Программа вступительного испытания по предмету прикладные математика и физика для поступающих на основные образовательные программы по направлению 010900 Прикладные математика и физика

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ПРЕДМЕТУ

Прикладные математика и физика

для поступающих на основные образовательные программы

по направлению 010900 Прикладные математика и физика

(магистерские программы: прикладная электродинамика и информатика; математическая физика и математическое моделирование; инновационный менеджмент высоких и наукоёмких технологий)
I. Содержание основных тем
Раздел 1. МАТЕМАТИКА.

Непрерывность и дифференцируемость функций.
Интеграл функции одной переменной, свойства, критерии интегрируемости.
Возможность почленного интегрирования и дифференцирования функциональных рядов.
Ряд Тейлора, область сходимости степенных рядов.
Теорема о неявной функции.
Кратные и повторные интегралы.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода.
Поверхностные интегралы, формулы Стокса и Гаусса–Остроградского.
Тригонометрические ряды Фурье.
Сепарабельные и компактные пространства.
Непрерывные операторы и функционалы в компактных метрических пространствах.
Векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис пространства.
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм.
Алгебраические линии и поверхности первого и второго порядков. Приведение к канонической форме.
Матрицы, определители, их свойства.
Системы линейных алгебраических уравнений, свойства, вычисление решений.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Зависимость решений систем дифференциальных уравнений от параметров и начальных данных.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: свойства решений, формула Коши. Методы решения систем с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения в частных производных, линейные уравнения первого порядка, определения и свойства решений.
Вариационная задача. Уравнение Эйлера.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Теорема о вычетах.
Классификация уравнений математической физики. Начальные и граничные условия и их физический смысл.
Волновое уравнение (уравнение колебания струны, стержня, мембраны). Методы решения.
Уравнение теплопроводности. Случай мгновенного точечного источника.
Стационарные задачи. Уравнения Лапласа и Пуассона.
Случайное событие и его вероятность. Основные теоремы теории вероятностей.
Случайная величина и её функция распределения. Основные распределения дискретных и непрерывных случайных величин.
Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел в форме Чебышёва. Характеристические функции. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределённых случайных величин.
Точечные оценки. Свойства точечных оценок. Метод моментов. Метод наибольшего правдоподобия.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения. Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона.
Устойчивость по Ляпунову. Первый метод Ляпунова.
Устойчивость по Ляпунову. Прямой (второй) метод Ляпунова.
Непрерывная стабилизация линейных систем.
Оптимальная стабилизация управляемых систем.
Критерий управляемости и наблюдаемости для линейных систем.
Интегрирование и наилучшие полиномиальные приближения функций.
Итеративные методы решения уравнений алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона.
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге–Кутты.
Основные положения теории информации и кодирования.
Алгоритмические языки и алгоритмизация.

Раздел 2. ФИЗИКА.

Системы отсчёта. Законы Ньютона. Две задачи механики.
Силы в механике. Работа. Мощность. Силовое поле. Консервативные силы. Потенциальная и кинетическая энергия.
Законы сохранения. Однородность пространства. Однородность времени. Изотропность пространства.
Вращательное движение абсолютно твёрдого тела. Движение центра масс. Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося тела.
Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Центробежная сила. Сила Кориолиса.
Механика жидкости. Несжимаемая жидкость. Неразрывность струи. Идеальная жидкость. Теорема Бернулли. Формула Торричелли. Формула Пуазейля.
Инварианты. Принцип относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Одновременность. Лоренцево сокращение. Собственное время. Интервал. Преобразование скоростей. Релятивистский импульс. Релятивистская энергия.
Термодинамическая система. Уравнение состояния идеального газа. Число столкновений молекул газа со стенкой сосуда. Давление газа на стенку. Средняя энергия молекул. Степени свободы.
Внутренняя энергия. Работа, совершаемая газом. Первое начало термодинамики. Теплоёмкость идеального газа. Адиабатический процесс. Политропический процесс. Работа газа при различных процессах.
Распределение Максвелла.
Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
Явления переноса. Эффективное сечение. Средняя длина свободного пробега. Диффузия. Теплопроводность. Вязкость.
Микросостояние и макросостояние. Статистический вес. Энтропия. Второе начало термодинамики. Теорема Нернста. Энтропия идеального газа.
Коэффициент полезного действия. Цикл Карно. Термодинамическая шкала температур.
Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние. Фазовые превращения. Уравнение Клапейрона–Клаузиуса.
Строение жидкостей. Поверхностное натяжение. Краевой угол. Смачивание и несмачивание. Формула Лапласа. Капиллярное давление.
Электрический заряд. Закон Кулона. Напряжённость E. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса для E. Теорема о циркуляции для E. Потенциал поля. Связь между напряжённостью и потенциалом. Поле электрического диполя. Диполь во внешнем поле.
Полярные и неполярные молекулы. Поляризация диэлектрика. Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость. Условия на границе диэлектриков.
Равновесие зарядов на проводнике. Электроёмкость. Конденсаторы. Энергия системы точечных зарядов, проводника и конденсатора.
Постоянный электрический ток. Плотность тока. Сторонние силы. Электродвижущая сила. Закон Ома. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля–Ленца.
Магнитная индукция B. Магнитный момент. Закон Био–Савара–Лапласа. Закон Ампера. Сила Лоренца. Теорема Гаусса для B. Теорема о циркуляции для B. Поле соленоида. Контур с током в магнитном поле. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле.
Намагниченность. Молекулярные токи. Напряжённость магнитного поля. Магнитная восприимчивость. Магнитная проницаемость. Условия на границе двух магнетиков.
Электромагнитная индукция. Индукционные токи. Правило Ленца. Электродвижущая сила индукции. Самоиндукция. Ток при замыкании и размыкании цепи. Взаимная индукция. Энергия магнитного поля.
Вихревое электрическое поле. Уравнение непрерывности. Ток смещения. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.
Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля. Калибровочная инвариантность. Калибровка Лоренца. Уравнения в потенциалах.
Гармонические колебания. Пружинный маятник. Математический маятник. Электрический колебательный контур.
Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.
Продольные и поперечные волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение. Энергия упругой волны. Вектор Умова. Волновой пакет. Групповая скорость.
Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга. Эффект Доплера для электромагнитных волн.
Показатель преломления. Принцип Гюйгенса. Закон Снелля. Временная и пространственная когерентность. Интерференционная картина от двух источников. Многолучевая интерференция.
Зоны Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Дифракция Фраунгофера на щели. Дифракция на пространственных структурах. Закон Вульфа–Брэггов.
Поляризованность света. Закон Малюса. Взаимодействие света с веществом. Дисперсия.
Тепловое излучение. Абсолютно чёрное тело. Закон Кирхгофа. Закон Стефана–Больцмана.
Стоячие волны. Формула Рэлея–Джинса. Гипотеза Планка. Формула Планка.
Фотоны. Гипотеза Эйнштейна. Тормозное рентгеновское излучение. Коротковолновая граница. Внешний фотоэффект. Красная граница. Корпускулярно-волновой дуализм. Опыт Боте. Эффект Комптона.
Гипотеза де Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Волновая функция. Условие нормировки. Уравнение Шрёдингера. Квантование энергии. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками.
Строение атома. Опыт Резерфорда. Теория Бора. Опыт Франка и Герца. Обобщённая формула Бальмера.
Квантовые числа. Понятие спина. Механический и магнитный моменты атомов. Опыт Штерна и Герлаха. Эффект Зеемана. Принцип запрета Паули.
Характеристическое излучение. Закон Мозли. Вынужденное излучение. Лазеры.
Фазовое пространство. Распределение Ферми–Дирака. Распределение Бозе–Эйнштейна.
Фотонный газ. Фононный газ и теплоёмкость кристаллической решётки. Теория Дебая. Электронный газ в металлах.
Энергетические зоны. Металлы, полупроводники и диэлектрики. Движение электрона в периодическом поле кристаллической решетки. Эффективная масса. Электропроводность металлов. Дрейфовая скорость. Собственная и примесная проводимость полупроводников.
Контактная разность потенциалов. Эффект Зеебека. Эффект Пельтье.
Атомное ядро. Характеристики ядра. Дефект массы и энергия связи. Ядерные силы.
Закон радиоактивного превращения. Альфа-распад. Бета-распад. Ядерные реакции. Деление ядер. Ядерный синтез.
Элементарные частицы. Виды взаимодействий и классы элементарных частиц. Частицы и античастицы. Законы сохранения лептонного и барионного заряда. Кварки.

II. Основная и дополнительная литература

Фихтенгольц Г.М. Курс Дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. М.: Физматлит, 2005–2006.
Зорич В.А. Математический анализ: В 2 т. М.: МЦНМО, 2007.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М., 1988–1989.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1985.
Постников М.М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1983.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости. М.: Наука, 1975.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. M.: Наука, 1965.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.
Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.
Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976.
Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. М.: Физматгиз, 1962.
Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998.
Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986.
Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. М.: Наука, 1989.
Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. М.: Наука, 1998.
Берклеевский курс физики: В 5 т. М.: Наука, 1972.

III. Организационно-методический раздел: структура вступительного испытания, рекомендации поступающим
Вступительные испытания для поступления на основные образовательные программы магистратуры по направлению 010600 Прикладные математика и физика проводятся в устно-письменной форме. Первая часть экзамена состоит из письменного ответа на два вопроса, определяемых путём выбора билета. Вторая часть экзамена заключается в устном ответе на два вопроса, сформулированных экзаменатором.
Каждый из вопросов, ответ на которые даётся в письменной форме, может быть оценен от 0 до 30 баллов. Каждый из вопросов, ответ на которые даётся в письменной форме, может быть оценен от 0 до 20 баллов. Итоговая оценка (максимум 100 баллов) определяется суммарным количеством набранных баллов за каждое из заданий.
Во время проведения вступительного испытания абитуриент не может пользоваться какими-либо дополнительными материалами. Также во время проведения вступительного испытания запрещаются: разговоры; вставания с мест; пересаживания; обмен любыми материалами и предметами; пользование мобильными телефонами или иными средствами связи, любыми электронно-вычислительным устройствами.
Формы вариантов заполняются авторучкой синего или черного цветов. В качестве черновиков используются чистые листы, получаемые абитуриентом от организаторов. Черновики не сдаются и не оцениваются.