Название работы	Кол-во страниц	Размер
Функции нескольких переменных	1	214.67kb.
Рабочая программа дисциплины опд. Ф. 02	1	344.28kb.
Рабочая программа дисциплины теория вероятностей и математическая...	1	200.21kb.
Программа дисциплины специальная теория относительности Цикл дс специальность...	1	80.94kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина сд. Ф. 8 «Иммунология»	1	288.24kb.
Рабочая учебная программа дисциплины Уравнения математической физики	1	224.7kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина ен. В. 1 «Физиология человека...	1	166.86kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина б. 1 Философские вопросы...	2	540.74kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина б. 1 Философские вопросы...	2	504.81kb.
Рабочая программа дисциплины дисциплина ен. «Цитология, гистология...	1	139.15kb.
Рабочая программа учебной дисциплины психология и педагогика для...	1	137.88kb.
План занятий по высшей математике	1	11.74kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

УТВЕРЖДАЮ

Директор ИИФиРЭ

_____________/Г.С. Патрин

«_____» _____________2010 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина ЕН.Ф.3.5 «Теория функций комплексных переменных»
Укрупненная группа 010000 Физико-математические науки
Направление 010708.65 «Биохимическая физика»
Институт Фундаментальной биологии и биотехнологии
Кафедра биофизики
Квалификация (степень) выпускника
Специалист

Красноярск
2010

Рабочая программа дисциплины
составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по укрупненной группе 010000 «Физико-математические науки» специальности 010700.65 «Биохимическая физика»

Программу составил д.ф.-м.н., проф. Захаров Ю.В. ______________

(должность, фамилия, и. о., подпись)

к.ф.-м.н.доц. Титов Л.С. ______________

(должность, фамилия, и. о., подпись)
Заведующий кафедрой теоретической физики и волновых явлений д.ф.-м..н., проф. Овчинников С.Г. ____________________

(фамилия, и. о., подпись)

«_____»_______________2010 г.

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры __________________________

«______» _________________ 20__ г. протокол № _____________

Заведующий кафедрой д.б.н., проф. Кратасюк В.А. ___________________________

(фамилия, и. о., подпись)
Рабочая программа обсуждена на заседании НМСИ Института инженерной физики и радиоэлектроники

«______» __________________ 20___ г. протокол № _____________

Председатель НМСИ ______________________Лобасова М.С.

(фамилия и. о., подпись)

Дополнения и изменения в учебной программе на 20___/20___ учебный год.

В рабочую программу вносятся следующие изменения: _____________

____________________________________________________________________________________________________________________________________

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры _______________________

«____» _____________ 20___г. протокол № ________

Заведующий кафедрой ______________________________________________

(фамилия, и.о., подпись)

Внесенные изменения утверждаю:

Директор института ___________________________________________

(фамилия, и. о., подпись)

1 Цели и задачи изучения дисциплины
1.1 Цель преподавания дисциплины

Дисциплина «Теория функций комплексной переменной» входит в число дисциплин естественнонаучного цикла и включает в себя широкий круг вопросов как непосредственно теории функций комплексной переменной, так и приложений теории к вычислению интегралов, суммированию рядов, конформным преобразованиям, нахождению асимптотических разложений.

Целью преподавания данной дисциплины является формирование у студентов представления о комплексном числе, теории функций комплексной переменной, теории вычетов, разложении аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, контурном интегрировании, суммировании рядов, представления об асимптотических разложениях и методах их получения. Эти знания дадут возможность будущему специалисту на практике применять методы теории функций комплексной переменной, понимать и анализировать математические методы, основанные на теории аналитических функций.
1.2 Задачи изучения дисциплины

В результате изучения данной дисциплины студент должен овладеть основами теории функций комплексной переменной, уметь находить вычеты и применять основную теорему теории вычетов, уметь использовать методы теории функций комплексной переменной для вычисления основных типов определенных интегралов. Иметь представление об аналитическом продолжении и теории многозначных аналитических функций, применять метод Ватсона для суммирования знакопостоянных и знакопеременных рядов и рядов Фурье. Иметь представление об асимптотических рядах и методах Лапласа, стационарной фазы и перевала. Уметь осуществить простейшие конформные преобразования в плоских задачах электростатики.

Реализуемые компетенции:

- владение культурой мышления, умение аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

- способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам;

- способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат;

1.3 Межпредметная связь

Курс базируется на знаниях, полученных, прежде всего, в курсе «Математического анализа» университетской программы для инженерно-физических факультетов, а также на дисциплинах курсов «Общая физика», «Высшая алгебра» и «Дифференциальные уравнения». Программа составлена с учетом того, что многие приложения теории функций комплексной переменной будут в дальнейшем использоваться в курсах теоретической физики и в различных специальных курсах.

2 Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего (часов)
		Семестр 4
Общая трудоемкость дисциплины	140 час.	140 час.
Аудиторные занятия:	108 час.	108 час.
Лекции	54 час.	54 час.
практические занятия (ПЗ)	54 час.	54 час.
семинарские занятия (СЗ)
лабораторные работы (ЛР)
другие виды аудиторных занятий
промежуточный контроль
Самостоятельная работа:	32 час.	32 час.
изучение теоретического курса (ТО)	16 час.	16 час.
курсовой проект (работа):
расчетно-графические задания (РГЗ)
Реферат
Задачи
Задания	16 час.	16 час.
другие виды самостоятельной работы
Вид промежуточного контроля (зачет, экзамен)	Экзамен	Экзамен

3 Содержание дисциплины
3.1 Разделы дисциплины и виды занятий в часах

(тематический план занятий)

№ п/п	Модули и разделы дисциплины	Лекции (часов)	ПЗ или СЗ (часов)	ЛР	Самостоятельная (часов)
1	Комплексные числа и элементарные функции. Интеграл и теорема Коши.	(15 час.)	(18 час.)		(10 час.)
2	Ряды Тейлора и Лорана. Основная теорема теории вычетов.	(12 час.)	(15 час.)		(10 час.)
3	Применение теории вычетов.	(27 час.)	(21 час.)		(12 час.)

3.2 Содержание разделов и тем лекционного курса
Модуль 1. Комплексные числа и элементарные функции. Интеграл и теорема Коши. (15 час.)
Лекция 1.

Введение. Комплексное число. Вычисление элементарных функций от комплексной переменной.

Лекция 2.

Непрерывность и дифференцируемость функций комплексной переменной. Геометрический смысл функции комплексной переменной. Многозначные функции. Условия Коши-Римана. Гармонические функции.

Лекция 3.

Аналитические функции комплексной переменной. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Показательная функция и логарифм.

Лекция 4.

Степень и корень. Тригонометрические и гиперболические функции. Интегрирование функций комплексной переменной.

Лекция 5.

Теорема Коши и интеграл Коши. Интегральная формула Коши и её следствия (формула для производных, теорема Морера, теорема о среднем, теорема Лиувилля).

Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана. Основная теорема теории вычетов (12 час.)

Лекция 6.

Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд. Теорема Тейлора.

Лекция 7.

Разложение в ряд Лорана. Теорема Лорана. Примеры получения разложения аналитической функции в ряд Лорана.

Лекция 8.

Поведение аналитической функции в окрестности особой точки. Классификация особых точек. Аналитическое продолжение.

Лекция 9.

Определение вычета. Методы нахождения вычетов. Бесконечно удаленная точка. Основная теорема теории вычетов. Примеры.
Модуль 3. Применение теории вычетов (27 час.)
Лекция 10.

Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов. Интегралы от тригонометрических функций, в конечных и полубесконечных пределах от рациональных функций.

Лекция 11.

Лемма Жордана и интегралы Фурье. Особая точка на пути интегрирования. Главное значение интеграла.

Лекция 12.

Интегралы от функций с точкой ветвления. Использование логарифмической функции для вычисления определенных интегралов.

Лекция 13.

Применение теории вычетов к суммированию рядов (метод Ватсона).

Лекция 14.

Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Примеры. Основная теорема алгебры.

Лекция 15.

Асимптотические методы вычисления интегралов. Асимптотические ряды. Метод Лапласа. Метод стационарной фазы.

Лекция 16.

Метод перевала (метод наискорейшего спуска).

Лекция 17.

Конформные отображения. Дробно-линейные преобразования.

Лекция 18.

Применение дробно-линейных преобразований. Пример. Конформные отображения, осуществляемыми элементарными функциями.

3.3 Практические занятия

Дается перечень практических занятий и их объем или делается запись: «учебным планом не предусмотрены».

№ п/п	№ модуля	Наименование практических занятий	Объем в часах
1	1	Введение. Комплексные числа и действия над ними	3
2	1	Вычисление значений основных элементарных функций от комплексных чисел	3
3	1	Многозначные функции и точки ветвления	3
4	1	Условия Коши-Римана. Гармонические функции	3
5	1	Интегрирование функций комплексной переменной	3
6	1	Теорема Коши и интеграл Коши. Интегральная формула Коши	3
7	2	Разложение функций в ряд Тейлора	3
8	2	Разложение функций в ряд Лорана	3
9	2	Классификация особых точек	3
10	2	Нахождение вычетов	3
11	2	Основная теорема теории вычетов	3
12	3	Определенные интегралы от тригонометрических функций	3
13	3	Интегралы в конечных и полубесконечных пределах от рациональных функций	3
14	3	Лемма Жордана и интегралы Фурье	3
15	3	Особая точка на пути интегрирования. Главное значение интеграла	3
16	3	Интегралы от функций с точкой ветвления	3
17	3	Применение теории вычетов к суммированию знакопостоянных и знакопеременных рядов	3
18	3	Асимптотические методы вычисления интегралов	3

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ, объем в часах
		учебным планом не предусмотрено

3.5 Самостоятельная работа

Для самостоятельного изучения теоретического материала (16 час.) используется текущий лекционный материал, а также основная и дополнительная учебная литература.

Домашние задания и контрольно-самостоятельные задания (16 час.) выдаются индивидуально и проверяются преподавателем, ведущим семинарские занятия по дисциплине. Срок самостоятельного выполнения указанных заданий составляет от 1,5 до 2 месяцев. При выполнении заданий используется текущий лекционный материал, а также основная и дополнительная учебная литература.

4 Учебно-методические материалы по дисциплине
4.1 Основная и дополнительная литература, информационные ресурсы
Основная

1. 
   Посицельская, Л.Н.   Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях / Л. Н. Посицельская. - Москва : Физматлит [Физико-математическая литература], 2007. - 133 с. (2 экз.)
   
2. 
   Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов ; Московский университет [МГУ] им. М.В. Ломоносова. - 6-е изд., стер. - Москва : Физматлит [Физико-математическая литература] ; Москва : Физматлит [Физико-математическая литература], 2004. - 335 с. (100 экз.)
   
3. 
   Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной [Текст] : учебник для студентов физических специальностей и специальности "Прикладная математика" : рекомендовано Министерством образования РФ / А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов. - 6-е изд., стер. - Москва : Физматлит [Физико-математическая литература], 2001. - 335 с. (4 экз.)
   

Дополнительная

4. 
   5. Сидоров Ю.В. и др. Лекции по теории функций комплексного переменного /Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1989.
   
5. 
   Волковыский Л.И. и др. Сборник задач по теории функций комплексного переменного /Л.И. Волковыский, Г.Л. Лунц, И.Г. Араманович. – М.: Наука, 2002.
   
6. 
   Захаров Ю.В. и др. Теория функций комплексной переменной. Учебно-методический комплекс /сост. Ю.В. Захаров, Л.С. Титов – Красноярск: ИЦ Ин-та естеств. и гуманит. наук, 2007. – 32 с., адрес в Internet: www.lan.krasu.ru/studies/editions.asp
   
7. 
   Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций /Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин, К.А. Бежанов. – М.: Наука, 1969.
   
8. 
   Захаров Ю.В., Титов Л.С. Нахождение вычетов (методические указания, часть 1) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1985. (№ 49).
   
9. 
   Захаров Ю.В., Титов Л.С. Интегралы в бесконечных пределах (методические указания, часть 2) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1986. (№ 208).
   
10. 
    Захаров Ю.В., Титов Л.С. Интегралы в полубесконечных и конечных пределах (методические указания, часть 3) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1986. (№ 288).
    
11. 
    Захаров Ю.В., Титов Л.С. Суммирование рядов (методические указания, часть 4) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1988. (№ 471).
    
12. 
    Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Титов Л.С. Поверхности функций комплексного переменного (методические указания, часть 5) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 2004.
    
13. 
    Захаров Ю.В., Титов Л.С. Асимптотические методы вычисления интегралов (методические указания, часть 6) – Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1999.
    

4.2 Перечень наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения

Богатый методический материал к данной дисциплине содержится в методических пособиях авторов. Этот материал можно использовать для самостоятельного изучения.

4.3 Контрольно-измерительные материалы

Текущий контроль знаний проводится преподавателем во время проведения занятий. Промежуточный (рубежный) контроль предусматривает проверку выполнения контрольных заданий (задач). Итоговый контроль знаний проводится на экзамене.

Вопросы к экзамену:
Модуль 1. Комплексные числа и элементарные функции. Интеграл и теорема Коши.

1. Определение, геометрический смысл функции комплексной переменной. Непрерывность функции комплексной переменной.

2. Дифференцирование по комплексному аргументу. Необходимые условия существования производной по комплексной переменной.

3. Достаточные условия дифференцируемости по комплексной переменной.

4. Аналитические функции. Связь аналитических функций с гармоническими функциями.

5. Степенная функция комплексной переменной. Многолистные и многозначные функции.

6. Точки ветвления. Понятие римановой поверхности.

7. Показательная функция и логарифм.

8. Тригонометрические и гиперболические функции.

9. Определение, основные свойства интеграла по комплексной переменной.

10. Теорема Коши.

11. Физический смысл теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

12. Следствия теоремы Коши и интегральной формулы Коши (теорема о среднем, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры).
Модуль 2. Ряды Тейлора и Лорана. Основная теорема теории вычетов

13. Теоремы о разложимости в ряды Тейлора и Лорана. Сходимость рядов Тейлора и Лорана.

14. Классификация особых точек

15. Поведение аналитической функции в окрестностях изолированных особых точек.

16. Особенности на бесконечности. Классификация однозначных аналитических функций.

17. Аналитическое продолжение

18. Теорема единственности аналитического продолжения. Приемы аналитического продолжения.

19. Определение вычета. Основная теорема теории вычетов.

Модуль 3. Применение теории вычетов

20. Применение теории вычетов к вычислению некоторых типов интегралов. 21. Лемма Жордана.

22. Интегралы от функций, имеющих точки ветвления.

23. Суммирование рядов.

24. Интегральное представление функций.

25. Асимптотические методы вычисления интегралов

26. Асимптотическое разложение. Метод Лапласа. Лемма Ватсона.

27. Метод стационарной фазы: вклад от невырожденной стационарной точки.

28. Метод перевала: выбор контура, нахождение первого члена разложения.

29. Конформное отображение

30. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной.

31. Линейные и дробно-линейные преобразования.

Таблица 3.6

№ п/п	Наименование модуля, срок его реализации	Перечень тем лекционного курса, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.2)	Перечень практических и семинарских занятий, входящих в модуль (Перечень тем в соответствии с п. 3.3)	Перечень лабораторных занятий, входящих в модуль	Перечень самостоятельных видов работ, входящих в модуль, их конкретное наполнение (Перечень видов работ и их содержания в соответствии с п.3.5)	Умения	Знания
1	Модуль 1 Комплексные числа и элементарные функции. Интеграл и теорема Коши. 1-ая неделя – 6-ая неделя	Тема: 1, 2, 3, 4, 5.	Практические занятия: 1, 2, 3, 4, 5, 6.	Не планируются	Решение задач – 5 задач Самостоятельное изучение теоретического курса по темам: 1, 2, 3, 4, 5.	Умение использовать комплексные числа и действия над ними при исследовании физических систем.	Знания об основных свойствах функций комплексной переменной, условиях Коши-Римана, теореме Коши.
2	Модуль 2 Ряды Тейлора и Лорана. Основная теорема теории вычетов 7-ая неделя – 13-ая неделя	Тема: 6, 7, 8, 9.	Практические занятия: 7, 8, 9, 10, 11.	Не планируются	Решение задач – 5 задач Самостоятельное изучение теоретического курса по темам: 6, 7, 8, 9.	Умение использовать разложения в ряды Тейлора и Лорана, а также умение находить вычеты функций в особых точках.	Знания о методах разложения функций в ряды Лорана, способах нахождения вычетов, основной теореме теории вычетов.
	Модуль 3 Применение теории вычетов 14-ая неделя – 18-ая неделя	Тема: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.	Практические занятия: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.	Не планируются	Решение задач – 10 задач Самостоятельное изучение теоретического курса по темам: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.	Умение использовать контурное интегрирования для вычисления интегралов и суммирования рядов.	Знания о методе контурного интегрирования, лемме Жордана, конформных отображений и методе Ватсона суммирования рядов.

ГРАФИК
учебного процесса и самостоятельной работы студентов по дисциплине Теория функций комплексного переменного

специальности 010708.65 Биохимическая физика, института ФБиБТ , второго курса на четвертый семестр

№ п/п

Наименование дисциплины

Семестр

Число часов аудиторных занятий

Форма контроля

Часов на самостоятельную работу

Недели учебного процесса семестра

Всего

По видам

Всего

По видам

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

Теория функций комплексной переменной

4

72

Лекции – 54

экзамен

32

ТО – 16

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

ТО

Практические – 54

РЗ – 16

РЗ1

РЗ2

РЗ3

Условные обозначения: ТО – изучение теоретического курса; РЗ – расчетное задание; ВРЗ – выдача расчетного задания; СРЗ – сдача расчетного задания; КР – курсовая работа; ВКР – выдача курсовой работы; СКР – сдача курсовой работы; КП – курсовой проект; ВКП – выдача курсового проекта; СКП – сдача курсового проекта; РФ – реферат; ВРФ – выдача темы реферата; СРФ – сдача реферата; ЛР – лабораторные работы; ВЛР – выполнение лабораторной работы; ЗЛР – защита лабораторной работы; КН – контрольная неделя (аттестационная неделя); ВТ – входное тестирование по дисциплине.