькулятора значение корня четвертой степени из числа до двух знаков после запятой: 5443254. На дом: 7176428. Задача4. Представьте в виде цепной дроби действительное число: . На дом: . Задача 5. Найти квадратную иррациональность . На дом: .



Практическое занятие № 6. Тема: Система комплексных чисел. 1. Поле комплексных чисел, как расширение поля действительных чисел. 2. Построение поля комплексных чисел. 3. Решение уравнения х2+1=0 в поле . 4. Алгебраическая форма записи комплексных чисел и действия над ними. 5. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел и действия над ними. 6. Группа корней n-ой степени из единицы. [2], № 2.2 (2), № 2.4 (6), № 2.9, № 2.16 (3), № 2.23 (1), № 2.36 (14). На дом: [2], № 2.2 (4), № 2.4 (7), № 2.16 (4), № 2.23 (2), № 2.36 (15).

Практическое занятие № 7. Тема: Алгебры над полем действительных чисел. Кватернионы. 1. Определение линейной алгебры над полем . 2. Кватернионы и действия над ними. 3. Тело кватернионов. 4. Гиперкомплексные системы. 5. Теорема Фробениуса. Задача1. Докажите, что тело кватернионов изоморфно телу матриц вида , где . На дом: Докажите, что для любых кватернионов . Задача2. помощью таблицы Кэли покажите, что , где G={1,-1,i,-i, j,-j, k,-k} есть группа кватернионов. На дом: Найдите порядок каждого элемента gG. Задача3. Найдите если =3-i+2j+k, =5+3i-j+4k На дом: =7-8i+j-2k, =4+5i-3j+k. Задача4. Определите и , если =2+3i-4j+5k. На дом: = -7+11i-8j-9k.

Практическое занятие № 8. Контрольная работа № 2 (нулевой вариант). Задача1. Доказать иррациональность числа .

Задача2. Найти значение до 4-х цифр после запятой. Задача3. Представить в виде обыкновенной дроби 5,111(2034). Задача4. Найти квадратную иррациональность [3; 1,1,(1,4)]. Задача5. Представить в виде бесконечной цепной дроби . Задача6. Проверить равенство двумя способами: =[6;1,2,(1,3)]. Задача7. Решите уравнение: 2(2-i)z2-2(2-3i)z-4i=0. Задача8. Вычислить 1) ; 2) . Задача9. Решите уравнение: х8-16=0.



2

2

2



2

2

2



2


Контрольная работа,

Экзамен


Литература

  1. Ларин С.В. Числовые системы. М.: Академия, 2001.

  2. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высшая школа,1983

  3. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

  1. Нечаев В.И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.

5. Путилов С.В. Числовые системы. Учебная программа курса. Брянск, 2004.

6. Путилов С.В. Числовые системы. Методические рекомендации в электронном виде. Брянск, 2005.