Процедура расщепления лагранжиана для группы

Китаев А.Е.

7. Процедура расщепления лагранжиана

для группы SO(3).
Поставим задачу так. В трехмерном пространстве (или в 4-мерном пространстве-времени – ведь есть еще и время) задан лагранжиан для волнового уравнения

В добавление к трехмерному пространству пусть имеется некоторое искривленное пространство, допустим двумерная сфера или трехмерная поверхность, соответствующая группе SO(3). Прибавим к лагранжиану l₁ ланранжиан для сферы l₂ (умноженный на некоторое число k) и домножим эту сумму на sin (это все немного напоминает конструкцию для цилиндрических координат в пространстве, рассмотренную в предыдущем разделе). Получим:

Если, применив уравнение Остроградского, найти волновое уравнение, соответствующее такой функции, оно будет иметь вид:

«Частью» этого уравнения является уравнение сферических функций (к нему можно прийти в процессе разделения переменных):

Одними из его решений являются такие функции (расположим их в виде матрицы-столбца):

Вспомним первый раздел, где мы пытались «уменьшать» лагранжиан, то-есть уменьшать количество независимых переменных. Там мы ввели процедуру расщепления. В применении к данному случаю она будет выглядеть так:

То-есть опять сопряжение матриц совмещается с комплексным сопряжением.

Вот моды, на которые мы будем расщеплять поле (туда сомножителями входят уже рассмотренные функции W):

Обратим внимание: функции, составляющие этот столбец, взяты в нормированном виде. Условие нормировки такое:

для каждой функции, входящей в столбец. Интегрирование в этой формуле – по всей сфере.

Для строки аналогично.

Подставим эти строки и столбцы в первое слагаемое суммы лагранжианов:

Мы хотим, чтобы получилось просто число.

Если

то комбинацию амплитуд, зависящих от r,t можно вынести за скобку и квадраты синуса и косинуса в этом случае дадут единицу.

Члены, обозначенные тремя точками, будут выглядеть аналогично, только производные будут пространственными. Условием для того, чтобы члены с u(r,t) благополучно вынести за скобку (синусы и косинусы после этого сократятся) будет уже записанное выше равенство

Если амплитуды действительны, то

Подставим теперь строки и столбцы во второй лагранжиан (обращаю внимание – именно в лагражиан, а не в геометризованный лагранжиан):

Если выполняется вышеприведенное условие на амплитуды (зависящие от пространственных координат и времени), то

Итак, при выполнении условий на множители u_i при угловых функциях-ортах, лагранжиан, уменьшенный на угловые координаты, равен

Обратим внимание, что появляется массовый член, пропорциональный 2. Кроме того требование, чтобы лагранжиан не зависел от угловых координат приводит к зависимости между тремя величинами u_i (r,t) (только две из них оказываются независимыми).

Сделаю оговорку насчет получающихся условий на амплитуды. В первом разделе я уже касался этого вопроса. Я предполагаю, что они существенны лишь на этапе получения уменьшенного лагранжиана. В дальнейшем (при исследовании дифференциальных уравнений, получающихся из лагранжиана) эти условия можно игнорировать. Основанием для этого вывода служит то, что с амплитудами начального лагранжиана мы проводим достаточно рискованные операции, «расщепляя» его, и при этом получаем правильные результаты в виде дифференциальных уравнений, которые получаются из «уменьшенных» лагранжианов. Итак, пользуясь нашими нестрогими соображениями, мы получаем какой-либо лагранжиан. А потом обо всех сопутствующих обсьоятельствах забываем и считаем его аксиомой, как это часто делается в теоретической физике.

Теперь усложним задачу. Пусть теперь второй лагранжиан (обозначим его не l₂ , а l₃) - это не двумерный лагранжиан для сферы, а трехмерный лагранжиан для группы SO(3).

Если найти волновое уравнение, соответствующее такой функции, оно будет иметь вид:

С помощью процесса разделения переменных мы можем прийти к частичному уравнению, зависящему только от углов:

Можно проверить, что оно имеет решения, аналогичные решениям для предыдущего случая:

Используем для уменьшения лагранжиана функции, построенные на основе этого решения:

Обратим внимание, что нормировка уже другая. Нормированная функция теперь должна уже удовлетворять другому соотношению (так как поверхность другая – уже не сфера)

Интегрирование происходит по параметрам группы (по  - от 0 до , по  и  - от 0 до 2), элемент объема - sin, как и в случае сферы.

В результате мы получим точно так же, как и в предыдущем случае двумерной сферы, новый уменьшенный лагранжиан (с точностью до множителя, отличающегося из-за нормировки) и в дополнение к нему условие на амплитуды u(r,t):

или

Так как и ланранжиан, и волновое уравнение симметричны относительно замены углов  и , мы сразу запишем другое решение, функции, с помощью которых мы будем «уменьшать» лагранжиан, и сам уменьшенный лагранжиан (вместе с условием на амплитуды).

Но имеются и другие решения. В частности

Эти четыре функции удовлетворяют циклическим условиям особого рода

В отличие от предыдущих функций. Те удовлетворяли обычным циклическим условиям:

Будем расщеплять поле с помощью таких мод:

Расщепление выглядит так

При подставлении строки и столбца в расщепленный лагранжиан получится:

Если

то

При подставлении во второй лагранжиан получим:

Продолжим вычисления дальше

Если

то

Для суммарного лагранжиана: при выполнении условий на множители e_i при угловых функциях-ортах, лагранжиан, уменьшенный на угловые координаты, равен

Так как мы все эти операции проводим именно с лагранжианом, а не с геометризованным лагранжианом, т.е. лагранжианом, домноженным на элемент объема (двумерной сферы или группы SO(3)), то может возникнуть вопрос – что делать с зависимость от углов (сосредоточенной в этом множителе – элементе объема)? Можно проинтегрировать геометризованный лагранжиан по двумерной сфере или по трехмерной поверхности (многообразию, как говорят математики), соответствующей группе SO(3)? И тогда зависимость от углов исчезнет окончательно.

Выпишем снова вместе и условия на амплитуды (повторюсь - я полагаю, что они существенны лишь на этапе вывода лагранжианов) , и уменьшенные (на угловые координаты) лагранжианы:

Если мы проварьируем эти лагранжианы (или применим к ним уравнение Остроградского), то мы получим волновые уравнения для 3+3+4=10 функций, которые подчиняются 3 дополнительным условиям. То-есть из 10 функций лишь 7 независимы.

Если считать все поля действительными, то уменьшенные лагранжианы принимают такой вид:

Наши первичные лагранжианы l₁ (для четырехмерного пространства-времени) не включали массового члена, теперь он появился за счет дополнительного искривленного пространства. Но, конечно, в первичных лагранжианах можно учесть наличие массового члена, возникающего и по каким-либо другим причинам (об этом упоминалось еще в первом разделе).