страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Программа дисциплины Математический анализ для направления 010500. 62 «Прикладная - страница №1/1
Правительство российской федерации Государственный университет - Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатикиПрограмма дисциплины Математический анализ для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра Автор: д.ф.-м.н., доцент А.Е. Лепский Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедрыМатематические и статистические высшей математики методы в экономике на факультете экономики Председатель Зав. кафедрой Утверждена УС факультета бизнес-информатики Ученый секретарь ________________________________ « ____» ___________________200 г. Москва Тематический план учебной дисциплины
Формы рубежного контроля Формы контроля знаний студентов:
Образцы типовых задач для всех форм контроля приводятся после программы. Содержание программы 1. Введение множества комплексных чисел. ([1], гл.1, §1; [5], гл.1, §1; [6], §1; [7], §1) Алгебраические структуры на числовых множествах . Необходимость такого расширения поля , в котором существовало бы решение уравнение . Матричная, векторная и алгебраическая модели расширений. Алгебраическое определение комплексного числа. Понятие комплексного сопряжения, модуля и их свойства. Тригонометрическая форма комплексного числа. Понятие комплексного аргумента. Действия над числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее следствия (корень n-й степени). 2. Комплексная экспонента и др. комплексные значения. ([1], гл.2, §3; [7], §1) Равносильность различных определений (через ряд, через предел) комплексной экспоненты. Формула Эйлера. Свойства комплексной экспоненты. Применения комплексной экспоненты в тригонометрии. Определение комплексного логарифма, как обратного значения экспоненты. Многозначный логарифм и его главное значение. Свойства логарифма. Тригонометрические, гиперболические, показательные и обратные тригонометрические значения комплексного числа. Комплексная степень комплексного аргумента. 3. Открытые и замкнутые множества на комплексной плоскости. Пути и кривые в . ([6], §3; [7], §1) Окружность, круг в комплексной области. Предельные и внутренние точки множества. Топология в . Открытость и замкнутость . Понятие компактного множества. Компактификация . Сфера Римана. Понятие стереографической проекции. Метрики в и . Понятие комплекснозначной функции. Виды путей и кривых: гладкие, класса , жордановы, эквивалентные, гомотопные. Границы и области в . Связные и n-связные множества. 4. Функции комплексного переменного. Понятия и дифференцируемых функций. Производная ФКП. ([5], гл.1, §4; [6], §7; [7], §2) Однолистные функции. Предел и непрерывность ФКП. Формальные производные. и линейность. Условия Коши-Римана в декартовой и полярной формах. Связь с гармоническими функциями. Восстановление одной части дифференцируемой функции по другой. Сопряженная пара функций. Производная ФКП, связь с дифференцируемостью. Понятие голоморфной функции. Геометрические свойства дифференциала. Понятие конформности. Свойства конформных отображений. Геометрические свойства производной: консерватизм углов и растяжений. а) линейная функция; б) дробно-линейная функция: дробно-линейный гомеоморфизм, конформность, алгебраические (групповые) свойства, геометрические свойства (сохранения окружностей и симметрии), дробно-линейный изоморфизм и автоморфизм; в) степенная функция; г) функция Жуковского; д) показательная функция. 6. Интеграл от ФКП. Теория интеграла Коши. ([1], гл.4, §1,2; [2], гл.2, §2; [5], гл.1, §5,6; [7], §5) Определение и основные свойства интеграла: линейность, аддитивность, ориентированность, инвариантность относительно эквивалентного пути, оценка модуля. Ослабленный вариант интегральной теоремы Коши (через формулу Грина), усиленный вариант (схема доказательства Гурса), теорема для многосвязной области, для гомотопных путей. Понятие первообразной ФКП. Теорема о существовании первообразной. Общий вид первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Интеграл типа Коши, теорема о голоморфности интеграла типа Коши. 7. Ряд Лорана. ([1], гл.5, §1,2; [2], гл.4, §4; [5], гл.4, §1; [6], §17; [7], §7) Теорема о представлении голоморфной в кольце функции в виде ряда Лорана. Следствия из представления в виде ряда Лорана: неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры, теорема о представлении в виде ряда Тейлора, теорема Морера, теоремы Вейерштрасса о голоморфности ряда из голоморфных функций. 8. Особые точки голоморфной функции. ([1], гл.5, §2; [2], гл.4, §1,2,3; [5], гл.4, §2; [6], §18; [7], §7) Понятие и классификация изолированных особых точек (ИОТ). Характеризация ИОТ по виду главной части ряда Лорана. Теорема Сохоцкого. Бесконечно удаленные ИОТ. Классификация голоморфных функций по типу имеющихся у них особенностей: целые функции, мероморфные функции. 9. Элементы теория вычетов. ([1], гл.5, §3; [2], гл.4, §4, гл.6; [5], гл.5, §1,2; [6], §28,29; [7], §7) Понятие вычета. Вычисление вычетов в ИОТ. Теорема Коши о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Приложения вычетов к вычислению определенных, несобственных интегралов и рядов. Лемма Жордана и ее применения. 10. Свойства голоморфных функций. ([1], гл.4, §3; [5], гл.1, §6, гл.2; [6], §12,14; [7], §6) Нули голоморфных функций и теоремы единственности: изолированность нулей голоморфной функции, единственность разложения в ряд Тейлора, единственность голоморфной функции, равной нулю на множестве, имеющем предельную точку. Принцип максимума модуля, минимума модуля и лемма Шварца. Теорема Рунге (схема доказательства). Теорема Мергеляна (формулировка) и ее следствия (интегральная теорема Коши). 11. Геометрические принципы ТФКП. ([1], гл.7, §3; [2], гл.5, §4; [5], гл.6, §1; [6], §32, 33, 36; [7], 11-13) Принцип сохранения области. Теорема Римана. Принцип сохранения границ (теорема Каратеодори) и обратное утверждение. Принцип симметрии. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Вейерштрасса. Применение принципа аргумента к исследованию устойчивости многочленов. Годограф Михайлова. 12. Многозначные аналитические функции. ([1], гл.7, §1; [2], гл.3; [5], гл.3; [6], §20-22, 24, 26; [7], §8-10) Понятие аналитического продолжения (по Вейерштрассу), аналитичность на кривой, аналитический элемент, полная аналитическая функция, теорема о монодромии. Примеры многозначных аналитических функций: логарифм и многозначная степенная функция. Ветвь аналитической функции. Понятие римановой поверхности. Основная литература
Дополнительная литература
Образцы задач контрольных работ 1. Решите уравнения (ответ - в алгебраической форме): а) ; б) ; в) . 2. Решите систему, укажите ее геометрический смысл 3. Укажите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих системе 4. Покажите, что функция голоморфна в и найдите ее производную: а) ; б) . 5. Вычислить с помощью формулы Коши а) , если и ; б) , . в) , . 6. Найти все разложения в ряд Лорана с центром в точке , указать области сходимости полученных рядов, выделить главную и правильную части разложений а) , ; б) , . 7. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую угол на круг . 8. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую единичный круг на угол . 9. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую полосу в замкнутую нижнюю полуплоскость с выколотой точкой . 10. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую замкнутую верхнюю полуплоскость с выколотой точкой в полосу . 11. Вычислить интегралы (ответ – в алгебраической форме) а) ; б) . 12. Вычислите интегралы с помощью теоремы Коши о вычетах: а) ; б) ; в) ; г) . 13. Вычислить интегралы с помощью вычетов: а) ; б) ; в) ; г) . Минимум вопросов и задач к зачету
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
|
|