Программа дисциплины Математический анализ для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Государственный университет - Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики

Программа дисциплины

Математический анализ

для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

Авторы: д.т.н., профессор Ф.Т. Алескеров, д.ф.-м.н., профессор С.П. Струнков,

к.ф.-м.н, доцент Е.И. Чубарова

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

Математические и статистические высшей математики методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» __________________ 200 г. «____»_____________________ 200 г

Утверждена УС факультета

бизнес-информатики

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.

Москва
Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы		Самостоятельная работа
№	Название темы	Всего часов	Лекции	Семина- ры	Самостоятельная работа
1 2	1курс, 1 модуль Элементы теории множеств и функций. Теория пределов и непрерывных функций одной переменной.	74	14	14	46
	1 курс, 2 модуль
3	Дифференциальное исчисление для функций одной переменной	82	16	16	50
	1 курс, 3 модуль
4	Дифференциальное исчисление для функций многих переменных.	74	14	14	46
	1 курс, 4модуль
5	Интегральное исчисление для функций одной переменной.	48	7	7	34
6	1 курс, 5 модуль
	Интегральное исчисление для функций одной переменной.	100	21	21	58
	Итого на первом курсе	378	72	72	234
	2курс, 1 модуль
7	Числовые и функциональные ряды.	128	28	28	72
	2 курс, 2 модуль
8	Степенные ряды. Интегральное исчисление для функций многих переменных.	144	32	32	80
	2 курс, 3 модуль
9	Интегральное исчисление для функций многих переменных (продолжение). Ряды Фурье.	106	22	20	64
	Итого на втором курсе	378	82	80	216

Формы рубежного контроля

Для 1-го курса: В каждом модуле предусмотрены или контрольная работа, или большое домашнее задание. В первом и третьем модулях запланированы зачетные работы, а в пятом– экзаменационная.

Для 2-го курса: В каждом модуле предусмотрены контрольная работа и большое домашнее задание. В первом модуле запланирована зачетная работа, а во втором и третьем – экзаменационные.

Образцы типовых задач приводятся после программы.

Содержание программы
1. Введение. Элементы теории множеств и функций. ([1], т.1, гл. 1, §§ 1, 2, [3], гл. 1, §§ 1 – 4)
Понятие множества и подмножества. Операции: объединение, пересечение, дополнение.

Отображения множеств (функции). Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции.

Понятие действительного (вещественного) числа. Сравнение действительных чисел. Примеры множеств действительных чисел. Промежутки. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные множества действительных чисел. Верхние и нижние и точные верхние и нижние грани множеств действительных чисел. Максимальный и минимальный элемент множества. Теорема о существовании точных граней у ограниченного множества. Лемма о вложенных отрезках.

2. Теория пределов и непрерывных функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1, §§ 3 - 8, [3], гл. 1, §§ 5 – 9)
Числовые последовательности. Примеры.

Понятие предела последовательности.

Теорема о единственности предела сходящейся

последовательности.

Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема о вынужденном пределе.

Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей.

Определение числа е.

Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями.

Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей.

Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми.

Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенности.

Определение подпоследовательности. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Критерий Коши сходимости последовательности.

Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений.

Односторонние пределы, их связь с двусторонними.

Пределы функции в бесконечности.

Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности.

Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе.

Теорема о пределе сложной функции.

Первый и второй замечательные пределы.

Сравнение функций, о-символика, главная часть функции, порядок малости и порядок роста функции.

Критерий Коши существования конечного предела функции.
Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций.

Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции.

Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций, непрерывных в точке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши).

Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке.

Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.

3. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 1, §§ 9 – 14 , [3], гл. 1, §§ 10 – 15)
Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие эластичности функции и ее интерпретация.

Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое условие дифференцируемости, необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций.

Производные функций, графики которых заданы параметрически.

Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке.

Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум. Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).

Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теорема Ролля, формулы Лагранжа и Коши).

Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Правило Лопиталя.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке.

Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной.

Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости).

Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба.

Асимптоты графика функции одной переменной.

Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения.

4. Дифференциальное исчисление для функций многих переменных. ([1], т.1, гл. 2, [3], гл. 2)
Понятие евклидовой метрики пространства . Окрестности точек, предельные и внутренние точки, открытые и замкнутые множества. Прямые, лучи, отрезки и кривые в пространстве . Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые множества. Компакт, область.

Понятие последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве и ее предела. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности точек в n-мерном евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Понятие функции многих переменных, множеств (линий) уровня. Примеры.

Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов.

Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных.

Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции.

Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в точке.

Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.

Производная по направлению для функций двух и трех переменных.

Градиент функций двух и трех переменных в точке.

Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Терема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции.

Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Системы уравнений для частных производных неявных функций.

Понятие отображения области n-мерного пространства и его матрицы Якоби. Матрица Якоби композиции отображений. Условия обратимости отображения. Якобиан.

Экстремумы функций многих переменных (локальный, глобальный, условный). Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.

Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие локального условного экстремума, достаточное условие.

Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.

5. Интегральное исчисление для функций одной переменной. ([1], т.1, гл. 3, [3], гл. 3)
Понятие первообразной функции, определенной на интервале, и неопределенного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов.

Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций.

Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.

Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке.

Основные классы интегрируемых функций.

Основные свойства определенного интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции, площади криволинейного сектора в полярных координатах, вычисление объемов.

Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла.

Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов.

Признаки сравнения для несобственных интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы.

Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла.

6. Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды.

([1], том 1, гл. 4; [3], гл. 4; [5], гл. VIII, IX)

Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды.

Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда.

Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Умножение абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана для условно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности, их сходимость в точке и на множестве. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных последовательностей, критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей.

Равномерная сходимость функционального ряда, критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Признак Дирихле.

Теорема о непрерывности предела суммы функционального ряда.

Теорема о почленном интегрировании функционального ряда и о переходе к пределу под знаком интеграла для функциональной последовательности. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда.

Степенной ряд. Теорема Абеля, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера.

Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.

Разложение функций функции в степенные ряды. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора (Маклорена) функции. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

7. Интегральное исчисление для функций многих переменных.

([1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, 3, гл.5, §§ 42 – 48, 5, гл. X - XI)

Повторение основных понятий, связанных с топологией n-мерного евклидова пространства (см. п. 4).

Понятие меры Жордана, множества, измеримые по Жордану. Критерий измеримости множества. Основные свойства меры Жордана. n-мерные цилиндры. Множества меры ноль.

Определение кратного интеграла Римана.

Верхние и нижние суммы Дарбу. Основные классы функций, интегрируемых по Риману. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных.

Основные свойства кратного интеграла.

Двойные интегралы. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в двойных интегралах. Геометрические и физические приложения двойных интегралов.

Тройные интегралы. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Геометрические и механические приложения тройных интегралов.

Элементы теории кривых на плоскости и в трехмерном пространстве. Гладкие кривые.

Понятие криволинейного интеграла первого рода по дуге гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Формула сведения криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу.

Понятие криволинейного интеграла второго рода по дуге гладкой плоской кривой. Распространение на трехмерный случай. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости. Формула Грина.

Элементы теории поверхностей в трехмерном пространстве.

Понятие поверхностного интеграла первого рода для функции. Достаточное условие интегрируемости функции по кусочно-гладкой поверхности. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному интегралу.

Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл второго рода по заданной стороне гладкой поверхности. Формулы для вычисления поверхностного интеграла второго рода. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса.

9. Ряды Фурье. Преобразование Фурье*.

([1],т. 2, гл. 7, §§ 55, 58, 56*; [3], гл.6, §§ 51,53, 54*; [5], гл.XIV, §§ 61, 64 – 66, гл.XV, § 75)
Евклидово пространство, норма и метрика в нем. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье по ортогональной системе, коэффициенты Фурье. Ряды Фурье по тригонометрическим системам функций. Достаточное условие поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Теорема об условиях равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Понятие преобразования Фурье*.

Литература.

Основная.

Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981 (имеется также переработанное трехтомное издание М.: Дрофа, 2006).
Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т. 3. Функции нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003 (или любое другое издание).

Дополнительная.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М: “Наука”, 1989 (имеется также двухтомное издание: М.: Физматлит, 2005).
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2003.
Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.: «Наука», 1997.

Авторы программы: Ф.Т. Алескеров, С.П. Струнков, Е.И. Чубарова

Образцы задач для контрольных, зачетных и экзаменационных работ по математическому анализу для 1 и 2 курсов

1. Вычислить пределы

а) ; б) .

Вычислить y’:

а) ; б) .

Найти касательную прямую и нормаль, проведенные в точке А(1,1) к графику функции, заданной неявно уравнением .

4. Найти дифференциал функции , заданной параметрически: в точке А, соответствующей значению параметра .

Разложить по формуле Маклорена до о(хⁿ ) функцию .
Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:

Найти участки возрастания и убывания и точки экстремума

функции .Найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [1,4].

Найти асимптоты графика функции .

Провести полное исследование и нарисовать эскиз графика функции

10. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности

точки до .

11. Разложить по формуле Маклорена до о(хⁿ ) функцию .

12. Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:.

13. Вычислить предел или доказать, что он не существует:

а) ; б) .

14. Выяснить, будет ли функция

непрерывной в точке (0,0). Ответ обосновать.

15. Найти частные производные первого порядка для

а) ; б) .

16. Найти первый дифференциал функции в точке (1,0,1).

17. Найти производную функции в точке А(1,1,0) по направлению вектора , где М(2,4,5), N(1,2,3). .

18. Исследовать на экстремум функцию .

19. Найти экстремумы функции при условии .

20. Вычислить неопределенные интегралы

а) ; б) .

21. Вычислить определенные интегралы а) ; б) .

Найти сумму ряда .

Исследовать на сходимость числовые ряды 23 – 26:

23. . 24. .
25. . 26. .

27. Исследовать на сходимость ряд ,

используя выделение главной части.

28. Будет ли данный ряд :

а) абсолютно сходящимся; б) условно сходящимся?

29. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд .

30. Доказать сходимость ряда , используя признак Дирихле или Абеля.

31. Исследовать ряд на сходимость в зависимости от параметра: .

32. Найти предельную функцию для функциональной последовательности на множестве .
33. Найти предельную функцию и доказать равномерную сходимость

функциональной последовательности на множестве .

34. Доказать, что ряд не является равномерно сходящимся на множестве .
35. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость ряда, .

36. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд на множествах и .

37. Найти множества всех значений x, при которых функция : (а) определена; (б) дифференцируема.
38. Найти области сходимости и расходимости функционального ряда .
39. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости степенного ряда .
40. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x₀= –1. Найти интервал сходимости этого ряда.

41. Разложить в ряд Маклорена функцию .

42. Найти интервал сходимости функционального ряда .

43. Найти радиус сходимости, области сходимости и расходимости

степенного ряда .

44. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

45.Вычислить двойной интеграл , где область D задана неравенствами .

46. Вычислить тройной интеграл , где область E задана

неравенствами .

47. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой : .

48. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где  – дуга параболы от точки A(2,4) до B(1,1).

49. Найти функцию , если .

50. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где – часть конуса , заключенная внутри цилиндра .

51. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где – внешняя сторона границы области .

Факультет бизнес-информатики

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

Название темы

Всего часов

Самостоятельная работа