Программа экзамена по курсу алгебра и аналитическая геометрия 2003/2004 учебный год - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 309.99kb.
Методические указания к домашней контрольной работе по курсу «Линейная... 1 384.66kb.
Рабочая программа модуля (дисциплины) математика линейная алгебра... 1 298.27kb.
Программа по курсу «аналитическая геометрия» 1 29.7kb.
Программа курса :«Линейная алгебра и аналитическая геометрия» 1 38.97kb.
Контрольная работа №1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия... 1 50.69kb.
Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия» 1 19.75kb.
Программа экзамена по курсу линейная алгебра, системы дифференциальных... 1 44.87kb.
Диссертация по специальности «геометрия и топология» защищена в 1993 г. 1 89.46kb.
Учебный план №2 с русским (неродным) языком обучения на 2012 2013... 1 218.21kb.
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 1 37.49kb.
Векторы. Действия над векторами 1 236.13kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Программа экзамена по курсу алгебра и аналитическая геометрия 2003/2004 учебный год - страница №1/1


Алгебра и геометрия. Физтех. Крохин А.Л. 2003/2004 уч.г.


УТВЕРЖДАЮ:

Зав. кафедрой_______________

ВМ и УМФ

Мартышко П.С.



ПРОГРАММА

экзамена по курсу

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ



2003/2004 учебный год


  1. Аналитическая геометрия на плоскости

    1. Метод координат. Декартова прямоугольная система координат. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

    2. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и канонические уравнения. Изменение уравнений при параллельном переносе, сжатии и растяжении кривых.

    3. Полярные координаты на плоскости. Уравнения кривых в полярных координатах. Построение переходом к декартовым координатам (прямая, окружность). Некоторые известные кривые(кардиоида, розы, спирали.) Параметрическое задание кривых на плоскости.

  2. Определители

    1. Определители второго порядка, вычисление. Определители третьего порядка, вычисление методом треугольников (Саррюса), разложением по строке или столбцу, с использованием простейших свойств.

    2. Перестановки, инверсии, четность перестановки. Общее определение определителя n-го порядка. Свойства: неизменность при транспонировании, перестановка рядов, общий множитель, линейная комбинация рядов, разложение в сумму, равенство нулю. Определитель треугольной матрицы и произведения квадратных матриц. Алгебраические дополнения и миноры. Теоремы о разложении и аннулировании(б/д). Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

  3. Геометрические векторы

    1. Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме. Проекция вектора на ось. Проекция суммы векторов и произведения вектора на число. Направляющие косинусы и длина вектора. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике.

    2. Скалярное произведение векторов: определение и его свойства (однородность, коммутативность, дистрибутивность). Условие ортогональности двух векторов. ОНБ. Скалярное произведение в координатной форме. Длина вектора и угол между двумя векторами.

    3. Векторное произведение двух векторов: определение и свойства (антикоммутативность, однородность, дистрибутивность). Выражение через координаты в ОНБ. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл. Простейшие приложения векторного произведения в науке и технике.

    4. Смешанное произведение трех векторов: определение и свойства (следствие свойств скалярного и векторного произведений). Условие компланарности. Геометрический смысл определителя третьего порядка.

  4. Аналитическая геометрия в пространстве

    1. Декартова система координат в пространстве. Уравнение поверхности.

    2. Уравнения плоскости в пространстве: векторное уравнение, общее уравнение плоскости (теорема ). Частные случаи положения плоскостей. Уравнение плоскости в отрезках. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями.

    3. Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости.

    4. Векторное уравнение прямой, параметрические уравнения. Прямая как пересечение двух плоскостей. Канонические уравнения. Взаимные преобразования различных форм уравнений прямой.

    5. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Разные задачи.

    6. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоиды. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства поверхностей.

  5. Матрицы, действия с ними.

    1. Матрица, частные виды матриц. Линейные операции на множестве матриц и их свойства.

    2. Умножение матриц: определение и свойства (некоммутативность, ассоциативность, дистрибутивность). Единичная и скалярная матрицы. Транспонирование. Свойства операции.

    3. Понятие обратной матрицы. Теорема существования. Теорема Крамера. Свойства операции обращения: , , ,.

  6. Комплексные числа и многочлены

    1. Комплексные числа, действия с ними. Свойства операций. Алгебраическая форма записи комплексного числа.

    2. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Связь между ними. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

    3. Умножение и деление в тригонометрической и показательной формах.

    4. Корни из комплексных чисел.

    5. Многочлены в комплексной области. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

  7. Линейные векторные пространства (ЛВП)

    1. Аксиомы ЛВП и следствия из этих аксиом. Примеры ЛВП.

    2. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Свойства ЛЗС и ЛНС. Необходимое условие линейной зависимости.

    3. МЛНС. Базис линейного пространства. Равномощность базисов. Т. Штейница. Размерность пространства и ранг системы векторов. Координаты и их свойства. Примеры базисов в основных пространствах.

    4. Координаты и их свойства. Изоморфизм ЛВП. Арифметические вектора.

    5. Матрица перехода. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Матрица обратного перехода.

    6. Линейное подпространство. Линейная оболочка системы векторов. Сумма и произведение подпространств. Задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки, суммы и пересечения подпространств.

  8. Системы линейных уравнений (СЛУ)

    1. Системы двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.

    2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Матричная и векторная запись. Метод Гаусса решения СЛУ.

    3. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентность умножению на матрицу. Нахождение обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

    4. Ранг системы векторов. Ранги эквивалентных систем. Независимость ранга системы векторов от элементарных преобразований. Ранг матрицы и его нахождение методом Гаусса.

    5. ОЛСУ с точки зрения линейных пространств. Различные случаи. ФСР. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о структуре общего решения НЛСУ.

ЛИТЕРАТУРА



  1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: Линейная алгебра.

  2. А.И. Мальцев: Основы линейной алгебры.

  3. Р.И.Тышкевич, А.С.Феденко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

  4. А.Г. Курош: Курс высшей алгебры.

  5. Я.С. Бугров, С.М. Никольский: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

  6. Д.В. Беклемишев: Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

  7. Э.Л. Блох, Л.И. Лошинский, В.Я. Турин: Основы линейной алгебры и некоторые её приложения.

  8. И.В. Проскуряков: Сборник задач по линейной алгебре [П].

  9. Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров: Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре [Б].

  10. Сборник задач по математике для ВТУЗов, Т.1. Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича [Е].