Поверхности в евклидовом пространстве. § Векторная функция двух скалярных аргументов и техника дифференцирования - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Поверхности в евклидовом пространстве. § Векторная функция двух скалярных аргументов - страница №1/1

Глава 2. Поверхности в евклидовом пространстве.

§ 6. Векторная функция двух скалярных аргументов и техника дифференцирования.

Пусть - ориентированное евклидово пространство, - геометрическое векторное пространство, - двумерный промежуток, то есть одно из следующих множеств: числовой квадрат .

Определение. Если по некоторому закону поставлен в соответствие определенный вектор , то говорят, что в двумерном промежутке задана векторная функция двух скалярных аргументов. Обозначают .

Определение. Будем говорить, что векторная функция бесконечно мала вблизи точки , если числовая функция бесконечно мала вблизи этой точки, то есть .

Определение. Пределом векторной функции при называется постоянный вектор , для которого векторная функция бесконечно мала.

Определение. Векторная функция называется непрерывной в точке , если . Векторная функция, непрерывная в каждой точке двумерного промежутка , называется непрерывной на этом промежутке.

Пусть на двумерном промежутке определена векторная функция . Фиксируем ортонормированный базис в геометрическом векторном пространстве . Тогда в каждой точке вектор разложится по этому базису: . Функции называются координатами векторной функции в базисе .

Пусть и . Тогда , , .

Положим , тогда для различных векторная функция станет векторной функцией одного аргумента , изменяющегося в некотором промежутке . Если существует производная этой функции по , то она называется частной производной векторной функции в точке и обозначается или . Аналогично определяется частная производная по , которая обозначается или . Координатами векторной функции являются числовые функции . По доказанному в §1, частные производные , в точке существуют тогда и только тогда, когда существуют в этой точке частные производные числовых функций и . Кроме того, и .

Вектор называется дифференциалом векторной функции в точке , где и т. д. Или в других обозначениях .

Определение. Векторная функция называется дифференцируемой в точке , если ее координаты являются дифференцируемыми функциями, то есть существует . Векторная функция называется дифференцируемой на промежутке ,если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.
§ 7. Понятие гладкой поверхности. Криволинейные координаты на поверхности. Замена параметризации на поверхности.

Пусть дана векторная функция в некотором промежутке . Фиксируем прямоугольную декартову систему координат . Тогда . Будем откладывать вектор от начала координат. Конец вектора обозначим через . Эта точка имеет своим радиус вектором вектор , а координатами . Когда пробегают область своего изменения , точка М описывает некоторое геометрическое место точек в , которое мы будем называть поверхностью в параметрическом представлении (или просто, поверхностью).

Каждой паре отвечает точка поверхности. В дальнейшем говоря о точках поверхности мы всегда подразумеваем задание определяющих ее значений.

Рассмотрим частные производные векторной функции : и . В дальнейшем нас будут интересовать только те точки, в которых . Эти точки будем называть обыкновенными. Это условие можно записать в другом виде , то есть хотя бы один определитель второго порядка отличен от нуля. Пусть . Как известно из курса математического анализа, функции в некоторой окрестности точки можно разрешить относительно и , то есть существуют функции . Подставим их в , получим , то есть . Итак, мы доказали, что в некоторой окрестности обыкновенной точки уравнение поверхности может быть записано в виде . Кроме того, в этой окрестности . Это означает, что не только каждой паре соответствует точка поверхности, но и обратно, каждой точке поверхности , однозначно соответствует пара .

Итак, в некоторой окрестности обыкновенной точки поверхности мы имеем взаимно однозначное соответствие между точками поверхности и парами . На этом основании значения параметров называют криволинейными координатами точки на поверхности.

Оговорка "в некоторой окрестности обыкновенной точки" существенна в том смысле, что в противном случае может нарушаться условие взаимной однозначности (при других значениях можем получить ту же точку ). Основная задача криволинейных координат – отмечать точки на поверхности. В общем случае криволинейные координаты геометрического смысла не имеют и могут выбираться различными способами на одной и той же поверхности. Поэтому, изучая поверхность, нам придется тщательно отделять существенные факты, относящиеся только к самой геометрической форме поверхности, от случайных зависимостей, обусловленных выбором криволинейных координат.


Определение. Пусть дана поверхность . Если для любой точки существует открытый шар в такой, что - поверхность в параметрическом представлении , для которой функции гладкие класса (то есть имеют непрерывные частные производные до порядка включительно) и в любой точке ранг матрицы , то называется гладкой поверхностью класса . Если , то поверхность называют гладкой.

Последнее условие означает, что , следовательно, . Это условие будем называть условием регулярности, а точки, в которых выполняется это условие – регулярными.

В дальнейшем будем рассматривать поверхности в некоторых окрестностях ее регулярных точек, не оговаривая это специально. Кроме того, будем предполагать все поверхности гладкими.
Пусть , а меняется так, что . Тогда является векторной функцией одного скалярного аргумента и описывает гладкую линию, содержащуюся в поверхности . Эту линию называют линией (или - линией) поверхности .Вектор является вектором касательной к -линии в точке .

Аналогично, через каждую точку поверхности проходит гладкая линия , которая называется линией (или - линией). Вектор является вектором касательной к - линии в точке . Линии и линии называются координатными линиями криволинейной системы координат . Говорят, что эти линии образуют на поверхности координатную сеть. Координатная сеть называется ортогональной, если в каждой точке поверхности .



Пример. Пусть дана поверхность . Эти функции имеют непрерывные частные производные любого порядка и , то есть - гладкая поверхность.

Линии : , то есть это прямые, параллельные плоскости и пересекающие ось .

Линии : - это винтовые линии, если . Если , то получим - это ось .

Мы видим, что координатная сеть ортогональна.


Определение. Пусть : гладкая поверхность класса . Зададим функции . Говорят, что функции задают допустимую замену параметра на поверхности , если

1) функции устанавливают взаимно однозначное соответствие между двумерными промежутками и ;

2) эти функции гладкие класса ;

3) .

Определитель называется якобианом отображения .

Предложение. Допустимая замена параметра сохраняет класс гладкости поверхности.

 Пусть : гладкая поверхность класса . Так как функции устанавливают взаимно однозначное соответствие между двумерными промежутками и , существуют функции , имеющие непрерывные частные производные до порядка включительно. Тогда для : координатные функции имеют непрерывные частные производные до порядка включительно.



Докажем, что при выполнении условия 3) . Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем:

. Тогда по правилу умножения матриц . Если , то хотя бы один из определителей второго порядка отличен от нуля, например, . Тогда . 
Замечание. Пусть - множество точек, задаваемых уравнением . Оно определяет гладкую поверхность в окрестности точки , если в некоторой окрестности точки существуют непрерывные частные производные и в точке .