Программа вступительного экзамена по специальной дисциплине

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

на основную образовательную программу

послевузовского профессионального образования (аспирантура)

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ (ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ)

по специальностям научных работников

01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

01.01.07 «Вычислительная математика»

01.01.09 «Дискретная математика и математическая кибернетика»

01.02.01 - Теоретическая механика

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Санкт-Петербург

2013

Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически. Производная по направлению.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории поля.
Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье.
Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха.
Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций.
Интеграл Лебега. Суммируемые функции.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений Пикара.
Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами.Анализ траекторий на плоскости.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра, теорема А.Пуанкаре.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана.Представление вычетов.
Задачи управления и наблюдения в линейных системах.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Теорема В.И.Зубова о границе области притяжения.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная,релейная).
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод сеток решения дифференциальных уравнений: аппроксимация, устойчивость, сходимость, консервативные схемы интегрирования.
Уравнение электродинамики сплошных сред. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Магнитная электродинамика.Теорема В.И.Зубова об универсальности уравнений электродинамики.
Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального функционала.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа. Характеристики задачи Коши, формула Эйлера-Даламбера. Распространение волн.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа. Уравнение теплопроводности, задача Коши-Дирихле.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа.
Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и механической системы.
Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики.
Оптимальная стабилизация линейных систем. Метод последовательных приближений синтеза оптимальных управлений.
Основная задача оптимального управления. Связь с задачами вариационного исчисления. Необходимые условия оптимальности.
Оптимальное демпфирование переходных процессов.

Литература:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с.
Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470 с.

Вычислительная математика

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически. Производная по направлению.
Экстремум функции многих переменных. Теоремы об условном экстремуме.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории поля.
Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье.
Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха.
Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций.
Интеграл Лебега. Суммируемые функции.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений Пикара.
Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами. Анализ траекторий на плоскости.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра, теорема А.Пуанкаре.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Теорема В.И.Зубова о границе области притяжения.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
Основная задача оптимального управления. Связь с задачами вариационного исчисления. Необходимые условия оптимальности.
Оптимальное демпфирование переходных процессов.
Интерполирование и наилучшие многочленные приближения функций.
Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод сеток решения дифференциальных уравнений: аппроксимация, устойчивость, сходимость, консервативные схемы интегрирования.
Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального функционала.
Вариационные задачи на условный экстремум.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа. Характеристики задачи Коши, формула Эйлера-Даламбера. Распространение волн.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа. Уравнение теплопроводности, задача Коши-Дирихле.
Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа.

Литература:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с.
Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470 с.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.

Дискретная математика и математическая кибернетика

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически. Производная по направлению.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории поля.
Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье.
Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха.
Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций.
Интеграл Лебега. Суммируемые функции.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений Пикара.
Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами.Анализ траекторий на плоскости.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра, теорема А.Пуанкаре.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
Задачи управления и наблюдения в линейных системах.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Теорема В.И.Зубова о границе области притяжения.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
Случайные величины. Распределение вероятностей случайных величин. Теорема В.И.Зубова об апроксимации функции распределения.
Характеристические функции. Центральная теорема А.М.Ляпунова.
Закон больших чисел. Неравенство П.Л.Чебышева.
Задача статистического оценивания и проверки гипотез.
Задачи и методы линейного программирования.
Целочисленное программирование. Теорема о максимальном потоке и минимальном сечении.
Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального функционала.
Вариационные задачи с голономными и неголономными связями. Изопериметрические задачи.
Оптимальная стабилизация линейных систем. Метод последовательных приближений синтеза оптимальных управлений.
Основная задача оптимального управления. Связь с задачами вариационного исчисления. Необходимые условия оптимальности.
Оптимальное демпфирование переходных процессов.

Литература:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с.
Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470 с.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.
Ширяев А.Н. Вероятность М.: Наука, 1989.
Боровков А.А. Теория вероятностей М.: Наука, 1986.
Боровков А.А. Математическая статистика М.: Наука, 1984.
Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982.
Крамер Г. Математические методы статистики М.: Мир, 1976.

Теоретическая механика

Механика деформируемого твердого тела

Дифференцирование функций. Производная неявной функции и функции, заданной параметрически. Производная по направлению.
Интегрирование функций. Кратные интегралы.
Поверхностные и криволинейные интегралы. Их взаимосвязь. Элементы теории поля.
Функциональные последовательности и ряды. Ряды Фурье.
Метрические и нормированные пространства. Оператор сжатия. Теорема Банаха.
Измеримые функции. Предельный переход в классе измеримых функций.
Интеграл Лебега. Суммируемые функции.
Матричное представление линейных операторов. Алгоритм приведения к Жордановой форме.
Квадратичные формы. Закон инерции. Условия положительной определенности квадратичных форм.
Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Метод последовательных приближений Пикара.
Теоремы о зависимости от параметров и начальных данных решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование линейных систем с постоянными коэффициентами. Анализ траекторий на плоскости.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод малого параметра, теорема А.Пуанкаре.
Аналитические функции. Условия аналитичности. Конформные отображения.
Разложение аналитических функций в степенные ряды. Ряд Лорана. Представление вычетов.
Интеграл Коши. Интегральная теорема Коши.
Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и второй метод Ляпунова.
Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и ее оценка. Теорема В.И.Зубова о границе области притяжения.
Стабилизация управляемых систем (непрерывная, дискретная, релейная).
Итеративные методы решения уравнений. Метод Ньютона.
Численные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод сеток решения дифференциальных уравнений: аппроксимация, устойчивость, сходимость, консервативные схемы интегрирования.
Элементы вариационного исчисления: условия экстремума интегрального функционала.
Оптимальное демпфирование переходных процессов.
Уравнения движения и основные законы динамики материальной точки и механической системы.
Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики.
Задача Эйлера и уравнения вращательного движения твердого тела.
Деформация и напряжение в сплошной среде.
Основные уравнения теории упругости. Формулировка краевых условий.
Уравнение электродинамики сплошных сред. Уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной форме. Магнитная электродинамика. Теорема В.И.Зубова об универсальности уравнений электродинамики.

Литература:

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1-3. М.,1966-1971.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
Зорич В.А. Математический анализ. Ч. 1. М., 1982. Ч. 2, 1984.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. М.,1988-1989.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1969.
Вулих Б.З. Основы теории функций вещественной переменной. М., 1973.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Учпедгиз, 1958.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1972.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Алешков Ю.З. Лекции по теории функций комплексного переменного.- СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999.- 196 с.
Алешков Ю.З., Смышляев П.П. Теория функций комплексного переменного и ее приложения.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- 248 с.
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Наука, 1967.- 304 с.
Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления. Л.; М., 1941.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Лекции по теории устойчивости.- М.: Наука, 1975.
Зубов В.И. Теория колебаний.- М.: Высш. шк., 1979.
Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1953.
Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1962. 464 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2000. 622 с.
Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 470 с.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М., 1970.
Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.
Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1957.
Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Части I и II.-М.Наука. 1967-1969.
Маркеев А.П. Теоретическая механика.-М.Наука.1990.
Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.-М. Наука. 1968.
Поляхов Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика.-Л. 1985; М. Высшая школа. 2000.
Балеску Дж. Статистическая механика заряженных частиц. М.: Мир, 1974.
Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Физматгиз, 1962.