Основные сведения из теории математического поля

Векторное поле — это функция, которая каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.

Термины поле и силовые линии поля (англ. field, lines of force) ввёл в физику Майкл Фарадей около 1830 г. при исследовании электромагнитных явлений. Основы аналитической теории силовых полей разработали Максвелл, Гиббс и Хевисайд во второй половине XIX века.

Интегральные кривые (силовые линии)

Силовые линии магнитного поля

Силовой линией (векторной линией или интегральной кривой, в зависимости от контекста) для поля называется кривая, касательная к которой во всех точках кривой совпадает с направлением вектора .

Густота силовых линий связана с интенсивностью поля. Если силовые линии замкнутые, то поле называется вихревым (соленоидальным), в противном случае поле называется потенциальным.

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности . По определению



Дивергенция вектора

Определение:

В трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением:

.

С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (или очень малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

— точка поля является источником;

— точка поля является стоком;

— стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Ротор вектора

Определение:

В трёхмерной декартовой системе координат ротор вычисляется следующим образом:

.

Теорема Остроградского:

Теорема Стокса: