Программа дисциплины функциональный анализ - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 01 Вещественный... 1 68.84kb.
Программа дисциплины "Функциональный анализ, часть 2" 1 139.22kb.
Рабочая программа учебной дисциплины ен. Р «Функциональный анализ» 2 419.95kb.
Программа вступительного экзамена по специальности 01. 01. 01 Вещественный... 1 64.33kb.
Программа по дисциплине функциональный анализ крюковский А. 1 59.01kb.
Программа дисциплины математический анализ Цикл ен. Ф. Специальность... 1 93.41kb.
Программа дисциплины «Математический анализ» 1 172.97kb.
Программа дисциплины «прикладной политический анализ» 1 267.55kb.
А. П. Старовойтов, Г. Н. Казимиров функциональный анализ и интегральные... 2 932.55kb.
А. П. Старовойтов, Г. Н. Казимиров функциональный анализ и интегральные... 2 901.52kb.
Структурно-функциональный анализ Т. Парсонса Толкотт Парсонс 1 102.94kb.
Программа курса «Методы оптимизации» 1 16.36kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Программа дисциплины функциональный анализ - страница №1/1

АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Функциональный анализ

Направление подготовки 010400.62 прикладная математика и информатика (математическое и информационное обеспечение экономической деятельности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр

Общая трудоемкость дисциплины 108 ч.

1. Цели освоения дисциплины

Целью изучения дисциплины «Функциональный анализ» является освоение методов функционального анализа, непосредственно примыкающим к задачам вычислительной математики и ее приложений, которые являются необходимыми для понимания с общих позиций идей и методов вычислительной математики, задач оптимизации вычислительных алгоритмов.


2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.

Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате обучения предшествующим дисциплинам: математический анализ, алгебра.

Знание функционального анализа может существенно помочь при решении задач из различных областей математики. Кроме того, методы функционального анализа широко применяются в целом ряде направлений современной математики.


3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-8, ОК-16, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-7, ПК-8, ПК-9, ПК-15, ПК-16, ПК-20, ПК-21, ПК-22, ПК-25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать: основные определения и понятия изучаемых разделов функционального анализа.

2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области функционального анализа, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать как известные утверждения, так и родственные им новые.

3) Владеть: разнообразным математическим аппаратом общей теории, используемого для целого ряда приложений.
4. Структура и содержание дисциплины.
Тема 1. Элементы теории множеств, метрические и топологические пространства

Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Разбиения на классы. Эквивалентность множеств. Понятие мощности множества. Упорядоченные множества.

Частично упорядоченные множества. Трансфинитные числа. Системы множеств. Определение и основные примеры метрических пространств. Открытые и замкнутые множества.

Полные метрические пространства. Определение и примеры топологических пространств.



Тема 2. Понятие меры. Измеримые функции, линейные пространства

Мера элементарных множеств. Лебегова мера плоских множеств. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. Лебегово продолжение меры.

Определение и основные свойства измеримых функций. Действия над измеримыми функциями. Сходимость по мере.

Определение и примеры линейных пространств. Линейная зависимость. Фактор-пространства. Линейные функционалы.



Тема 3. Выпуклые множества и выпуклые функционалы, обобщенные функции

Выпуклые множества и выпуклые тела. Однородно-выпуклые функционалы. Функционал Минковского.

Теорема Хана-Банаха.

Расширение понятия функции. Пространство основных функций. Определение обобщенных функций. Действия над обобщенными функциями. Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций.



Тема 4. Нормированные и евклидовы пространства

Определение и примеры нормированных пространств. Подпространства нормированного пространства.

Фактор пространства нормированного пространства. Определение евклидовых пространств.

Существование ортогональных базисов. Теорема об ортогонализации. Замкнутые ортогональные системы.

Полные евклидовы пространства. Теорема Рисса-Фишера.

Тема 5. Линейные операторы, компактные операторы и их свойства

Определение и примеры линейных операторов. Непрерывность и ограниченность.

Обратный оператор. Обратимость.

Сопряженные операторы. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы.

Определение и примеры компактных операторов. Основные свойства компактных операторов.

Компактные операторы в гильбертовом пространстве. Самосопряженные компактные операторы.

Теорема (Гильберт-Шмидт).

Тема 6. Тригонометрические ряды, преобразование Фурье и его свойства, преобразование Лапласа

Условия сходимости ряда Фурье. Теорема Фейера. Теорема Вейерштрасса.

Преобразование Фурье и формула обращения. Основные свойства преобразования Фурье.

Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. Преобразование Фурье функции нескольких переменных.

Теорема Планшереля.

Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.



Тема 7. Линейные интегральные уравнения

Типы интегральных уравнений. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Интегральные уравнения Фредгольма.

Теоремы Фредгольма.

Интегральные уравнения первого рода. Интегральные уравнения, содержащие параметр.



Тема 8. Дифференцирование в линейных пространствах

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Слабый дифференциал (дифференциал Гато).

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью.

Дифференцируемые функционалы.



Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов