Программа дисциплины Математический анализ для направления 010300. 62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Место дисциплины в структуре ооп принципы построения курса: Курс... 1 17.16kb.
Рабочей программы дисциплины Алгоритмы и анализ сложности Место дисциплины... 1 14.6kb.
Программа дисциплины «Неклассические логики» 1 249.14kb.
Рабочей программы дисциплины Интеллектуальные системы Место дисциплины... 1 16.2kb.
Рабочей программы дисциплины параллельные вычисления Место дисциплины... 1 13.77kb.
Место дисциплины в структуре ооп принципы построения курса: Курс... 1 27.11kb.
Аннотация рабочей программы дисциплины 1 23.67kb.
Аннотация рабочей программы дисциплины 1 10.84kb.
Учебная программа Дисциплины б10 «Программная инженерия» по направлению... 1 112.96kb.
Программа «Информатика и компьютерные науки» 1 43.46kb.
Программа дисциплины Информационные технологии управления знаниями... 1 212.85kb.
Педагогическое образование профиль Математика и Информатика вопросы... 1 33.48kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Программа дисциплины Математический анализ для направления 010300. 62 «Фундаментальная - страница №1/1




Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины Математический анализ

для направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра

Авторы программы: Лебедев В.В., кандидат физ.-мат. наук, доцент, lebedev@miem.edu.ru

Романов А.В., кандидат физ.-мат. наук, romanov@miem.edu.ru

Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2012 г

Зав. кафедрой Л.И. Кузьмина


Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2012 г

Председатель [Введите И.О. Фамилия]


Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра по специализации «Автоматизация научных исследований», изучающих дисциплину «Математический анализ».

Программа разработана в соответствии с:


  • ФГОС для направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра.

  • Рабочим учебным планом университета по направлению 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра по специализации «Автоматизация научных исследований», утвержденным в 2012 г.

2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины Математический анализ являются:


  • обеспечение приобретения знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования, формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления;

  • ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных.



3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:



  • Знать основные понятия математического анализа.

  • Уметь применять на практике математический аппарат.

  • Иметь навыки (приобрести опыт) использования методов построения математических моделей при решении профессиональных задач.

В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции:





Компетенция

Код по ФГОС

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

Понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины

ПК-15




Формируется на протяжении всего учебного процесса

Понимание концепций и основных законов естествознания, в частности, физики

ПК-16




Формируется на протяжении всего учебного процесса

4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку.

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике.

Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:



  • «Кратные интегралы и ряды», «Основы естествознания (физика)», «Вычислительные методы», «Дифференциальные уравнения», «Теория функций комплексного переменного», «Функциональный анализ», «Теория вероятности и математическая статистика», «Методы оптимизации и исследования операций».

5Тематический план учебной дисциплины







Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Множества и их отображения. Действительные числа (структура вещественной прямой). Последовательности и их пределы.

38

8




8

22

2

Пределы и непрерывность функций

74

16




16

42

3

Производная, основные теоремы и методы дифференциального исчисления. Элементарные асимптотические формулы. Исследование функций при помощи производных.

96

20




20

56

4

Неопределённый интеграл

38

8




8

22

5

Определённый интеграл

38

8




8

22

6

Несобственные интегралы

46

10




10

26

7

Числовые ряды

62

14




14

34

8

Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

190

40




40

110




Итого:

582

124




124

334



6Формы контроля знаний студентов





Тип

Контроля


Форма контроля

1 год

Параметры

1

2

3

4




Текущий

(неделя)


Контрольная

работа


6










письменная работа 40 минут




4

6

9

письменная работа 80 минут




7

10




письменная работа 80 минут

Коллоквиум




5

5

4

устный коллоквиум 80 минут

Домашнее

задание











4




Промежуточный

Зачет











устный зачёт 160 минут

Экзамен












устный экзамен 160 минут

Итоговый

Экзамен












устный экзамен 160 минут



6.1Критерии оценки знаний, навыков



Контрольная работа состоит в решении стандартных задач по материалам курса, требующих технических навыков. Ошибки технического характера (в умеренном количестве) не влекут значительного снижения оценки. Наличие правильного подхода к решению задачи (даже при отсутствии его технической реализации) учитывается в пользу студента.

Домашнее задание подразумевает решение стандартных задач по материалам курса (на основе знания теории), требующих продолжительного времени для их решения.

На коллоквиуме проверяется: 1) умение студента формулировать основные определения курса; 2) умение формулировать основные утверждения курса без доказательств. Оценка выставляется с учётом двух этих аспектов.

Выставляемая оценка за контрольную работу, домашнее задание, или коллоквиум равна среднему арифметическому полученных студентом оценок (по 10-ти балльной шкале) за отдельные задачи (вопросы на коллоквиуме).

На зачёте и экзамене проверяется умение студента: 1) формулировать и доказывать теоремы курса (демонстрируя при этом знание соответствующих определений); 2) решать стандартные задачи курса. При доказательстве теорем допустимо пользоваться соображениями и понятиями, выходящими за рамки курса. При этом, однако, студент должен продемонстрировать знание соответствующих определений и методов.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.



6.2Порядок формирования оценок по дисциплине


Накопленная () и результирующая () оценка за -й модуль рассчитывается следующим образом.

В модуле 1 проводится одна контрольная работа:

;

.

В модуле 2 проводится две контрольные работы и один коллоквиум:



;

.

В модуле 3 проводится две контрольные работы и один коллоквиум:



;

.

В модуле 4 проводится одна контрольная работа, один коллоквиум, и даётся одно домашнее задание:



.

Накопленная итоговая оценка рассчитывается следующим образом:



.
Итоговый экзамен подразумевает проверку знаний студентов по всему курсу.

Итоговая (идущая в диплом) оценка по учебной дисциплине формируется следующим образом:



.

Способ округления оценок на всех этапах контроля: в пользу студента.

Студент, получивший неудовлетворительную оценку (меньше 4 баллов по десятибалльной шкале) за контрольную работу или за коллоквиум может исправить свой результат, переписав (один раз) контрольную работу или пересдав (один раз) коллоквиум. Результат переписывания контрольной работы или пересдачи коллоквиума умножается на коэффициент 0.7, но первоначальная оценка не может ухудшиться.

При накопленной оценке выше 7 баллов и активной самостоятельной и аудиторной работе в течение модуля студент может (по его согласию!) освобождаться преподавателем от сдачи зачёта/экзамена; в этом случае результирующая оценка совпадает с накопленной.

Неудовлетворительная (меньше 4 баллов) оценка на зачёте/экзамене является блокирующей, в этом случае результирующей оценкой является незачёт/неудовлетворительно (см. «Положение об организации контроля знаний», http://www.hse.ru/docs/35010753.html).

7Содержание дисциплины



Раздел 1. Множества и их отображения. Действительные числа (структура вещественной прямой). Последовательности и их пределы.

Понятие множества. Понятие отображения. Знаки включения, объединения и пересечения. Кванторы и . Необходимые, достаточные и равносильные условия. Знаки импликации , и . Действительные числа и числовая прямая. Модуль действительного числа и его свойства. Метод математической индукции. Определение и запись последовательности. Ограниченные и неограниченные множества на прямой. Понятие функции. График функции. Ограниченные функции, ограниченные последовательности. Окрестности точек и окрестности и . Предел последовательности. Верхняя и нижняя грань множества. Предел монотонной последовательности. Бесконечно малые последовательности. Бесконечно большие последовательности; их связь с бесконечно малыми. Арифметические действия над сходящимися последовательностями. Переход к пределу в неравенствах. Число .


Раздел 2. Пределы и непрерывность функций.

Проколотые окрестности и полуокрестности. Пределы функций (в том числе односторонние). Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические действия с пределами. Предельный переход в неравенствах. Теорема о замене переменной в пределах. Еще раз число . Символ . Эквивалентные функции. Непрерывность в точке (в том числе односторонняя). Классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Простейшие асимптотические формулы. Теорема Коши о промежуточном значении. Арифметические действия с непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции. Непрерывность обратной функции. Теорема о непрерывности элементарных функций. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательность. Теорема Больцано–Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности). Верхняя (нижняя) грань функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем (наименьшем) значении. Равномерная непрерывность Теорема Кантора.


Раздел 3. Производная, основные теоремы дифференциального исчисления. Элементарные асимптотические методы. Исследование функций при помощи производных.

Определение производной (в том числе односторонней). Производные основных элементарных функций. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к графику функции. Формула линеаризации. Связь дифференцируемости и непрерывности. Линейность операции дифференцирования. Производные произведения и отношения двух функций. Производная суперпозиции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков. Точки экстремума. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функции. Теорема Коши. Правила Лопиталя. Многочлен Тейлора. Формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа. Формулы Тейлора для некоторых элементарных функций. Использование формулы Тейлора–Лагранжа в приближенных вычислениях. Использование формул Тейлора–Пеано для асимптотического исследования функций. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. Исследование функций при помощи 2-й производной и производных высших порядков. Асимптоты графика функции.


Раздел 4. Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов. Линейность неопределенных интегралов. Замена переменного. Дифференциал. Внесение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций. Эйлерова подстановка.


Раздел 5. Определенный интеграл.

Определенный интеграл, его геометрический смысл. Функции, интегрируемые на отрезке. Линейность и аддитивность определенного интеграла. Ограниченность интегрируемой функции. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и кусочно непрерывных функций. Интегрируемость модуля интегрируемой функции и соответствующее неравенство. Интегрирование неравенств. Интегральная теорема о среднем. Производная интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям. Геометрические и механические приложения определенных интегралов. Приближенное вычисление определенных интегралов.


Раздел 6. Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы 1-го рода. Несобственные интегралы 2-го рода. Теоремы сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.



Раздел 7. Числовые ряды.

Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признак Даламбера и радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости. Абсолютная сходимость рядов. Перестановки членов в абсолютно сходящемся ряде. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.


Раздел 8. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Пространство . Расстояние и шар в . Окрестность и проколотая окрестность точки в . Предел последовательности точек в . Ограниченные, открытые, замкнутые множества в . Граница множества, связное множество. Область. Теорема Больцано–Вейерштрасса. Функции нескольких переменных. График. Множество уровня. Предел. Непрерывность. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении. Частные производные 1-го и высших порядков. Теорема Шварца о смешанных производных. Дифференцируемые функции. Связь дифференцируемости и непрерывности. Достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных. Градиент. Производная по направлению. Формула линеаризации. Касательная плоскость. Матрица Якоби и дифференцирование суперпозиции. Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа второго порядка. Экстремумы функции нескольких переменных. Задача об условном экстремуме. Теорема о неявной функции, ее геометрический смысл. Дифференцирование неявной функции. Правило множителей Лагранжа. Задача о максимуме и минимуме функции в области.




8Образовательные технологии


Образовательные технологии не предусмотрены.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля

Примерное задание для контрольной работы: найти



    .

    Примерные вопросы для коллоквиума.

    1. Дайте определение функции, непрерывной в точке; на интервале. Изложите

    классификацию точек разрыва. Дайте определение функции непрерывной слева (справа).



2. Сформулируйте теорему Коши о промежуточном значении. Изложите метод решения уравнений методом деления отрезка пополам.



9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачетам и экзаменам по всему курсу.
Модули 1-2
1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой и отождествлении её точек с числами. Расскажите о модуле числа и о том, как измеряется расстояние между точками на прямой. Докажите, что число иррациональное.

2. Докажите, что как рациональные так и иррациональные числа расположены на прямой всюду плотно, т.е. докажите, что любой интервал содержит и те и другие числа.

3. Расскажите о методе индукции. Докажите, что делится на при любом натуральном .

4. Докажите неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

5. Расскажите о понятии множества и отображения. Что такое суперпозиция отображений? Что такое обратное отображение?

6. В каком случае мы говорим, что множество на прямой является ограниченным сверху (снизу)? Дайте определение ограниченного множества. Докажите, что конечное объединение ограниченных множеств является ограниченным множеством.

7. Расскажите о понятии функции, заданной на подмножестве прямой. Дайте определения функции ограниченной сверху (снизу), ограниченной функции, монотонной функции, суперпозиции функций и обратной функции. Дайте определение графика функции. Приведите примеры.

8. Дайте определение последовательности. Что такое монотонная последовательность? Что такое ограниченная сверху (снизу) последовательность? Что такое ограниченная последовательность?

9. Дайте определение окрестности точки . Дайте определение окрестностей . Дайте определения соответствующих -окрестностей.

10. Дайте определение пределов . Докажите теорему о единственности предела последовательности. Что такое сходящаяся последовательность?

11. Дайте определение верхней и нижней грани множества на вещественной прямой . Сформулируйте теорему о существовании верхней (нижней) грани всякого множества, ограниченного сверху (снизу).

12. Докажите, что всякая последовательность, имеющая (конечный) предел, ограничена. Покажите на примере, что обратное неверно (рассмотрите последовательность ). Докажите теорему о пределе монотонных последовательностей.

13. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Объясните связь между ними. Докажите, что тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.

14. Докажите, что сумма (двух) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Докажите, что произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

15. Докажите арифметические свойства пределов последовательностей: пусть и . Тогда

16. Докажите теорему о предельном переходе в неравенствах.

17. Докажите лемму "о двух милиционерах" (для последовательностей).

18. Запишите неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и докажите, что существует



.

Этот предел обозначается через . Покажите, что .

19. Дайте определение проколотой окрестности точки и ее левой и правой проколотой полуокрестности , . Дайте определения соответствующих проколотых -окрестностей.

20. Дайте определения пределов функции



Приведите примеры. Докажите теорему о единственности предела функции.

21. Покажите, что тогда и только тогда, когда .

22. Докажите, что не существует .

23. Докажите, что функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки. Верно ли обратное? (Рассмотрите предел .)

24. Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функции при . Поясните связь между ними. Приведите примеры. Покажите, что произведение (локально) ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция. Покажите, что сумма (двух) бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

25. Докажите, что тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая функция при .

26. Докажите арифметические свойства конечных пределов функций: если и , то



Сформулируйте аналогичные утверждения для односторонних пределов.

27. Докажите лемму о сохранении знака: если, то в некоторой проколотой окрестности точки имеем .

28. Докажите, что если в некоторой проколотой окрестности точки и существуют ,, то (теорема о предельном переходе в неравенствах для функций).

29. Докажите, что если в некоторой проколотой окрестности точки выполнены неравенства и существуют пределы , то существует и равен предел (лемма о "двух милиционерах" для функций).

30. Докажите теорему о замене переменной в пределах. Покажите, что .

31. Дайте определение эквивалентных функций при (при ). Докажите, что если и , то и . Верно ли, что ?

32. Дайте определение соотношения . Покажите, что соотношения , и , означают одно и то же.

33. Дайте определение функции, непрерывной в точке; на интервале. Изложите классификацию точек разрыва. Дайте определение функции непрерывной слева (справа).

34. Что такое элементарная функция? Сформулируйте теорему о непрерывности основных элементарных функций. Докажите её для какой-нибудь основной элементарной функции (например, докажите, что функция непрерывна на всей прямой)

35. Докажите, что при справедливы соотношения: , , . Запишите эти эквивалентности в виде равенств (асимптотических формул).

36. Докажите, что при справедливы соотношения . Запишите эти эквивалентности в виде равенств (асимптотических формул).

37. Докажите, что , в случае, когда , т.е. докажите, что

38. Докажите, что в случае, когда т.е. докажите, что



39. Расскажите, как нарисовать набросок графика функции, выделяя главные части в особых точках и на бесконечности. Постройте набросок графика функции .

40. Докажите теорему Коши о промежуточном значении. Изложите метод решения уравнений методом деления отрезка пополам.

41. Докажите арифметические свойства непрерывных функций: непрерывность суммы (разности), произведения и частного непрерывных функций.

42. Докажите теорему о непрерывности суперпозиции (двух) непрерывных функций.

43. Докажите теорему о непрерывности обратной функции.

44. Получите теорему о непрерывности элементарных функций.

45. Докажите лемму о вложенных отрезках.

46. Дайте определение подпоследовательности. Докажите лемму Больцано–Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности).

47. Дайте определение верхней (нижней) грани функции, заданной на некотором множестве. Сформулируйте теорему о существовании верхней (нижней) грани функции, ограниченной сверху (снизу). Докажите теорему Вейерштрасса о максимальном (минимальном) значении непрерывной функции на отрезке. Покажите на примерах, что все условия этой теоремы являются существенными.

48. Дайте определение функции равномерно непрерывной на промежутке. Докажите, что равномерная непрерывность влечет непрерывность. Верно ли обратное? (Рассмотрите функцию на интервале .)

49. Докажите теорему Кантора: если функция непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на .

50. Дайте определение модуля непрерывности функции на промежутке . Покажите, что функция равномерно непрерывна на тогда и только тогда когда при .

51. Являются ли равномерно непрерывными функции на ?

52. Являются ли равномерно непрерывными функции на интервале ?

53. Дайте определение производной и односторонней производной. Вычислите по определению производные следующих функций: Определите старшие производные функций.

54. Объясните геометрический смысл производной функции в точке. Дайте определение касательной к кривой, являющейся графиком функции, и выведите ее уравнение. Выведите уравнение нормали.

55. Выведите формулу линеаризации, поясните ее геометрический смысл.

56. Докажите, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Верно ли обратное?

57. Докажите теоремы о производной линейной комбинации и произведения функций. Приведите примеры.

58. Докажите теорему о производной частного. Найдите .

59. Докажите теорему о производной суперпозиции функций. Приведите примеры.

60. Докажите теорему о производной обратной функции. Вычислите

61. Дайте определение точки локального экстремума. Докажите теорему Ферма. Дайте определение критической точки. Приведите примеры. Расскажите, как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

62. Докажите теорему Ролля. Объясните ее геометрический смысл. Приведите примеры.

63. Выведите формулу Лагранжа. Объясните ее геометрический смысл.

64. Выведите необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке в терминах ее первой производной. Выведите условие (в терминах первой производной), достаточное для того, чтобы в точке функция имела экстремум.

65. Выведите формулу Коши.

66. Сформулируйте правило Лопиталя, докажите его в случае неопределенности вида .

67. Дайте определение многочлена Тейлора для функции в точке и выведите формулу Тейлора–Пеано.

68. Выведите формулу Тейлора–Лагранжа.

69. Запишите многочлен Тейлора для функций . Запишите соответствующие асимптотические формулы (формулу Тейлора–Пеано).

70. Запишите многочлен Тейлора для функций (при ). Запишите соответствующие асимптотические формулы (формулу Тейлора–Пеано).

71. Определите при малых значениях знак функции



72. Вычислите с точностью .

73. Вычислите с точностью .

74. Докажите, что число иррационально.

75. Выведите достаточное условие локального экстремума функции с использованием второй производной. Приведите пример. Расскажите, что делать, если в критической точке вторая производная обращается в .

76. Выведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.

77. Дайте определения точки перегиба графика функции. Выведите условие, гарантирующее, что в точке имеется перегиб. Приведите пример.

78. Дайте определения вертикальной и наклонной асимптот функции. Выведите условия существования наклонной асимптоты. Выведите формулы для её нахождения. Приведите пример.


Модули 3-4
1. Дайте определение неопределенного интеграла (первообразной) и укажите его основные свойства. Выпишите таблицу основных первообразных.

2. Расскажите о замене переменной. дайте определение дифференциала функции и расскажите о внесении под знак дифференциала в неопределенных интегралах. Вычислите



3. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Вычислите .

4. Выведите рекуррентное соотношение для

5. Перечислите простейшие рациональные функции, расскажите об их интегрировании.

6. Сформулируйте теорему о представлении рациональной функции в виде суммы простейших. Вычислите

.

7. Расскажите, как следующие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций ( обозначает рациональное выражение от соответствующих переменных):



где – рациональные числа. Вычислите



.

8. Расскажите о тригонометрических интегралах



и об их сведении к интегралам от рациональных функций (при помощи универсальной тригонометрической замены переменной). Вычислите



9. Расскажите о вычислении интегралов



(при помощи эйлеровой подстановки).

10. Дайте определение функции интегрируемой на отрезке и ее определенного интеграла. Поясните геометрический смысл определенного интеграла.

11. Докажите, что функция Дирихле не интегрируема.

12. Выведите свойство линейности и свойство аддитивности определенного интеграла.

13. Докажите, что всякая интегрируемая функция – ограничена.

14. Сформулируйте критерий интегрируемости.

15. Докажите, что всякая функция непрерывная на отрезке – интегрируема. Докажите, интегрируемость кусочно непрерывной функции.

16. Докажите теорему об интегрируемости модуля интегрируемой функции и докажите, что если функция – интегрируема на , то

17. Докажите теоремы об интегрировании неравенств и об оценке определенного интеграла.

18. Докажите теорему о среднем значении для определенного интеграла.

19. Докажите теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом и выведите формулу Ньютона–Лейбница.

20. Сформулируйте правило замены переменной в определенном интеграле. Вычислите

21. Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла. Вычислите



22. Дайте определение кривой на плоскости и ее длины. Выведите формулу для вычисления длины дуги графика гладкой функции. Найдите длину дуги параболы

23. Выведите формулу для вычисления массы отрезка с заданным законом распределения массы.

24. Выведите формулу работы переменной силы на прямолинейном пути.

25. Выведите формулу для вычисления объема тела с известным законом изменения поперечного сечения. Выведите формулу для вычисления объема тела вращения. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностью и плоскостью ("параболическая чашка").

26. Изложите метод (центральных) прямоугольников для приближенного вычисления определенных интегралов. Выведите оценку ошибки.

27. Дайте определение несобственного интеграла 1-го рода (по бесконечному промежутку). Вычислите по определению

28. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода (от неограниченной функции по конечному промежутку). Вычислите по определению



29. Расскажите о вычислении несобственных интегралов при помощи замены переменной, внесения под знак дифференциала, интегрировании по частям. Вычислите интегралы



30. Расскажите с обоснованием о поведении несобственных интегралов



31. Выведите признак сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций. Выведите предельный признак сравнения (интегралы от эквивалентных функций сходятся или расходятся одновременно).

32. Дайте определение абсолютной сходимости несобственных интегралов и докажите теорему об абсолютной сходимости. Покажите, что несобственные интегралы

сходятся абсолютно при .

33. Покажите, что несобственные интегралы

сходятся при , но абсолютной сходимости нет.

34. Дайте определение частичной суммы числового ряда. Дайте определение сходящегося числового ряда и его суммы. Сформулируйте основные свойства числовых рядов. Покажите, что если ряд сходится, то его члены стремятся к . Укажите пример, показывающий, что обратное не верно.

35. Докажите, что ряд Дирихле сходится при и расходится при .

36. Выведите признак сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами. Выведите предельный признак сравнения (ряды с эквивалентными членами сходятся или расходятся одновременно).

37. Сформулируйте признаки сходимости Даламбера и Коши. Докажите один из них. Сходится ли ряд ?

38. Выведите интегральный признак сходимости числового ряда. При каких значениях сходится ряд ?

39. Дайте определение абсолютно сходящегося числового ряда и докажите теорему об абсолютной сходимости. Приведите пример сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда.

40. Докажите теорему о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте теорему о перестановке членов сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда.

41. Докажите теорему Лейбница о знакочередующихся рядах. Для рядов Лейбница выведите оценку уклонения частичной суммы от суммы ряда.

42. Что такое расстояние в ? Что такое шар в ? Дайте определение окрестности и проколотой окрестности точки в , предела последовательности точек в . Дайте определения ограниченного множества, открытого и замкнутого множества в , границы множества, связного множества, области.

43. Докажите лемму Больцано–Вейерштрасса (о выделении сходящейся подпоследовательности из любой ограниченной последовательности).

44. Расскажите о понятии функции нескольких переменных. Что такое график функции (на примере функции 2-х переменных). Что такое множество уровня. Дайте определение предела функции. Существует ли

45. Дайте определение непрерывности функции (нескольких переменных) в точке и перечислите основные свойства непрерывных функций.

46. Докажите теорему Коши о промежуточном значении в многомерном случае. Изложите и обоснуйте метод "пробных точек" решения неравенств вида . Найдите область определения функции

47. Докажите теорему Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении (для функций нескольких переменных).

48. Дайте определение частных производных. Сформулируйте теорему Шварца о смешанных производных. Дайте определение дифференцируемости функции многих переменных. Сформулируйте утверждение о связи дифференцируемости и непрерывности. Докажите достаточное условие дифференцируемости в терминах частных производных.

49. Дайте определение градиента. Дайте определение производной по направлению и выведите формулу для ее вычисления.

50. Выведите формулу линеаризации (для функций нескольких переменных).

51. Дайте определение касательной плоскости к графику функции двух переменных. Сформулируйте утверждение о связи дифференцируемости и существования касательной плоскости. Выведите уравнение касательной плоскости.

52. Дайте определение матрицы Якоби. Выведите формулу дифференцирования суперпозиции функций нескольких переменных.

53. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом Лагранжа второго порядка (для функций нескольких переменных).

54. Дайте определение точки локального экстремума функции нескольких переменных. Выведите необходимое условие локального экстремума для дифференцируемых функций. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в круге .

55. Выведите достаточное условие локального экстремума и его отсутствия. Укажите эквивалентную форму достаточного условия в случае функций двух переменных (в терминах вторых производных). Найдите точки локального экстремума функции и укажите, к какому типу они относятся.

56. Дайте определение точки условного локального экстремума функции нескольких переменных.

57. Расскажите о способах задания кривых и поверхностей в пространстве. Сформулируйте теорему о неявной функции и поясните ее геометрически.

58. Как дифференцировать неявную функцию? Запишите формулу Тейлора–Пеано второго порядка при для функции , заданной неявно уравнением , .

59. Сформулируйте необходимое условие локального условного экстремума (правило множителей Лагранжа). Поясните его в случае функции двух переменных и одного условия; функции трех переменных и одного условия; функции трех переменных и двух условий.

60. Найдите максимум и минимум функции на сфере .

61. Изложите с обоснованием метод, позволяющий найти наибольшее и наименьшее значение гладкой функции в ограниченной замкнутой области с "хорошей" (кусочно-гладкой) границей. Найдите максимум и минимум функции в шаре .



10Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

10.1Базовый учебник

В.А. Зорич, Математический анализ (в 2 томах), 5-е изд., М.: МЦНМО, 2007.


10.2Основная литература

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3 томах),

8-е изд., М.: Физматлит, 2006.

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу (учебное



пособие для вузов), М.: АСТ: Астрель, 2007.


10.3Дополнительная литература

Р. Курант, Г. Робинсон, Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.



10.4Справочники, словари, энциклопедии



Математическая энциклопедия (в 5 томах), М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1977–1985.

10.5Программные средства

Программные средства не предусмотрены.



10.6Дистанционная поддержка дисциплины

Дистанционная поддержка дисциплины не предусмотрена.



11Материально-техническое обеспечение дисциплины


Материально техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.