Пространство соболева - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Воспитательное пространство вуза – пространство потенциальных возможностей1 1 114.08kb.
Модель единого информационного пространства 1 80.67kb.
Сергея Яралова «Он старательно наполнял свободное пространство пустотой» 1 16.58kb.
Время и пространство в пентаграмме категорий 1 355.64kb.
Поверхности в евклидовом пространстве. § Векторная функция двух скалярных... 1 64.68kb.
Личность и ее жизненное пространство 1 201.7kb.
Путь сахаджа практики. Вайрагья. Отделить свое сущностное 1 173.46kb.
Омскийфилиа л 5 551.02kb.
Программа курса «методы математической физики» 1 23.07kb.
Лекция физические инварианты материя, пространство и время 1 322.07kb.
Краткая справка о кандидате в члены Ученого совета Института математики им. 1 31.71kb.
Поверхности второго порядка 1 44.68kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Пространство соболева - страница №1/1

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
математики, 4-ый курс


ПРОСТРАНСТВО СОБОЛЕВА





  1. Операция усреднения в R^m, операция усреднения в ограниченной области, плотность множества C^\infty_0(\Omega) в L_p(\Omega), лемма вариационного исчисления.

  2. Производная по Соболеву, простейшие свойства (единственность, линейность, связь с классической, связь с операцией усреднения), функция с нулевыми производными порядка \alpha.

  3. Пространство W^1_p(\Omega): линейность, норма, замкнутость оператора соболевской производной, полнота, сепарабельность, рефлексивность.

  4. Примеры: составная функция, особенность в точке, особенность на плотном счетном множестве точек.

  5. Пространство \overset\circ\to{W}^1_p(\Omega): определение, неравенство Фридрихса, эквивалентная норма, финитные функции из пространства W^1_p(\Omega).

  6. Плотность гладких функций в пространстве W^1_p(\Omega): плотность в строго внутренней подобласти, плотность в \Omega, плотность в \bar\Omega при \partial\Omega\in C^1. Следствия: произведение функций из пространства W^1_p(\Omega)\cap L_\infty(\Omega), суперпозиция функций f\in C^1(R^1) и u\in W^1_p(\Omega), функция |u(x)|, u\in W^1_p(\Omega).

  7. Пространство W^1_{\infty loc} (\Omega) и пространсство Lip_{loc}(\Omega).

  8. Теорема о продолжении.

  9. Теорема вложения \overset\circ\to W^1_p(\Omega) в C(\bar\Omega) при p>m теорема вложения W^1_p(\Omega) в C(\bar\Omega) при p>m, \partial\Omega\in C^1.

  10. Теорема Реллиха: пространство \overset\circ\to W^1_p(\Omega) компактно вкладывается в L_p(\Omega), пространство W^1_p(\Omega) компактно вкладывается в L_p(\Omega) при \partial\Omega\in C^1.

  11. Неравенство Соболева.

  12. Ограниченночть оператора вложения пространства \overset\circ\to W^1_p(\Omega) в L_q(\Omega) при 1\le q\le p^*, мультипликативное неравенство, компактность оператора вложения при 1\le q
    случай пространства W^1_p(\Omega), \partial\Omega\in C^1.

  13. Теорема о следах: определение следа, непрерывность оператора вложения пространства W^1_p(\Omega) в L_q(\partial\Omega), p

  14. Теорема об эквивалентных нормировках, ее проиложения: неравенство Фридрихса и неравенство Пуанкаре.

  15. Пространство Соболева на отрезке: связь с абсолютно непрерывными функциями, ограниченность оператора вложения пространства W^1_1(a,b) в C[a,b], приложение к многомерному случаю.

  16. Обзор результатов для пространства W^l_p(\Omega).


ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА


В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА


  1. Классическое и обобщенное решения однородной задачи Дирихле, энергетическое неравенство, фредгольмова разрешимость, теоремы Фредгольма, вариационная постановка задачи Дирихле, метод Галеркина, неоднородная задача Дирихле.

  2. Третья краевая задача: классическая и обобщенная постановки, энергетическое неравенство, фредгольмова разрешимость.

  3. Собственные числа и собственные функции эллиптического оператора: классическая и обобщенные постановки, сведение к задаче о характеристических числах для компактного самосопряженного оператора в энергетическом пространстве, свойства собственных чисел для эллиптического оператора, полнота ортонормированной системы собственных функций в энергетическом пространсте и прстранстве L_2(\Omega).

  4. Гладкость обобщенного решения однородной зазадчи Дирихле: разностные соотношения и соболевские производные, принадлежность обобщенного решения пространству W^2_2_{loc}(\Omega), принадлежность обощенного решения пространству W^2_2(\Omega) при \partial\Omega\in C^2, переход от обобщенного решения к поточечному равенству при п.в. x\in\Omega.



ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ


  1. Теорема существования решения вариационной задачи для слабо полунепрерывного снизу коэрцитивного функционала в рефлексивном банаховом пространстве.

  2. Критерий слобой полунеперывности снизу интегрального функционала в модельном случае: I[u]=\int_\Omega F(\nabla u)\,dx. Слабая сходимость и сходимость функционала влечет сильную сходимость.

  3. Критерий слабой полунепрерывности снизу в общем случае при наличии гладкости интегранта. Критерий слабой полунепрерывности снизу для непрерывности интегранта в одномерном случае.

  4. Теорема существования глабального минимума у интегрального функционала. Уравнение эйлера. Гладкость экстремали интегрального функционала.

  5. Вариационные задачи для векторнозначных функций: квазивыпуклость, поливыпуклость, условия лежандра-Адамара.



НЕСТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА





  1. Вспомогательные функциональные пространства в цилиндре.

  2. Уравнение теплопроводности: классическая и обобщенные постановки, теорема единственности, метод Фурье.

  3. Волновое уравнение: классическая и обобщенная постановки, теорема единственности, метод Фурье.



НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ





  1. Вариационный метод: квазилинейное эллиптическое уравнение, сведение его обобщенной постановки к уравнению Эйлера, разрешимость, гладкость решения.

  2. Метод компактных операторов: теорема и принцип Лере-Шаудера, приложение к одной нелинейной задаче, исследование стационарного уравнения Навье-Стокса.

  3. Метод верхних и нижних решений: построение итерационного процесса для квазилинейного уравнения, его сходимость к решению.

  4. Метод монотонности: теорема об однозначной разрешимости задачи с сильно монотонным оператором, приложение к разрешимости уравнения в частных производных.

  5. Вариационные задачи теории упругости: постановка и разрешимость классической и контактной задач теории упругости, постановка задачи о фазовых переходах, функции ограниченной вариации и их свойства, обобщение понятия площади, разрешимость вариационной задачи о фазовых переходах.