Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа дисциплины линейная алгебра Цикл ен. Ф. Специальность ...	1	113.9kb.
Линейная алгебра	1	55.84kb.
Линейная алгебра	1	50.64kb.
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная...	1	309.99kb.
Программа дисциплины «Линейная алгебра»	1	238.35kb.
Программа по дисциплине дифференциальные уравнения крюковский А.	1	87.45kb.
Программа курса "Дифференциальные уравнения"	1	108.99kb.
Сингулярная краевая задача типа николетти с кусочно-непрерывными...	1	105.68kb.
Концепция курса по выбору «элементы теории устойчивости» для будущих...	1	129.43kb.
Задача для двух сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений...	1	140.72kb.
Модели неустойчивого исторического развития	2	615.3kb.
Евклидовы пространства	1	152.22kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

УТВЕРЖДАЮ:

Зав. кафедрой_______________

ВМ и УМФ

Мартышко П.С.

ПРОГРАММА

экзамена по курсу

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

2003/2004 учебный год
I. Линейная алгебра. Операторы

1. 
   Линейные пространства. Аксиомы линейного пространства и их следствия. Основные примеры. Простейшие свойства линейной зависимости. Обзор материала.
   
2. 
   Линейное подпространство. Линейная оболочка, натянутая на систему векторов. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств, её наглядное истолкование. Прямая сумма подпространств. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая
   
3. 
   Оператор, действующий в линейном пространстве. Образ, прообраз. Линейный оператор, его матрица. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису. Алгебра операторов. Действия над линейными операторами: равенство, сумма, произведение на число; произведение операторов. Невырожденный оператор; критерий невырожденности. Обратный оператор. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
   
4. 
   Образ-оператора. Свойства образа, базис образа, ранг оператора. Ядро линейного оператора как подпространство. Теорема о ранге и дефекте.
   
5. 
   Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен, характеристичес­кое уравнение. Собственные векторы (СВ) и собственные значения (СЗ) линейного оператора. Инвариантность характеристического полинома. Два способа нахождения СВ.
   
6. 
   Свойства СВ оператора: о СВ, принадлежащих разным СЗ, линейной комбинации СЗ, принадлежащих одному СЗ, о матрице линейного оператора, имеющего n л/н СЗ. Оператор простой структуры. Инварианты линейного оператора. Теорема о необходимом и достаточном условиях простой структуры оператора.
   
7. 
   Евклидово и унитарное пространство. ОНБ. Свойства ортогональных систем векторов, ортогонализация по Граму-Шмидту. Теорема о существовании ортогонального базиса. Определение ортогонального дополнения. Ортогональная система векторов, её линейная независимость. Скалярное произведение, проекции вектора, координаты и длина вектора в ОНБ.
   

8. 
   Переход от ОНБ к ОНБ. Ортогональная и унитарная матрицы. Преобразование координат вектора при переходе от ОНБ к ОНБ. Комбинации поворотов и отражений. Правая и левая тройки векторов. Вид матрицы Грама в ОНБ. Теорема о взаимосвязи между линейной зависимостью системы векторов и обращением в ноль определителя матрицы Грама.
   
9. 
   Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Матрица перехода от ОНБ к ОНБ. Сопряженные, самосопряженные, унитарные, ортогональные операторы. Оператор, сопряжённый данному. Связь между матрицами сопряжённых операторов. Свойства операции сопряжения. Самосопряжённый (эрмитов) оператор; симметричный оператор. Эрмитова матрица. Теорема о необходимом и достаточном условиях эрмитовости оператора в евклидовом пространстве. Свойства СВ и СЗ эрмитова оператора: вещественность СЗ; ортогональность СВ, соответствующих разным СЗ; теорема о существовании ОНБ из СВ эрмитова оператора. Диагонализация матрицы эрмитова оператора.
   
10. 
    Линейная форма: определение, координатная и матричная запись, переход к новому базису. Билинейная форма (БФ), её матрица; координатная и матричная запись. Переход к новому базису. Квадратичная форма (КФ); её матричная и координатная запись. Теорема о приведении КФ к каноническому виду (к главным осям). Критерий Сильвестра знакоопределённости КФ.
    
11. 
    Поверхности и линии второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование уравнений линий и поверхностей второго порядка.
    

Системы дифференциальных уравнений

1) Однородная и неоднородная системы дифференциальных уравнений (СДУ), Канонический вид СДУ. Порядок системы. СДУ в нормальной форме. Матричная запись. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения СДУ в нормальной форме. Эквивалентность нормальной системы и уравнений I порядка и одного ДУ n-го порядка. Решение и I интеграл СДУ. Решение СДУ методом исключения, и методом интегрируемых комбинаций. СДУ в симметричной форме

2) Теория линейных СДУ. Дифференциальный оператор, его линейность. Операторная запись линейной СДУ. Свойства решений однородной линейной СДУ. Линейная зависимость и независимость векторов-решений на отрезке. Вронскиан. Теоремы: Об обращении вронскиана в ноль; О линейной комбинации линейно-независимых решений однородной линейной СДУ; О решении неоднородной линейной СДУ; Об общем решении. неоднородной линейной СДУ. Принцип суперпозиции.

3) Нахождение частного решения неоднородной линейной СДУ методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа).

4) Однородные линейные СДУ с постоянными коэффициентами. Подстановка Эйлера. Характеристическое уравнение: случаи действительных различных, действительных совпадающих, комплексных корней.

5) Неоднородные линейные СДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для нахождения частного решения в случае неоднородностей - квазиполиномов.

Элементы теории устойчивости

1) Понятие о влияние упрощающих предположений и погрешности измерений на поведение решения ДУ (СДУ). Определение устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости решения ДУ (СДУ) по Ляпунову.

2) Простейшие типы точек покоя для однородной линейной СДУ II порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида корней характеристического уравнения системы: устойчивый и неустойчивый узел; седло; устойчивый и неустойчивый фокус; центр; дикритический и вырожденный узел.

3) Второй метод Ляпунова. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.

4) Исследование устойчивости решения СДУ по первому приближению

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: Линейная алгебра.
   
2. 
   А.И. Мальцев: Основы линейной алгебры.
   
3. 
   Р.И.Тышкевич, А.С.Феденко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
   
4. 
   А.Г. Курош: Курс высшей алгебры.
   
5. 
   Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
   
6. 
   Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы, ряды.
   
7. 
   Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
   
8. 
   Э.Л. Блох, Л.И. Лошинский, В.Я. Турин: Основы линейной алгебры и некоторые её приложения.
   
9. 
   И.В. Проскуряков: Сборник задач по линейной алгебре [П].
   
10. 
    Сборник задач по математике для ВТУЗов, Т.1. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича [Е].