Название работы	Кол-во страниц	Размер
Занятие 2 Аналитические функции. Условия Коши-Римана 1 Производная...	1	145.14kb.
Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине	1	135.04kb.
Решение слу 4) может быть записано в виде: (Формула Крамера)	1	143.49kb.
Tв по аналогии можно сравнить с пройденным путем. В физике производная...	1	51.93kb.
Изображение линий на чертеже Дифференциал	1	92.2kb.
Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям	1	95.19kb.
Производные дробных порядков	1	148.57kb.
Контрольная работа по математическому анализу 2 семестр Вариант 2...	1	95.56kb.
Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического...	1	73.69kb.
Определители второго и третьего порядков	1	141.79kb.
Перечень вопросов к зачётному занятию по дисциплине «Физика, математика»	1	52.51kb.
Отчету о втором этапе исследования по теме «Получение интегральных...	1	31.51kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

ПРОИЗВОДНАЯ и дифференциал высших порядков
Пусть функция определена на множестве , и пусть функция в каждой точке имеет конечную производную. Если в каждой точке вычислить производную функции , то получим новую функцию – . Если же существует производная от функции , то данную производную, называют производной второго порядка. Производную функции в точке обозначают (производная второго порядка в точке ) и называют следующий предел: если этот предел существует и конечное число.

Аналогичным образом определяется производная третьего порядка, и т.д. Если мы определили производную - ого порядка, то производная - ого порядка определяется следующим образом: .

Рассмотрим следующие функции:

1. Функция имеет производную любого порядка: ;

2. Для функции производная - ого порядка определяется следующим образом: ;

3. Аналогично определяется производная - ого порядка для функции :

.
Правила вычисления производной - ого порядка.
Пусть имеем функции , которые определены и на множестве и имеют производные - ого порядка на этом множестве, а – любое постоянное число. Тогда: для функций , и , тоже существуют производные - ого порядка на множестве и они определяется следующим образом:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ­ – формула Лейбница.
   

Дифференциал - ого порядка.
Напомним, что для функции дифференциал первого порядка, определяется следующим образом: , с его помощью определяется дифференциал второго порядка и высших порядков:

;

.
Формула Тейлора
Пусть имеем функцию многочлен степени :

.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени относительно разности , где – произвольное число, т.е. представим в виде

. (*)

Для нахождения коэффициентов продифференцируем раз равенство (*):

,

,

,

…………………………………………………………………………

Подставляя в полученные равенства и равенство (*), имеем:

, т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. ,

, т.е. ,

…………………………………………………………………………

, т.е. .

Подставляя найденные значения в равенство (*), получим разложение многочлена - ой степени по степеням :

. (**)

Формула (**) называется формулой Тейлора для многочлена степени .

Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Пусть для функции , существуют производные - ого порядка. Любой такой функции сопоставим многочлен - ого порядка.

Свойства :

1. имеет производную до - ого порядка включительно.

2.

Лемма. Если функция имеет производную - ого порядка в окрестности точки и то

Доказательство: доказательство проведем методом математической индукции.

Пусть , т.е. Докажем, что .

Допустим, что лемма верна для , докажем справедливость леммы для .

, ,

,

.

Так как функция удовлетворяет всем условиям леммы, то можно сказать, что .

(1)

Формула (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Пеано имеет недостаток, т.к. в явном виде мы не знаем вид остаточного члена.

Лагранж получил другой вид для остаточного члена. Он показал, что , тем самым получил другую запись формулы Тейлора

(2)
Формула (3) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

При получается частный случай формулы Тейлора – формула Маклорана:

(3)

Разложение по формуле Тейлора для элементарных функций.

Запишем формулу Маклорана для функции . Находим производные этой функции: , , … , . Так как , , , … , , , то по формуле (3) имеем:
,

при , оценим число .

,

получим более точную оценку , где .

Приведем разложения по формуле Маклорана некоторых других элементарных функций:

, ,

;
, ,

;
,

,

при , ;

,

;
,

,

при , , и мы получим приближенное вычисление числа .