Программа по курсу "Общая геометрия и топология" - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Диссертация по специальности «геометрия и топология» защищена в 1993 г. 1 89.46kb.
Шихаб геометрия тензора конгармонической кривизны приближенно келеровых... 1 138.62kb.
Программа дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология» 1 89.92kb.
Лакомкина Любовь Владимировна, №103-722-666 Приложение №3 1 40.96kb.
Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности 01. 1 50.44kb.
Программа по курсу «аналитическая геометрия» 1 29.7kb.
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 309.99kb.
Рабочая программа по курсу «Общая физика» 1 14.58kb.
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 384.66kb.
Программа экзамена по курсу алгебра и аналитическая геометрия 2003/2004... 1 47.99kb.
Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия» 1 19.75kb.
Программа дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика... 1 203.38kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Программа по курсу "Общая геометрия и топология" - страница №1/1




Программа по курсу

"Общая геометрия и топология"
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Цель курса – освоение студентами фундаментальных знаний в области общей геометрии и топологии, а также методов их практического применения.



Задачами данного курса являются:

  • формирование базовых знаний в области общей геометрии и топологии;

  • обучение студентов методам практического применения общей геометрии и топологии;

  • формирование подходов к выполнению студентами исследований в области общей геометрии и топологии в рамках выпускных работ на степень бакалавра.




Содержание дисциплины





п/п


Раздел

Тема

Содержание

1

Общая топология

Топологические пространства

Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы.

Связность и компактность

Связность и компактность

2

Многообразия

Определения и примеры

Многообразия, карты, атласы, отображения склейки. Гладкие многообразия. Примеры (многообразия, заданные уравнениями, матричные группы SO(n), SU(n), проективные пространства). Физическая интерпретация. Гладкие функции на многообразиях, многообразия с краем, гладкие отображения гладких многообразий, диффеоморфизмы.

Касательные векторы, погружения, вложения

Касательные векторы, касательные пространства. Дифференциал отображения, погружения и вложения. Теорема Уитни (формулировка). Примеры вложений и погружений.

Метрика и ориентация

Риманова метрика на многообразии, метрика, индуцированная погружением в риманово многообразие, теорема о существовании римановой метрики на замкнутом многообразии, изометричные погружения римановых многообразий, изометричные многообразия. Ориентируемые многообразия. Примеры ориентируемых и неориентируемых многообразий. Ориентируемость края компактного ориентируемого многообразия.

3

Тензорные поля на многообразиях

Общее определение и свойства тензорных полей

Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на многообразии. Алгебраические операции над тензорными полями. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым объемом на многообразии.

Векторные поля и дифференциальные формы, интегрирование

Внешние дифференциальные формы. Замкнутые и точные формы. Когомологии де Рама. Примеры их вычисления. Векторные поля. Замкнутые и точные формы на плоскости, в пространстве. Бездивергентные, потенциальные, безвихревые и соленоидальные векторные поля, их связь с дифференциальными формами. Лемма Пуанкаре. Общее определение операции ``звездочка’’ (Ходжа) на дифференциальных формах. Свойства операции ``звездочка’’. Примеры операции ``звездочка’’ на плоскости и в пространстве. Интеграл внешней формы по многообразию. Формулировка теоремы Стокса. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (классические формулы Грина, Стокса, Остроградского—Гаусса; теорема о вычетах; старшие когомологии замкнутого ориентируемого многообразия).

Связности

Введение ковариантного дифференцирования (связности) в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Символы Кристоффеля. Вычисление явного вида ковариантной производной на векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Общее определение аффинной связности = ковариантного дифференцирования на гладком многообразии. Символы Кристоффеля, тензор кручения, симметричные связности. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования. Римановы связности. Формулировка теоремы существования и единственности римановой связности. Параллельный перенос в аффинной связности. Уравнение параллельного переноса. Геодезические. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль геодезических. Двумерный случай. Геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского. Тензор кривизны Римана. Алгебраические свойства тензора кривизны. Тензор Риччи, скалярная кривизна. Теорема о связи скалярной и гауссовой кривизн двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.


4

Степень гладкого отображения

Степень гладкого отображения

Критические и регулярные значения гладкого отображения. Теорема Сарда (без доказательства). Степень гладкого отображения. Инвариантность степени относительно гомотопии. Примеры. Степень отображения и интегралы от внешних форм максимальной степени (без доказательства). Степень гауссова отображения. Теорема Гаусса-Бонне. Индекс векторного поля и степень отображения. Индекс особой точки. Невырожденные касательные векторные поля на сферах. Теорема Брауэра о неподвижной точке.

5

Элементы симплектической геометрии

Элементы симплектической геометрии

Симплектическая геометрия. Фазовые пространства механических систем. Координаты Дарбу. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы системы. Лагранжевы многообразия и их свойства. Интегрируемые гамильтоновы системы. Примеры из физики и механики.



Список вопросов к экзамену

1. Топологические пространства, индуцированная топология, топология декартова произведения, топология несвязной суммы, склейки из квадрата. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы.

2. Связность и компактность.

3. Многообразия, карты, атласы, отображения склейки. Гладкие многообразия. Примеры(многообразия, заданные уравнениями, матричные группы SO(n), SU(n), проективные пространства). Физическая интерпретация.

4. Гладкие функции на многообразиях, многообразия с краем, гладкие отображения гладких многообразий, диффеоморфизмы.

5. Касательные векторы, касательные пространства. Дифференциал отображения, погружения и вложения. Теорема Уитни (формулировка). Примеры вложений и погружений.

6. Риманова метрика на многообразии, метрика, индуцированная погружением в риманово многообразие, теорема о существовании римановой метрики на замкнутом многообразии, изометричные погружения римановых многообразий, изометричные многообразия.

7. Ориентируемые многообразия. Примеры ориентируемых и неориентируемых многообразий. Ориентируемость края компактного ориентируемого многообразия.

8. Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на многообразии. Алгебраические операции над тензорными полями. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга. Их связь с римановым объемом на многообразии.

9. Внешние дифференциальные формы. Замкнутые и точные формы. Когомологии де Рама. Примеры их вычисления.

10. Векторные поля. Замкнутые и точные формы на плоскости, в пространстве. Бездивергентные, потенциальные, безвихревые и соленоидальные векторные поля, их связь с дифференциальными формами. Лемма Пуанкаре.

11. Общее определение операции ``звездочка’’ (Ходжа) на дифференциальных формах. Свойства операции ``звездочка’’. Примеры операции ``звездочка’’ на плоскости и в пространстве. Интеграл внешней формы по многообразию. Формулировка теоремы Стокса.

12. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (классические формулы Грина, Стокса, Остроградского—Гаусса; теорема о вычетах; старшие когомологии замкнутого ориентируемого многообразия).

13. Введение ковариантного дифференцирования (связности) в криволинейных координатах в евклидовом пространстве. Символы Кристоффеля. Вычисление явного вида ковариантной производной на векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейных координатах в евклидовом пространстве.

14. Общее определение аффинной связности = ковариантного дифференцирования на гладком многообразии. Символы Кристоффеля, тензор кручения, симметричные связности. Алгебраические свойства ковариантного дифференцирования. Римановы связности. Формулировка теоремы существования и единственности римановой связности.

15. Параллельный перенос в аффинной связности. Уравнение параллельного переноса. Геодезические. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль геодезических. Двумерный случай. Геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского.

16. Тензор кривизны Римана. Алгебраические свойства тензора кривизны.

17. Тензор Риччи, скалярная кривизна. Теорема о связи скалярной и гауссовой кривизн двумерной поверхности в трехмерном евклидовом пространстве.

18. Критические и регулярные значения гладкого отображения. Теорема Сарда (без доказательства). Степень гладкого отображения. Инвариантность степени относительно гомотопии. Примеры.

19. Степень отображения и интегралы от внешних форм максимальной степени (без доказательства). Степень гауссова отображения. Теорема Гаусса-Бонне. Индекс векторного поля и степень отображения. Индекс особой точки. Невырожденные касательные векторные поля на сферах. Теорема Брауэра о неподвижной точке.

20. Симплектическая геометрия. Фазовые пространства механических систем. Координаты Дарбу. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы системы. Лагранжевы многообразия и их свойства. Интегрируемые гамильтоновы системы. Примеры из физики и механики.

Основная литература.

1. А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ. Учебник, переработанное и дополненное издание. - Санкт-Петербург, Москва, Краснодар, изд-во Лань, 2010.

2. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2001

3. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии : Геометрические главы. — М.: Наука, 1977



4. Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

5. Новиков С. П. Топология. 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

Дополнительная литература.



Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия. Изд. иностр. лит., 1956.

Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.М.: Мир, 1971.

Пособия и методические указания.


    1. 1. Б.М.Дубровин, Ю.П.Соловьев. ТОПОЛОГИЯ. - Москва, МГУ, 1988.

Электронные ресурсы, включая доступ к базам данных и . т.д. Учебные материалы кафедры дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ (http://dfgm.math.msu.su/materials.php)