Похожие работы
|
Программа по курсу "Введение в математический анализ" - страница №1/1
Программа по курсу
"Введение в математический анализ"
-
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель курса –
обучение основам математического анализа для формирования у студентов представления о математике как особом методе познания природы, осознания общности математических понятий и моделей, приобретения навыков логического мышления и оперирования абстрактными математическими объектами; воспитание высокой математической культуры. Математический анализ – важнейший базовый курс, целями которого является закладка фундамента математического образования.
|
Задачами данного курса являются:
-
добиться четкого, ясного понимания основных объектов исследования и понятий анализа;
-
продемонстрировать возможности методов анализа для решения задач фундаментальной и прикладной математики;
-
привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях;
-
сформировать высокий уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной и дискретной математике;
-
способствовать: подготовке к ведению исследовательской деятельности (в частности, для написания курсовой и выпускной квалификационной работ) в областях, использующих математические методы; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления;
-
развивать умение самостоятельной работы с учебными пособиями и другой научной и математической литературой.
|
Вид занятий:
Лекции
№ п.п.
|
Раздел
|
Темы
|
|
1
|
Увертюра
|
Исчисление высказываний,
пропозициональные формы,
кванторы, предикаты
|
Множества, операции, отношения
|
Группы, кольца, поля
|
Числа
|
Метрические пространства
|
Отображения
|
2
|
Рондо
|
Последовательности: алгебраические и топологические свойства, как отображения совершенно упорядоченной дискретной полугруппы в полное совершенно упорядоченное поле.
|
Предельные точки, частичные пределы, верхние и нижние пределы
|
Алгебра сходящихся последовательностей, максимальный идеал бесконечно малых последовательностей. Другие идеалы кольца сходящихся последовательностей.
|
3
|
Скерцо
|
Локальные свойства функций действительной переменной как отображения полного совершенно упорядоченного поля в себя — ограниченность, предельность, непрерывность.
|
Глобальные свойства непрерывной функции действительной переменной: компактность, связность, равномерная непрерывность.
|
Бесконечно малые функции как максимальный идеал кольца непрерывных в точке функций.
|
Теорема Ферма о существовании локального экстремума внутри отрезка.
|
Понятие дифференцируемости в точке и на множестве. Производная функция. Кольцо дифференцируемых в точке функций. Дифференцируемость композиции.
|
|
Дифференцируемость локально обратимой функции действительной переменной.
|
Дифференциал функции и его инвариантность при замене переменной.
|
Дифференциалы и производные высших порядков.
|
4
|
Апофеоз
|
Теорема Ролля.
Теорема о конечных приращениях и ее следствия: Теоремы Лагранжа и Коши
|
Теорема Дарбу о свойстве производной дифференцируемой функции.
|
Теорема о существовании обратной функции.
|
Формула Тейлора.
|
5
|
Мадринал
|
Интегральные суммы Дарбу, Верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегрируемость по Риману.
|
Критерий интегрируемости функций. Интегрируемость непрерывных и монтонных функций.
|
Интегральные суммы и интегрируемость по Риману.
|
Теорема о интегрируемости сложной функции.
|
Свойства интеграла Римана. Кольцо интегрируемых функций.
|
Замена переменной в интеграле Римана.
|
Формула Ньютона — Лейбница.
|
6
|
Кода
|
Определение неопределенного интеграла и его свойства.
|
|
Экстремальные свойства функции действительной переменной.
|
Исследование свойств функции действительной переменной и построение эскиза графика.
|
Некоторые приложения интегрального исчисления к геометрии и физике.
|
Семинары
№
п/п
|
Тема
|
Содержание
|
Объем
|
Аудиторная работа
(зачетные
единицы/часы)
|
Самостоятельная работа
(зачетные
единицы/часы)
|
1
|
Исчисление высказываний,
пропозициональные формы,
кванторы, предикаты
|
Даются общие представления о исчислении высказываний. Разбираются важные для дальнейшего примеры.
|
2
|
1
|
2
|
Множества, операции, отношения
|
Даются определения операций над множествами, определения и свойства отношений и операций
|
2
|
1
|
3
|
Группы, кольца, поля
|
Изучаются основные виды алгебраических конструкций
|
2
|
1
|
4
|
Числа
|
Изучаются числа как реализация основных алгебраических конструкций
|
2
|
1
|
5
|
Метрические пространства
|
Дается определение и примеры метрических пространств, хпределяются свойства точек и подмножеств метрического пространства
|
2
|
1
|
6
|
Отображения
|
Изучаются алгебраические и топологические свойства отображений
|
2
|
1
|
7
|
Последовательности: алгебраические и топологические свойства, как отображения совершенно упорядоченной дискретной полугруппы в полное совершенно упорядоченное поле.
|
Дается определение числовой последовательности и изучаются свойства следующие из определения.
|
4
|
1
|
8
|
Предельные точки, частичные пределы, верхние и нижние пределы
|
Изучаются ограниченные последовательности, дается определение частичного предела и свойства последовательностей иметь верхний и нижний пределы.
|
4
|
1
|
9
|
Алгебра сходящихся последовательностей, максимальный идеал бесконечно малых последовательностей. Другие идеалы кольца сходящихся последовательностей.
|
Изучаются сходящиеся последовательности с алгебраической и тополгической точек зрения. Приводятся примеры важных числовых последовательностей и методы доказательства сходимости.
|
6
|
1
|
10
|
Локальные свойства функций действительной переменной как отображения полного совершенно упорядоченного поля в себя — ограниченность, предельность, непрерывность.
|
Даются определения ограниченности, предельности и непрерывности отобрадения в точке, вытекающие из свойств действительных чисел и как упорядоченного поля, так и метрического пространства. Изучаются основные слокальные свойства.
|
4
|
1
|
11
|
Глобальные свойства непрерывной функции действительной переменной: компактность, связность, равномерная непрерывность.
|
Доказывается теорема о непрерывном образе отрезка. Доказывется теорема о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции. Разбираются следствия указанных свойств. Расматриваются примеры.
|
8
|
1
|
12
|
Бесконечно малые функции как максимальный идеал кольца непрерывных в точке функций.
|
Рассматириваются свойства бесконечномалых функций, разбираются замечательные пределы и разбираются методы нахождения пределов основанные на свойствах замечательных пределов и б.м функций.
|
8
|
2
|
13
|
Теорема Ферма о существовании локального экстремума внутри отрезка.
|
Доказывается простая но фундаментальная теорема о свойстве непрерывной функции достигать локального экстремума на отрезке как компакте.
|
4
|
1
|
14
|
Понятие дифференцируемости в точке и на множестве. Производная функция. Кольцо дифференцируемых в точке функций. Дифференцируемость композиции.
|
Дается определение и разбирается смысл дифференцируемости функции в точке. Доказываются свойства дифференцируемости вытекающие из определения. Доказываются алгебраические свойства дифференцируемых в точке функций.
|
6
|
2
|
15
|
Дифференцируемость локально обратимой функции действительной переменной.
|
Доказывается теорема о дифференцируемости обратной функции. Приводятся примеры позволяющие находить производные обратных функции.
|
4
|
1
|
16
|
Дифференциал функции и его инвариантность при замене переменной.
|
Дается определение дифференциала, рассматриваются алгебраические свойства, способы вычисления дифференциала при различных способах задания функций.
|
4
|
1
|
17
|
Дифференциалы и производные высших порядков.
|
Определяются дифференциалы и производные высших порядков. Разбираются способы их вычисления при различных способах задания функций.
|
6
|
1
|
18
|
Теорема Ролля.
Теорема о конечных приращениях и ее следствия: Теоремы Лагранжа и Коши
|
Доказываются фундаментальные теоремы отражающие свойства дифференцируемых функций. Разбираются примеры исследования свойств функций на основе доказанных теорем.
|
6
|
1
|
19
|
Теорема Дарбу о свойстве производной дифференцируемой функции.
|
Доказана теорема Дарбу о свойстве производной принимать промежуточные значения.
|
4
|
1
|
20
|
Теорема о существовании обратной функции.
|
Доказывается важная для дальнешего теорема о локальной обратимости, связанная с непрерывностью производной в точке.
|
4
|
1
|
21
|
Формула Тейлора.
|
Доказывается формула Тейлора. По существу основной результат. Рассматриваются формулы разложения для простейших функций.
|
8
|
2
|
22
|
Интегральные суммы Дарбу, Верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегрируемость по Риману.
|
Рассматривается идея интегрирования и ее реализация по Дарбу.
|
2
|
1
|
23
|
Критерий интегрируемости функций. Интегрируемость непрерывных и монтонных функций.
|
Доказывается критерий интегрируемости функций и его применение к исследованию интегрируемости непрерывных и монотонных функций.
|
4
|
1
|
24
|
Интегральные суммы и интегрируемость по Риману.
|
Дается определение семейства интегральных сумм, предельной точки семейства интегральных сумм. Доказывается теорема о эквивалентности интегрируемости по Риману и существования предельной точки семейства интегральных суммм.
|
4
|
1
|
25
|
Теорема о интегрируемости сложной функции.
|
Доказывается теорема о интегрируемости сложной функции из которой получаем ряд важных следствий.
|
4
|
1
|
26
|
Свойства интеграла Римана. Кольцо интегрируемых функций.
|
Рассматриваются аддитивные и линейные свойства интеграла Римана, а также свойства множества интегрируемых функций. В частности теоремы о среднем значении.
|
2
|
1
|
27
|
Замена переменной в интеграле Римана.
|
Выводится формула замены переменной в интеграле и формулируются условия при которых формула верна.
|
4
|
1
|
28
|
Формула Ньютона — Лейбница.
|
Рассматривается зависимость значения интеграла от промежутка интегрирования, и как следствие формула Ньютона — Лейбница. Расматриваются примеры применеия для вычисления значений интегралов от простейших функций.
|
2
|
1
|
29
|
Определение неопределенного интеграла и его свойства.
|
Дается определение, так называемого, неопределенного интеграла и устанавливаются его алгебраические свойства.
|
6
|
1
|
30
|
Экстремальные свойства функции действительной переменной.
|
Рассматриваются методы анализа экстремальных свойств функции действительной переменной.
|
4
|
1
|
31
|
Исследование свойств функции действительной переменной и построение эскиза графика.
|
Рассматриваются методы исследования различных свойств функций и методы построения эскиза графика на основе проведенного исследования для различных способов задания функций.
|
6
|
1
|
32
|
Некоторые приложения интегрального исчисления к геометрии и физике.
|
Рассматриваются приложения свойств функций действительной переменной для решения физических и геометрических задач.
|
6
|
1
|
Примерное контрольное задание
1) Найти все гомоморфизмы колец: ; .
2) Существует ли отношение порядка, упорядочивающее группу и согласованное с операцией в этой группе. Если есть, то предъявить.
3) Если отношение порядка на конечном множестве M, то будет ли композиция отношением порядка.
4) Доказать, что множество всех последовательностей таких, что , является идеалом кольца сходящихся последовательностей. Из каких последовательностей состоит класс эквивалентности по такому идеалу?
5) Доказать, что для любой биекции выполнено равенство: , где .
6) Доказать, что непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань.
7) Доказать. что последовательность содержит монотонно неубывающую последовательность, если .
8) Найти предел .
9) Доказать сходимость и найти предел последовательности, определяемой формулой: .
10) Найти и : .
7.2 Примерные контрольные вопросы
Бинарные отношения. Функциональные бинарные отношения. Отношения порядка и эквивалентности. Бинарные операции. Полугруппы, группы, кольца, поля. Конгруэнтоность. Факторизация. Понятие метрического пространства. Классификация подмножеств и точек метрического пространства. Числа: натуральные, целые, рациональные и действительные. Теорема о существовании точной верхней (нижней ) грани ограниченного сверху (снизу) множества действительных чисел. Теорема о существовании предельной точки счетного ограниченного подмножества действительных чисел. Отличие предельной точки и предела числовой последовательности. Числовые последовательности и их классификация: ограниченные, монотонные, сходящиеся, фундаментальные. Теорема о свойстве монотонной и ограниченной последовательности. Теорема об эквивалентности сходимости и фундаментальности числовой последовательности. Числовые подпоследовательности. Теорема о существовании сходящейся подпоследовательности ограниченной числовой последовательности. Определение верхнего и нижнего предела числовой последовательности. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела ограниченной числовой последовательности. Мнжество сходящихся последовательностей как кольцо. Идеал бесконечно малых числовых последовательностей. Свойство фактор кольца кольца сходящихся последовательностей по идеалу бесконечно малых последовательностей.
Непрерывность функций действительной пременной в точке. Предел функции в точке. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции в точке. Алгебраические свойства функций непрерывных в точке. Локальная ограниченность фукции непрерывной в точке. Бесконечно малые в точке функции. Свойство факторкольца кольца непрерывных в точке функций по идеалу бесонечно малых. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема об образе отрезка при непрерывном отображении. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции заданной на отркезке. Теорема о свойстве монотонной на отрезке функции. Частичный предел функции в точке. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела локально ограниченной функции. Локальный экстремум функции. Теорема о существовании локального экстремума непрерывной на отрезке функции.
Непрерывность функций действительной пременной в точке. Предел функции в точке. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции в точке. Алгебраические свойства функций непрерывных в точке. Локальная ограниченность фукции непрерывной в точке. Бесконечно малые в точке функции. Свойство факторкольца кольца непрерывных в точке функций по идеалу бесонечно малых. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема об образе отрезка при непрерывном отображении. Теорема о непрерывности обратной функции. Равномерная непрерывность. Теорема о равномерной непрерывности функции заданной на отркезке. Теорема о свойстве монотонной на отрезке функции. Частичный предел функции в точке. Теорема о существовании верхнего и нижнего предела локально ограниченной функции. Локальный экстремум функции. Теорема о существовании локального экстремума непрерывной на отрезке функции.
Суммы Дарбу. Свойства верхних и нижних сумм Дарбу Теорема о существовании верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Интегрируемость функции. Критерий интегрируемости функции. Теорема о интегрируемости непрерывной функции. Теорема о интегрируемости монотонной функции. Теорема о интегрируемости сложной функции. Алгебраические свойства множесва интегрируемых на отрезке функций. (кольцо интегрируемых функций). Теорема о среднем значении (функции). Свойство определенного интеграла как функции отрезка интегрирования. Формула Ньютона — Лейбница. Теорема о замене переменной в определенном интеграле (на основе формулы Ньютона — Лейбница). Теорема о замене переменной в определенном интеграле (не используя формулу Ньютона — Лейбница). Сглаживающее свойство определенного интеграла. Теорема об интегрировании кусочно непрерывной функции. Интегральные суммы. Определение предела семейства интегральных сумм. Теорема об эквивалентности интегрируемости и существования предела семества интегральных сумм. Теорема о «мелких» разбиениях. Необходимое условие интегрируемости. ( если функция неограничена, то семейство интегральных сумм не имеет предела).
-
Введение в математический анализ / А.М. Воробьев, В.В. Гарбарук, В.И. Родин, М.А. Шварц. – М., 2006.
-
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1972.
-
Денисов В.Н. Математический анализ: учебно-методическое пособие / Денисов В.Н., Тихомиров В.В. – М.: Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, 2005.
-
Зорич В.А. Математический анализ, ч.1. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
-
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.,Ч.2. – М.: Наука, 1971, 1982.
-
Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1., Т.2. – М.: Высшая школа, 1970.
-
Математический анализ: учеб. / В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов; под ред. А.Н. Тихонова. – в 2 ч. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
-
Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1973, т. 1-2.
-
Никольский С.М. Курс математического анализа: [Учеб. для вузов] / С.М. Никольский. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2001.
-
Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982.
-
Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М.: Физматлит, 2002.
-
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений [в 3 т.] / Г.М. Фихтенгольц; [предисл. и прим. А.А. Флоринского]. – Изд. 8-е. – М.: Физматлит, 2007.
-
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: [учебник: в 2-х частях] / Г.М. Фихтенгольц. – Изд. 6-е, стер. – СПб.: Лань, 2005.
|
-
Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и . т.д.
-
http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт Exponenta.ru».
-
http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные учебники.
-
http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».
-
http://www. mathelp.spb.ru – «Высшая математика» (помощь студентам) – Лекции, электронные учебники, решение контрольных работ.
-
http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике: Математический анализ; Дифференциальные уравнения; Аналитическая геометрия, Теория вероятностей и др.
-
http://www.fismat.ru – Высшая математика для студентов и абитуриентов – интегралы и производные, ряды, ТФКП, дифференцирование, лекции, задачи, учебники.
|
|