Название работы	Кол-во страниц	Размер
Программа дисциплины Прикладная механика для направления 220400.	1	103.32kb.
Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...	1	319.25kb.
Программа дисциплины [Введите название дисциплины] для направления/...	1	197.19kb.
Программа дисциплины «Управление данными»	1	328.64kb.
Программа дисциплины Психология влияния для направления 080500.	1	201.53kb.
Программа дисциплины и управление жизненным циклом для направления...	1	332.6kb.
Программа дисциплины Методы оптимизации для направления 080200.	1	192.8kb.
Программа дисциплины Статистическая физика для направления 010100.	1	268.04kb.
Программа дисциплины Квантовая механика для направления 010100.	1	255.72kb.
Программа дисциплины Математический анализ для направления 010100.	1	194.94kb.
Программа дисциплины Топология для направления 010100. 62 "Математика"...	1	162.5kb.
Программа собеседования по математике для поступающих в магистратуру...	1	37.63kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология»	1	9.92kb.

[Оставьте этот титульный лист для дисциплины, закрепленной за одной кафедрой]
П р а в и т е л ь с т в о Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Ф а к у л ь т е т Э л е к т р о н и к и и т е л е к о м м у н и к а ц и й

Программа дисциплины

ТФКП

(второй семестр 2-го курса)

для направления 220400.62 «Управление в технических системах»

подготовки бакалавра
Автор программы: Голубева Зоя Николаевна, канд.физ.-мат.наук, доцент, zngolubeva@hse.ru
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ

Одобрена на заседании кафедры высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ

«___»____________ 20 г
Зав. кафедрой _______________________________________Л.И.Кузьмина

Утверждена УС факультета Электроники и телекоммуникаций

«___»_____________20 г.
Ученый секретарь ________________________ [подпись]

Москва, 2013

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 220400.62 «Управление в технических системах»

подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Теория функций комплексного переменного».

Программа разработана в соответствии с:

ФГОС ВПО для направления 220400.62 «Управление в технических системах»

• 
  подготовки бакалавра;
  

.

• 
  рабочим учебным планом университета по направлению 220400.62 «Управление в технических системах» подготовки бакалавра, утвержденным в 2012г. (2-й курс).
  

2Цели освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного»:

• 
  ознакомление студентов с формальным аппаратом теории функций комплексного переменного;
  
• 
  освоение основных понятий и методов комплексного анализа;
  
• 
  знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины и методами получения решений этих задач.
  

3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Общенаучная	ОНК-1	Способность решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза.	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-2	Способность учиться, приобретать новые знания, умения, в том числе в области, отличной от профессиональной.	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-3	Способность применять профессиональные знания и умения на практике.	Стандартные (лекционно-семинарские)
Инструментальные	ИК-1	Умение работать на компьютере, используя основные классы прикладного программного обеспечения.	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-2	Способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений	Стандартные (лекционно-семинарские)

4Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и является вариативной.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

• 
  математический анализ;
  
• 
  аналитическая геометрия и линейная алгебра;
  
• 
  дифференциальные уравнения.
  

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

• 
  знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
  
• 
  навыками решения типовых задач этих дисциплин.
  

5Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы			Самостоя­тельная работа
			Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Комплексные числа. Функции комплексного переменного.	22	2		6	14
2	Гармонические функции. Конформные отображения.	20	2		6	12
3	Комплексный криволинейный интеграл. Интеграл типа Коши.	22	2		6	14
4	Числовые и функциональные ряда. Степенные ряды. Особые точки.	20	2		4	14
5	Ряд Лорана. Вычеты, вычисления несобственных интегралов при помощи вычетов	22	4		6	12
6	Преобразование Лапласа. Свертка функций.	22	4		4	14
7	Приложения преобразования Лапласа.	18	2		4	12

6Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	2-й курс	Кафедра	Параметры **
		2-й семестр	Высшей математики МИЭМ НИУ ВШЭ
Текущий (неделя)	Контрольная работа	7		Письменная работа 40 минут
		12		Письменная работа 40 минут
	Домашнее задание	15		Исполнение в течение недели
Итоговый	Зачет	17		Защита домашнего задания с дополнительными вопросами

6.1Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

6.2Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценки за работу на семинарских и практических занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях определяется перед промежуточным или итоговым контролем - О_{аудиторная}.

Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную работу определяется перед промежуточным или итоговым контролем – О_{сам. работа}.

Накопленная оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

О_{накопленная}= 0,8* О_{текущий} + 0,2* О_{сам.работа}

где О_{текущий} рассчитывается как взвешенная сумма всех форм текущего контроля, предусмотренных в РУП:

О_{текущий} = 0,8*О_к/р + 0,2*О_ауд. .

Способ округления накопленной оценки текущего контроля производится по правилам арифметики округления.

Способ округления накопленной оценки промежуточного контроля производится по правилам арифметики округления.

Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по следующей формуле, где О_зачет – оценка за работу непосредственно на экзамене:

О_{итоговый} = 0,5* О_зачет +0,5*О_{накопленная} .

Способ округления накопленной оценки итогового контроля производится по правилам арифметики округления.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине.

На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

7Содержание дисциплины

Раздел1.Комплексные числа. Функции комплексного переменного

Комплексные числа, их алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы. Геометрический смысл величин |z₁ – z₂|, arg(z₁ – z₂). Кривые на комплексной плоскости. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Регулярные функции. Условие Коши-Римана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.



Лит-ра:основная: [1], гл. 1, с. 7-39, гл.2, с. 41-49; [3], гл. 1, с. 12-37.

Раздел2.Гармонические функции. Конформные отображения

Гармонические функции. Восстановление регулярной функции по ее действительной или мнимой части. Определение функций zⁿ, eⁿ, sin z, cos z, их регулярность. Главные значения функций Ln z, z^α. Конформные отображения. Дробно-линейная функция, круговое свойство. Отображение некоторых областей при помощи функций zⁿ, eⁿ, ln z.



Лит-ра:основная: [1], гл. 3, с. 75-106, [3], гл. 3, с. 79-90, гл. 6, с.148-173.

Раздел3.Комплексный криволинейный интеграл. Интеграл типа Коши

Комплексный криволинейный интеграл, его сведение к действительному. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Формула для n-ой производной регулярной функции (без строгого обоснования).



Лит-ра:основная: [1], гл. 2, с. 53-73, [3], гл. 1, с. 38-56.

Раздел4.Числовые и функциональные ряда. Степенные ряды. Особые точки. Вычеты

Числовые и функциональные ряды. Сходимость, равномерная сходимость функциональных рядов. Степенные ряды, область сходимости степенного ряда, регулярность суммы степенного ряда. Разложение регулярной функции в ряд Тейлора. Ряды Тейлора для функций eⁿ, sin z, cos z. Теорема единственности для регулярной функции. Порядок нуля регулярной функции. Понятие изолированной особой точки.



Лит-ра:основная: [1], гл. 4, с. 124-131, [3], гл. 2, с. 57-74.

Раздел5.Ряд Лорана. Вычеты, вычисления несобственных интегралов при помощи вычетов

Ряд Лорана. Теорема о разложении функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана. Характер лорановского разложения в окрестности существенно особой точки и полюса. Вычеты и способы их вычисления. Методы вычисления несобственных интегралов при помощи вычетов. Вычисление интеграла . Формулировка и идея доказательства леммы Жордана. Вычисление интеграла.



Лит-ра:основная: [1], гл. 4, с. 138-175, [3], гл. 4, с. 111-143.

Раздел6.Преобразование Лапласа. Свертка функций

Оригиналы. Преобразование Лапласа. Изображения. Теорема о регулярности изображения и идея ее доказательства. Элементарные теоремы операционного исчисления (подобия, смещения, изображения производной, запаздывания). Изображение оригиналов e^at, sin ωz, tⁿ, cos ωz. Нахождение оригиналов для элементарных дробей 2-го и 3-го типов. Операционный метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка и для систем дифференциальных уравнений. Свертка функций. Изображение свертки оригиналов. Операционный метод нахождения частного решения дифференциального уравнения 2-го порядка с нулевыми начальными данными.

Лит-ра: основная: [1], гл. 7, с. 204-244, [3], гл. 8, с. 212-241.

Раздел7.Приложения преобразования Лапласа

Формулировка теоремы обращения (изображение разложено в ряд Лорана). Пример ее применения . Метод обращения преобразования Лапласа при помощи вычетов. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Расчет электрических цепей (RLC-схемы).

Метод решения интегральных уравнений.

Лит-ра: основная: [1], гл. 8, с. 277-301, [2], гл. 2, с. 145-150.

8Образовательные технологии

[Укажите образовательные технологии, используемые при реализации различных видов учебной работы: активные и интерактивные формы проведения занятий - деловые и ролевые игры, разбор практических задач и кейсов, компьютерные симуляции, психологические и иные тренинги. Укажите, если предусмотрены в рамках курса, встречи с представителями российских и зарубежных компаний, государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов]

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего и промежуточного контролей

Контрольная работа (примерный вариант.)

1. 
   Вычислить .
   
2. 
   Разложить в ряд Лорана в указанном кольце
   
3. 
   Определить характер особых точек
   
4. 
   Вычислить интеграл при помощи вычетов .
   

Домашнее задание (примерный вариант)

1. 
   Операционным методом решить задачу Коши:
   

2. 
   Операционным методом решить задачу Коши для системы:
   

3. 
   Построить график решения задачи Коши:
   

4. 
   Рассчитать ток включения для схемы:
   

9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

ВОПРОСНИК

по курсу «ТФКП»

1. 
   Дайте определение комплексные числа и определите арифметические операции над комплексными числами. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа, выведите тригонометрическую и показательную формы комплексного числа.
   
2. 
   Дайте определение показательной функции e^z и выведите ее свойства: отсутствие корней, периодичность, характер отображения.
   
3. 
   Дайте определение функции Ln z, выведите формулу для Ln z. Дайте определение главного значения Ln z. Объясните характер отображения, осуществляемого функцией ln z.
   
4. 
   Дайте определение функции z^a. Вычислите iⁱ⁺¹. Дайте определение функций sin z, cos z. Выведите формулу sin²z + cos²z=1. Покажите неограниченность тригонометрических функций. Решите уравнение sin z=0.
   
5. 
   Дайте определение функции дробно-линейной функции. Объясните ее круговое свойство.
   
6. 
   Дайте определение производной функции комплексного переменного. Объясните геометрический смысл аргумента и модуля производной. Дайте определение конформного отображения.
   
7. 
   Дайте определение функции регулярной функции. Выведите условия Коши-Римана.
   
8. 
   Дайте определение комплексного криволинейного интеграла и выведите формулу для его вычисления. Вычислите .
   
9. 
   Докажите интегральную теорему Коши для односвязной области.
   
10. 
    Докажите интегральную теорему Коши для многосвязной области. Выведите из нее следствие для двусвязной области.
    
11. 
    Выведите интегральную формулу Коши.
    
12. 
    Выведите интегральную формулу Коши для производных регулярной функции. Выведите из нее бесконечную дифференцируемость регулярной функции.
    
13. 
    Дайте определение комплексного числового ряда, его сходимости, абсолютной сходимости. Приведите примеры.
    
14. 
    Дайте определение комплексного функционального ряда, области сходимости, равномерной сходимости. Приведите примеры.
    
15. 
    Дайте определение степенного ряда. Докажите теорему об области сходимости степенного ряда.
    
16. 
    Докажите теорему о регулярности суммы степенного ряда.
    
17. 
    Докажите теорему о разложении регулярной функции в ряд Тейлора.
    
18. 
    Дайте определение нуля порядка k регулярной функции. Выведите необходимые и достаточные условия наличия нуля порядка k у регулярной функции.
    
19. 
    Дайте определение изолированной особой точки. Изложите классификацию изолированных особых точек. Приведите примеры.
    
20. 
    Докажите теорему о разложении функции, регулярной в кольце, в ряд Лорана.
    
21. 
    Дайте определение полюса порядка k. Докажите теорему о виде ряда Лорана в окрестности полюса.
    
22. 
    Дайте определение существенно особой точки. Докажите теорему о виде ряда Лорана в окрестности существенно особой точки.
    
23. 
    Дайте определение вычета функции относительно изолированной особой точки. Выведите связь вычета с коэффициентами ряда Лорана. Выведите формулу для вычета функции в полюсе.
    
24. 
    Докажите теорему Коши о вычетах.
    
25. 
    Докажите теорему о вычислении при помощи вычетов несобственных интегралов от рациональной функции.
    
26. 
    Сформулируйте лемму Жордана. Приведите пример ее применения для вычисления несобственного интеграла.
    
27. 
    Дайте определения оригинала и его изображения. Найдите изображение функции Хевисайда («ступеньки»), экспоненты. Докажите теорему о поведении изображения при .
    
28. 
    Выведите свойство линейности преобразования Лапласа. Найдите изображение sinωz, cosωz, зная изображение e^ωt.
    
29. 
    Докажите теорему о дифференцировании оригинала. Решите задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка.
    
30. 
    Докажите теорему о дифференцировании изображения. Выведите формулу для изображения степенной функции.
    
31. 
    Докажите теорему запаздывания. Постройте график оригинала с изображением .
    
32. 
    Докажите теорему смещения. Выведите изображения для функций: e^at sinbz, e^at cosbz, e^attⁿ. Расскажите о нахождении оригиналов для дробей 2-го и 3-го типов.
    
33. 
    На примере изложите операционный метод решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
    
34. 
    Дайте определения свертки функций. Докажите перестановочность операции свертки.
    
35. 
    Докажите теорему умножения операционного исчисления.
    
36. 
    На примере изложите метод решения интегрального уравнения.
    
37. 
    Сформулируйте теорему обращения (изображение разложено в ряд Лорана). Примените теорему к нахождению оригиналов для .
    

9.3Примерные вопросы и задачи экзаменационного билета

1. 
   
   

10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовые учебники

[1] Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М. Изд-во «Наука». Любое издание, начиная с 1965 года.

[2] Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М. Изд-во «Наука». Любое издание, начиная с 1971 года.

[3] Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М. Изд-во «Наука». Любое издание, начиная с 1979 года.

10.2Дополнительная литература

[1] Голубева З., Кузьмина Л.И.,Ливанов К.К. Практические занятия по математическому анализу в 4 семестре на инженерных факультетах. – М. МИЭМ, 1995.

[2] Голубева З., Кузьмина Л.И. План занятий по математическому анализу для студентов 2 курса в 4 семестре на инженерных факультетах. – М. МИЭМ, 1998.

Источник в Интернете: exponenta.ru «Теория функций комплексного переменного».

10.3Программные средства

Пакет «Mathematica».