Простейшие функции. Квадратные корни

Глава 1. Простейшие функции. Квадратные корни

Первая глава начинается с повторения и расширения сведений о числовых неравенствах, о числовых множествах, о координатной оси и системе координат на плоскости. Далее вводятся понятия функции и её графика, рассматриваются свойства простейших функций y = x, y = x², y = . Затем вводится понятие квадратного корня и изучаются его свойства.

Цель изучения главы 1: усвоить понятие функции и её графика, научиться строить графики простейших функций y = x, y = x², y = , усвоить понятие квадратного корня, уметь использовать свойства квадратных корней.

§ 1. Функции и графики

Основная цель первого параграфа ― повторить свойства числовых неравенств, ввести обозначения для числовых промежутков, напомнить о том, что между точками координатной оси и всеми действительными числами, а также между точками координатной плоскости и упорядоченными парами чисел имеется взаимно однозначное соответствие. Иными словами, надо чтобы учащиеся осознали, что координатная ось полностью заполнена числами, что она не «дырявая». Это будет вскоре использовано при построении графиков функций ― надо, чтобы их можно было строить по всем точкам, а не только по «рациональным» точкам (т. е. имеющим рациональные координаты).

Затем вводится понятие функции по Лобачевскому и Дирихле, говорится, что функция может быть задана или формулой, или таблицей, или графиком. Вводятся понятия: график функции, непрерывность на промежутке функции.

1.1. Числовые неравенства

В данном пункте формулируются пять правил, которым подчинены действительные числа. По сути это аксиомы действительного числа, но такая терминология в учебнике не используется. Далее доказаны семь свойств — следствий этих пяти правил. Сообщается, что для нестрогих неравенств справедливы правила 3–5 и свойства 1–7.

Желательно, чтобы все учащиеся усвоили правила и свойства действительных чисел, поняли различие между правилами и свойствами — свойства выводятся из правил. Сильным учащимся и всем учащимся класса с углублённым изучением математики полезно освоить приёмы доказательства свойств, так как они часто используются при решении задач на доказательство.

Задания для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задания 597–598.

Решения и комментарии

14. а) Докажите, что если а > b и с > d, то а – d > b – с.

Доказательство. К обеим частям неравенства с > d прибавим число (–c – d) и по правилу 4 получим верное числовое неравенство –d > –c.

Сложив неравенства а > b и –d > –c, на основании свойства 1 получим верное числовое неравенство:

а – d > b – с,

что и требовалось доказать.

15. а) Докажите для положительных чисел а, b, с и d, что если а > b и с > d, то .

Доказательство. Для положительных чисел с и d таких, что с > d, получим на основании свойства 5 верное неравенство .

Для положительных чисел а, b, и таких, что что а > b и на основании свойства 2 получим верное неравенство , что и требовалось доказать.

16. Докажите, что:

а) если а b 0, то а² > b².

Решение. Для отрицательных чисел а и b из неравенства а b на основании свойства 4 следует неравенство для положительных чисел –а и –b: –а > –b. А для положительных чисел –а и –b из неравенства –а > –b следует на основании свойства 6, что (–а)² > (–b)² или, что тоже самое, а² > b², что и требовалось доказать.

18. Солдат построили не по росту, но с чётким разделением на ряды и шеренги. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких — самого низкого. В каждой шеренге выбрали самого низкого, а из всех низких — самого высокого. Кто же выше ростом: самый низкий из высоких или самый высокий из низких?

Указание. Рассмотрите случаи, когда два выбранных солдата стоят: 1) в одном ряду; 2) в одной шеренге; 3) в разных рядах и шеренгах.

Р
ешение. 1) Пусть два выбранных в соответствии с условиями задачи солдата стоят в одном ряду: солдат 1 — самый низкий из высоких, солдат 2 — самый высокий из низких (рис. 1). Так как в каждом ряду выбирали самого высокого (он оказался самым низким из высоких), то в этом ряду солдат 1 выше всех, значит, выше солдата 2. Итак, в этом случае самый низкий из высоких выше самого высокого из низких.

Рис. 1

2) Если же два выбранных солдата стоят в одной шеренге: солдат 2 — самый низкий из высоких, солдат 3 — самый высокий из низких (рис. 1). Так как в каждой шеренге выбирали самого низкого (он оказался самым высоким из низких), то в этой шеренге солдат 3 ниже всех, значит, ниже солдата 2. И в этом случае самый низкий из высоких выше самого высокого из низких.

3) Пусть теперь два выбранных солдата стоят в разных рядах и разных шеренгах: солдат 1 — самый низкий из высоких, а солдат 3 самый высокий из низких. Так как в шеренге выбирали самого низкого, то солдат 3 ниже солдата 2. Но в каждом ряду выбирали самого высокого, следовательно, солдат 2 ниже солдата 1. Итак, солдат 3 ниже солдата 2, а солдат 2 ниже солдата 1, следовательно, солдат 3 ниже солдата 1.

Таким образом, и в этом случае самый низкий из высоких выше самого высокого из низких.

Случай, когда солдат 3 оказался самым низким из высоких, а солдат 1 самым высоким из низких, рассматривается аналогично, только сравнивать рост солдат 1 и 3 надо с ростом солдата 4.

Здесь полезно проверить, смогут ли учащиеся определить, какое свойство неравенств использовано в решении задачи для случая 3) (свойство транзитивности неравенств).

Дополнительные задания^¹

1. Докажите свойство 7: Если а и b положительные числа и а² > b², то а > b.

Доказательство. Проведём доказательство от противного.

Предположим, что a = b, тогда а² = b², что противоречит условию а² > b², значит, предположение, что a = b, неверно.

Предположим, что a b, тогда на основании свойства 6 получим, что а² b², что противоречит условию а² > b², значит, предположение, что a b, неверно.

Для двух чисел а и b по правилу 1 возможно только одно из соотношений:

a = b, a b, a > b.

Первые два противоречат условию а² > b², следовательно, a > b, что и требовалось доказать.

Замечание. Это рассуждение должны усвоить учащиеся, изучающие математику углублённо.

2.* Даны две дроби и . Найдите:

а) все несократимые дроби со знаменателем 50, заключенные между ними;

б) все несократимые дроби с числителем 50, заключенные между ними;

в) все несократимые дроби с наименьшим натуральным знаменателем, заключённые между ними.

Решение. а) Записав данные дроби в виде десятичных, убедимся, что имеется только две десятичные дроби 0,86 и 0,88 с двумя цифрами после запятой, заключённые между данными дробями и имеющие чётное число сотых. Эти дроби запишем в виде обыкновенных и, сократив их на 2, получим: и . Из полученных дробей только одна несократимая: .

б) Рассмотрим несколько последовательных дробей с числителем 50, близких к данным дробям, и сравним их с данными дробями. Так как

то имеется две дроби с числителем 50, заключенные между данными дробями. Это и , из них только одна несократимая: .

в) Искомые дроби больше и меньше 1. Такие дроби надо искать, начиная с дробей со знаменателем 3. Но самые большие из дробей со знаменателями 3, 4, 5, 6, то есть дроби , , и , ещё меньше . Так как , то дробь заключена между и . Других дробей со знаменателем 7 между дробями и нет. Следовательно, искомая дробь одна, это .

Ответ. а) ; б) ; в) .

1.2. Координатная ось. Модуль числа

В данном пункте вводятся понятия координатной оси, координаты точки, модуля действительного числа, рассмотрены примеры решения уравнений с модулями, сводящиеся к линейным уравнениям, свойства модуля числа. Здесь важно подчеркнуть, что между множеством точек координатной оси и множеством действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие, что с введением иррациональных чисел координатная ось перестала быть «дырявой».

Умение определять координату точки, строить точку по её координате является обязательным для всех учащихся.

Задания для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задания 594–595, 600, 602.

Решения и комментарии

23*. а) Докажите, что расстояние между точками A (x₁) и B (x₂) вычисляется по формуле: AB = |x₁ – x₂|.

б) Докажите, что координата точки С(x) — середины отрезка AB, где A(x₁) и B(x₂), вычисляется по формуле: х=.

Решение. а) Для точек A (x₁) и B (x₂) возможны три случая:

x₁ x₂, x₁ > x₂ и x₁ = x₂.

В первом случае AB = x₂ – x₁ = |x₁ – x₂| (рис. 2, а).

Во втором случае AB = x₁ – x₂ = |x₁ – x₂| (рис. 2, б).

В
третьем случае AB = 0 = |x₁ – x₂| (рис. 2, в).

Рис. 2

б) Для концов отрезка AB возможны два случая: x₁ x₂ и x₁ > x₂.

Если x₁ x₂, то x₁ x x₂ (рис. 3) и верно равенство AC = CB. Тогда верно равенство

x
– x₁ = x₂ – x,

из которого получим: х=.

Рис. 3

Если x₁ > x₂, то доказательство проводится аналогично.

24*. Докажите, что если точка С (x) принадлежит отрезку AB, где A (x₁) и B (x₂), и делит этот отрезок в отношении AC:СB = m:n, то координата точки С вычисляется по формуле: х = .

Решение. Для концов отрезка AB возможны два случая: x₁ x₂ и x₁ > x₂.

В
первом случае (рис. 4) из равенства AC:СB = m:n следует, что или . Решив это уравнение относительно x, получим: х = , что и требовалось доказать.

Рис. 4

Если x₁ > x₂, то доказательство проводится аналогично.

Дополнительные задания

1. Даны точки A (3) и В (11). Определите координату точки C, если:

а) С — середина отрезка AB; б) A — середина отрезка BС;

в) AС : CB = 1 : 3; г) AС : CB = 3 : 5.

2.* Найдите значение a, при котором уравнение:

а) |2x – 4| = |x – a|; б) |3x – 2| = |x – a|.

имеет единственный корень.

Решение. а) Модули двух чисел равны, если эти числа равны или противоположны, поэтому любой корень данного уравнения являются или корнем уравнения

1) 2x – 4 = x – a или корнем уравнения 2) 2x – 4 = –x + a.

При каждом значении a уравнение 1) имеет единственный корень x₁ = 4 – a, а уравнение 2) имеет единственный корень x₂ = .

Данное уравнение имеет единственный корень при условии x₁ = x₂, то есть при условии 4 – a = . Этому равенству удовлетворяет единственное значение

a = 2. Следовательно, условию задачи удовлетворяет единственное значение a = 2.

Замечание. Отметим, что, решая уравнения с модулем, обычно «распространяют» понятие уравнения, данное для линейных уравнений, на новую ситацию. Однако будет лучше, если учитель заметит, что это уравнения нового типа, отличающиеся от линейных. И решить, например, уравнение |x| = 7 — это значит найти все такие значения x, для каждого из которых числовое равенство |x| = 7 верно. Эти значения x (x₁ = 7 и x₂ = –7) и называют корнями рассматриваемого уравнения.

3.* Докажите свойства модуля числа:

1. |–a| = |a|, 2. a |a|, 3. |ab| = |a||b|,

4. , b 0, 5. |a + b| |a| + |b|, 6. |a – b| |a| + |b|,

Свойства 1-2 доказываются рассмотрением случаев: 1) a = 0, 2) a > 0, 3) a

Доказательство свойства 3. Если среди чисел a и b есть хотя бы один нуль, то равенство справедливо.

Если среди чисел a и b нет ни одного нуля, то эти числа или одинаковых знаков (оба положительные или оба отрицательные), или разных знаков.

1) Если a > 0 и b > 0, то ab > 0 и |ab| = ab = |a||b|, что и требовалось доказать.

2) Если a b ab > 0 и |ab| = ab = (–a)(–b) = |–a||–b| = |a||b|, что и требовалось доказать.

3) Если a и b разных знаков — для определённости a > 0 и b ab |ab| = –(ab) ==a(–b) = |a||–b| = |a||b|, что и требовалось доказать.

Аналогичными рассуждениями (с учётом условия b 0) доказывается свойство 4.

Доказательство свойства 5.

Если а + b 0, то |a + b| = a + b |a| + |b| (по свойству 2).

Если же а + b 0, то |a + b| = –(a + b) = (–a) +(–b) = |–a| + |–b| = |a| + |b| (по свойствам 1 и 2).

Пусть теперь числа а и b разных знаков и для определенности |a| |b|.

Если а положительно, то

a + b = +(|a| – |b|),

и если а отрицательно, то

a + b = –(|a| – |b|).

Но тогда

|a + b| = |+(|a| – |b|)| = |a| – |b| |a| + |b|

|a + b| = |–(|a| – |b|)| = |a| – |b| |a| + |b|

потому, что –|b| |b|.

Итак, для любых действительных чисел а и b

|a + b| |a| + |b|,

что и требовалось доказать.

Свойство 6 следует из свойства 5.

Действительно,

|a – b| = |a + (–b)| |a| + |–b| = |a| + |b|.

Замечание. Доказательство свойства 5 лучше провести учителю, остальные свойства могут доказать учащиеся при помощи учителя в составлении плана доказательства (какие случаи надо рассмотреть).

4.* Докажите, что для любого числа х:

а) |15x – 16| = |16 – 15x|; б) |x² – 7| = |7 – x²|;

в) 12x – 1 |1 – 12x|; г) x² – 2011 |2011 – x²|;

д) | x² – 49| = |x – 7||x + 7|; е) ;

ж) |8 + 5x| |1 + 2x| + |7 + 3x|; з) |1 + 6x| |5x – 11| + |12 + x|;

и) |2 + 4x| |6 + 7x| + |4 + 3x|; к) |x – 23| |12x – 11| + |12 + 11x|.

1.3. Множества чисел

В данном пункте даны определения некоторых числовых множеств: отрезка, интервала, полуинтервала и приведены примеры изображения таких множеств на координатной оси. В 8 классе при изучении функций эти обозначения будут широко использоваться, поэтому учащимся необходимо их усвоить. Эти обозначения будут применяться также в 9 классе при изучении неравенств.

Отметим, что в последнее время категоричность требования записывать ответ с помощью числовых промежутков снижается. В ответах допускается задание множества чисел неравенством (двойным неравенством). Это стоит учесть при оценивании работ учащихся и не снижать отметки, если ученик, например, вместо интервала (0; +) напишет неравенство x > 0.

Кроме отрезков, интервалов и полуинтервалов множества чисел часто обозначают латинскими буквами A, B, C, … Некоторые множества имеют специальные обозначения: N, Z, Q, R, R₊.

Дополнительная информация по теме имеется в Дополнении к главе 1. Полезно показать учащимся обозначения для объединения и пересечения множеств, решить несколько задач из Дополнения.

Задания для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задания 590–604.

Решения и комментарии

30. Принадлежит ли число –2 множеству чисел (сделайте запись с помощью знаков и ):

а) [–3; 0]; б) (–2; 3); в) (–; –2]; г) (–2; +);

д) N; е) Z; ж) Q; з) R.

Ответ. а) –2 [–3; 0]; б) –2 (–2; 3); в) –2 (–; –2]; г) –2 (–2; +); д) –2 N; е) –2 Z; ж) –2 Q; з) –2 R.

37. а) Изобразите на координатной оси числовые промежутки [–2; 3] и [0; 2]. Имеют ли они общие точки? Если да, то запишите общую часть (пересечение) этих множеств.

Р
ешение. Да, эти промежутки имеют общие точки — все они составляют отрезок
[0; 2] (рис. 5).

Рис. 5

Промежуточный контроль. С–1.

1.4. Декартова система координат на плоскости

В данном пункте вводятся понятия: система координат, ось абсцисс, ось ординат, абсцисса и ордината точки.

Здесь важно подчеркнуть, что между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Умение определять координаты точки, строить точку по её координатам является обязательным для всех учащихся.

Задания для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задания 713–715.

Решения и комментарии

45. а) Постройте прямоугольник ABCD по координатам его вершин: А (0; 0), B (0; 8), С (5; 8), D (5; 0). Найдите периметр и площадь прямоугольника ABCD.

б) Постройте квадрат ABCD по координатам трех его вершин: А (–2; –1), В (–2; 2), С (1; 2). Найдите координаты вершины D, периметр и площадь квадрата ABCD.

Решение. а) Прямоугольник ABCD изображён на рисунке 6. Он имеет периметр
2(5 + 8) = 26 и площадь 58 = 40.

б

) Квадрат ABCD изображён на рисунке 7. Он имеет периметр 43 = 12 и площадь

33 = 9, точка D (1; –1).

Рис. 6 Рис. 7

Дополнительное задание

1.* Даны точки A (3; 5) и В (10; –9). Определите координаты точки C, если:

а) С — середина отрезка AB; б) A — середина отрезка BС;

в) AС : CB = 2 : 5; г) AС : CB = 4 : 3.

Замечание. Задание выполняется с использованием результатов выполнения заданий 23 и 23 учебника.

1.5. Понятие функции

В данном пункте на примерах объяснено понятие функции. Затем дано определение функции по Лобачевскому и Дирихле, объяснено, что такое аргумент, функция, область определения функции. Приведены примеры функций, заданных формулой и таблицей, упоминается, что функцию можно задать графиком (это материал следующего пункта). Здесь же дано обозначение функции y = f (x), введено понятие значения функции в данной точке и множества значений функции. Множество Y значений функции называют еще областью изменения функции или множеством значений функции.

Понятие функции является центральным понятием курса алгебры (8-9 классы), алгебры и начал математического анализа (10-11 классы), поэтому оно должно быть усвоено каждым учащимся.

Решения и комментарии

53. б) Запишите стоимость s лотерейных билетов как функцию от количества k проданных билетов, если один билет стоит 30 р.

в) Запишите количество изготовленных деталей d как функцию от времени t, если за 1 ч изготавливают 4 детали.

Ответ. б) s = 30k; в) d = 4t.

54. Функция задана формулой у = 2х – 5. При каком значении аргумента х значение функции будет равно: 5, –3, 0, –5?

Решение. Для нахождения первого значения аргумента х надо решить уравнение 5 = 2х – 5, получится х = 5. Остальные значения аргумента 1, 2,5, 0 находятся аналогично.

55. Какой формулой может быть задана функция, если:

а) значениям х, равным 0, 1, 2, 3, 4, 5, соответствуют значения у, равные 0, 5, 10, 15, 20, 25;

б) значениям х, равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствуют значения у, равные 2,5, 5, 7,5, 10, 12,5, 15?

Решение. а) Все пары значений x и y удовлетворяют равенству y = 5x, следовательно, функцию можно задать формулой y = 5x.

б) Все пары значений x и y удовлетворяют равенству y = 2,5x, следовательно, функцию можно задать формулой y = 2,5x.

Дополнительное задание

1. Подготовьте сообщение о жизни и деятельности Н.И. Лобачевского, используя учебник, вспомогательную литературу и Интернет.

1.6. Понятие графика функции

В данном пункте вводится понятие графика функции, объясняется, что такое приращение аргумента и приращение функции, какую функцию называют непрерывной на промежутке. Приведён пример функции, имеющей разрыв.

Функцию, график которой на промежутке J является непрерывной линией (т. е. получаемой непрерывным движением карандаша без отрыва от бумаги) называют непрерывной на промежутке J.

Определение непрерывной функции через непрерывность её графика не требует от учащихся каких-либо особых усилий для его понимания.

Рассматривая непрерывный график, легко убедить учащихся в том, что приведенное определение равносильно и такому определению: функция непрерывна на промежутке, если она определена в каждой точке этого промежутка и малому изменению аргумента x соответствует малое изменение функции. При этом не стоит пытаться как-либо пояснить это аналитически, надо остановиться на интуитивном представлении о том, что такое малое изменение.

На непрерывность функции на промежутке будет обращаться внимание при изучении свойств функций, с опорой на это понятие будет доказано существование квадратного корня из положительного числа, поэтому каждый ученик должен владеть этим понятием. Введение понятия непрерывности функции на промежутке опирается на интуитивно ясное представление о непрерывной линии. Строгое определение непрерывности функции будет дано только в курсе алгебры и начал математического анализа в 11 классе.

Решения и комментарии

60. В 6 ч утра из поселка на озеро, находящееся в 6 км от поселка, отправились рыбачить отец и сын. Туда шли пешком, а обратно ехали на попутной машине. На рисунке 6 изображен график их движения. Определите с помощью графика:

а) в какое время рыболовы пришли к озеру;

б) как долго они могли удить рыбу;

в) сколько времени занял у них обратный путь;

г) с какой скоростью они шли пешком;

д) с какой скоростью ехала машина.

Рис. 8

Решение. а) Рыболовы пришли к озеру в 6 ч 45 мин;

б) они могли удить рыбу от 6 ч 45 мин до 8 ч 45 мин, т. е. 2 часа (график не позволяет определить точное время рыбалки, он показывает, что в течение 2 часов рыбаки находились в 6 км от посёлка);

в) обратный путь занял у них 15 мин;

г) они шли пешком со скоростью (км/ч);

д) машина ехала со скоростью (км/ч).

Замечание. В рассмотренном задании полезно обсудить вопрос: является ли система координат, изображенная на рисунке 8, прямоугольной декартовой? Она прямоугольная, но не декартова, так как её оси взаимно перпендикулярны, но единичные отрезки на осях различны (они даже выражают различные величины) и начало горизонтальной оси сдвинуто влево, а у декартовой системы координат начала отсчёта на осях должны совпадать.

Дополнительные задания

1. ЕГЭ. На графике (рис. 9) показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с 0 ч 13 августа. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 15 августа. Ответ дайте с точностью до одного градуса.

Рис. 9
Ответ. 14.

2. Составьте рассказ о походе на рыбалку по данному графику (рис. 10).

Рис. 10

Промежуточный контроль. Т–1 (тест 1 из сборника тестов).

§ 2. Функции y = x, y = x², y =

Основная цель второго параграфа ― изучить три функции разных типов (их графики — прямая, парабола и гипербола), дать учащимся примеры изучения свойств функций, построения их графиков.

2.1. Функция y = x и её график

В данном пункте рассмотрена биссектриса I и III координатных углов и показано, что если точка A (x; y) принадлежит построенной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению y = x. Показано, что верно и обратное утверждение: если координаты точки удовлетворяют уравнению y = x, то эта точка принадлежит биссектрисе I и III координатных углов.

Каждый ученик должен знать, что график функции y = x — прямая и уметь его строить.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 716.

Решения и комментарии

70. На биссектрисе II и IV координатных углов отметили точку А (х; у) (рис. 11). Докажите, что для координат этой точки в каждом случае выполняется равенство у = –х.

Рис. 11

Доказательство. На рисунке 11, а на данной прямой отмечена точка A, имеющая отрицательную абсциссу x. Пусть прямая, проходящая через A и параллельная оси Oy (показана пунктиром), пересекает ось Ox в точке A₁. Тогда OA₁ = –х, AA₁ = y. Так как OA — биссектриса II координатного угла, то треугольник OAA₁ равнобедренный и AA₁ = OA₁, поэтому верно равенство у = –х.

На рисунке 11, б на данной прямой отмечена точка A, имеющая положительную абсциссу x. Пусть прямая, проходящая через A и параллельная оси Oy (показана пунктиром), пересекает ось Ox в точке A₁. Тогда OA₁ = х, AA₁ = –y. Так как OA — биссектриса II координатного угла, то треугольник OAA₁ равнобедренный и AA₁ = OA₁, поэтому верно равенство –у = х, откуда следует, что у = –х.

Если x = 0, то y = 0, так как прямая проходит через точку (0; 0). В этом случае равенство у = –х верно, так как 0 = –0.

Итак, если точка принадлежит биссектрисе II и IV координатных углов, то её координаты удовлетворяют уравнению: у = –х, что и требовалось доказать.

71. Пусть для координат точки А (х; у) выполняется равенство у = –х. Докажите, что эта точка лежит на биссектрисе II и IV координатных углов.

Доказательство. Рассмотрим сначала точку А (х; у), такую, что x y > 0, так как у = –х. Обращаясь к рисунку 11, а, получим, что OA₁ = –x = y = AA₁, т. е. что прямоугольный треугольник OA₁A равнобедренный, следовательно, каждый из его острых углов содержит по 45^о. Но тогда точка А (х; у) находится на биссектрисе II координатного угла.

Если x > 0, то y у = –х. Обращаясь к рисунку 11, б, получим, что OA₁ = x = –y = AA₁, т. е. что прямоугольный треугольник OA₁A равнобедренный и поэтому точка A находится на биссектрисе IV координатного угла.

Если же x = 0, то и y = 0, так как у = –х. Точка (0; 0) находится на биссектрисе II и IV координатных углов.

2.2. Функция y = x²

В данном пункте рассматриваются свойства функции y = x². Говорится о том, что на промежутке [0; +) эта функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Иначе говоря, если 0 x₁ x₂, , , то y₁ y₂. Доказательство этого факта приведено в учебнике, но там не доказано, что эта функция убывает на промежутке (–; 0], поэтому ниже (дополнительное задание 1) это доказательство приведено. Здесь же установлено, что для функции y = x² выполняется равенство y (–x) = y (x). И сказано, что такие функции называют чётными. Утверждается, что функция y = x² приведена на промежутке (–; +). Приводится обоснование этого утверждения для x 0.

Замечание. Даже у учителей иногда возникает вопрос: верно ли, что функция
y = x² убывает на промежутке (–; 0] и возрастает на промежутке [0; +)? Сомнения возникают от кажущегося противоречия: число 0 входит в оба эти промежутка. Но противоречия здесь нет, так как определения возрастания и убывания функции на промежутке даётся для любых x₁ и x₂ из этого промежутка. Подчеркнём, что возрастание (убывание) функции рассматривается только на промежутке.

Обратим внимание на то, что здесь впервые появляются понятия возрастающей (убывающей) на промежутке функции, чётной функции (но нет пока нечётной). Все доказательства должны быть даны учителем, но требовать их от учащихся ещё рано.

В п. 2.2 сказано, что функция у = х² непрерывна на промежутке (–; +). «Доказательство» непрерывности функции на промежутке [0; +) следует из очевидного факта. Будем считать, что у — это площадь квадрата со стороной х (для х = 0 площадь квадрата считаем равной 0). Ясно, что малое изменение стороны квадрата влечёт малое изменение его площади. Следовательно, для неотрицательных х малому изменению аргумента х соответствует малое изменение функции у. А так как функция определена в каждой точке промежутка [0; +), то это и означает непрерывность функции на промежутке [0; +).

Непрерывность функции у = х² на всей оси, т. е. на промежутке (–; +), будет следовать из симметрии графика этой функции относительно оси Оу (см. п. 2.3).

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 751.

Решения и комментарии

86. Является ли функция у = х² возрастающей на отрезке [а; b], если:

а) а = –3; b = 3; в) а = 1, b = 4?

Решение. а) Функция у = х² не является возрастающей на отрезке [–3; 3], так как можно подобрать такую пару значений, например, x₁ = –3 и x₂ = 1 из этого отрезка, что из неравенства x₁ x₂ следует, что y₁ > y₂.

Функция у = х² не является убывающей на отрезке [–3; 3], так как можно подобрать такую пару значений, например, x₁ = –1 и x₂ = 1 из этого отрезка, что из неравенства x₁ x₂ следует, что y₁ = y₂.

Функция у = х² является возрастающей на отрезке [0; 3] и убывающей на отрезке [–3; 0].

в) Функция у = х² является возрастающей на отрезке [1; 4], так как для любых x₁ и x₂ таких, что 1 x₁ x₂ 4 имеем 1 16, т. е. y₁ y₂.

Дополнительное задание

1. Докажите, что функция у = х² является убывающей на промежутке (–; 0].

Доказательство. Пусть x₁ и x₂ — произвольные числа из промежутка (–; 0], т. е. пусть верно неравенство x₁ x₂ 0. Докажем, что y₁ > y₂.

Если x₁ x₂ = 0, то > 0, а = 0, то есть верно неравенство y₁ > y₂.

Если x₁ x₂ 0 и x₁ x₂, то, умножив последнее неравенство на –1, получим верное неравенство –x₁ > –x₂. Так как для положительных чисел –x₁ и –x₂ из неравенства –x₁ > – x₂ следует неравенство или > и , , то верно неравенство y₁ > y₂.

Итак, для любой пары чисел x₁ и x₂ из промежутка (–; 0] из неравенства

x₁ x₂ следует неравенство y₁ > y₂ (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), то есть функция у = х² является убывающей на промежутке (–; 0], что и требовалось доказать.

2.3. График функции y = x²

В данном пункте вводится понятие графика функции у = х², объясняется как его построить, вводится соответствующая терминология: парабола, ось симметрии параболы, вершина параболы.

Важно обратить внимание учащихся на то, что свойства функции у = х² используются при построении графика, а график даёт наглядную иллюстрацию этих свойств. Каждый ученик должен знать, что график функции у = х² — парабола и уметь его строить.

Решения и комментарии

91. Принадлежит ли точка A (x; y) графику функции у = х², если:

а) x = 1, y = 5; б) x = 3, y = 9?

Решение.

а) Так как при x = 1, y = 5 равенство 5 = 1² неверно, то точка A (1; 5) не принадлежит графику функции у = х².

б) Так как при x = 3, y = 9 равенство 9 = 3² верно, то точка A (3; 9) принадлежит графику функции у = х².

92. Дана функция у = х². На каком промежутке:

а) функция возрастает; б) функция убывает?

Ответ. а) Функция возрастает на промежутке [0; +).

б) Функция убывает на промежутке (–; 0].

Замечание. Учащиеся могут привести и другие промежутки возрастания и убывания данной функции. Например, они могут сказать, что функция возрастает на отрезке [1; 5], а убывает на интервале (–5; –1). Для доказательства своих утверждений (в задаче доказательство не требуется) они могут привести рассуждения, похожие на уже разобранные для промежутков [0; +) и (–; 0].

Вообще, если промежуток (a; b) (или [a; b], или [a; b), или (a; b]) является частью промежутка [0; +), на котором по доказанному функция возрастает, то на нём эта функция тоже возрастает. А если этот промежуток является частью промежутка (–; 0], на котором по доказанному функция убывает, то на этом промежутке функция убывает.

2.4. Функция y =

В данном пункте рассмотрены свойства функции y = для положительных x. Все свойства функции доказаны. В частности, на промежутке (0; +) «доказательство» непрерывности функции следует из следующих рассуждений.

Пусть спортсмену надо пробежать дистанцию 1 км. Будем считать, что он бежит всю дистанцию с постоянной скоростью х км/с. Тогда весь путь он пробежит за у с, причём . Здесь время у выражено как функция скорости х. Очевидно, что малое изменение скорости дает малое изменение времени, затраченного на путь. Поэтому функция непрерывна на промежутке (0; +).

Отсюда сделан вывод, что график функции y = на промежутке

(0; +) — непрерывная линия.

Задание для повторения. При изучении данного пункта можно использовать задание 760.

Решения и комментарии

98. а) Сравните дроби и .

Решение. Данные дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю. А можно воспользоваться тем, что это значения функции y = в точках 2 и 3.

Так как числа 2 и 3 принадлежат интервалу (0; +), на котором функция y = убывает, то из неравенства 2 > .

99. а) Дана функция y = . Сравните y (1) и y (2).

Решение. Так как числа 1 и 2 принадлежат интервалу (0; +), на котором функция y = убывает, то из неравенства 1 y (1) > y (2).

2.5. График функции y =

В данном пункте с опорой на свойства функции y = посторен график этой функции для положительных x. Затем установлено свойство функции

y (–x) = –y (x) (1)

и сказано, что такие функции называют нечётными.

Из равенства (1) следует, что график функции y = симметричен относительно начала координат. Далее построен график функции для x y = для x на промежутке (–; 0) следует из симметрии графика этой функции относительно начала координат.

Каждый ученик должен знать, что график функции y = — гипербола и уметь его строить.

Решения и комментарии

100. д) На каких промежутках функция y = непрерывна?

Ответ. Функция непрерывна на каждом из промежутков (–; 0) и (0; +).

103. Докажите, что функция y = является:

а) нечётной; б) убывающей при x

Решение. а) Область определения функции y = состоит из двух промежутков (–; 0) и (0; +). Поэтому для всякого числа x из области определения этой функции существует число –x, принадлежащее этой области определения. Так как y (–x) = = – = – y (x), то функция y = является нечётной, что и требовалось доказать.

б) Пусть x₁ и x₂ — любые числа из промежутка (–; 0), для которых верны неравенства x₁ x₂ y (x₁) – y (x₂):

y (x₁) – y (x₂) = = .

Так как x₁ x₂ x₂ – x₁ > 0 и x₁x₂ > 0, поэтому y (x₁) – y (x₂) > 0, это означает, что y (x₁) > y (x₂).

Итак, при x x₂ соответствует меньшее значение y (x₂), поэтому при x y = является убывающей.

Промежуточный контроль. С–2, Т–2, К–1.

1 Здесь и далее помещены дополнительные задания, многие из которых войдут в новую версию учебника.