Определенная на всей числовой оси называется периодической - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Определенная на всей числовой оси называется периодической - страница №1/1

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период .

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .


Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:



(1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:







, где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).


ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье


Исходные данные :

(Рис. 1)

Функция периодическая с периодом .( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода.

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине , где -точки разрыва.


Рис. 1

Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.


1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .

2) F(x) - кусочно-монотонна.


Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.








Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

Поэтому формулу для можно записать в виде:



( так как ).


Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
.
Подставим найденные коэффициенты в получим:

и вообще


.
Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника ,


2-ая гармоника ,


3-ая гармоника ,


4-ая гармоника ,



5-ая гармоника ,



и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.



Запишем комплексную форму полученного ряда

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)
,
но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :
(т.к. см. разложение выше)
и случай когда n=-1:
(т.к. )
И вообще комплексная форма:


или

или

Цифровые фильтры

Как правило, цифровой фильтр ЦФ является специализирован­ной ЭВМ. Иногда в качестве цифрового фильтра используется универсальная ЭВМ.

Рассмотрим принцип работы ЦФ. На его вход подается сигнал х(пТ) • последовательность числовых значений, следующих с интервалом Т. При поступлении каждого очередного числа х(пТ) ЦФ производит расчет по соответствующему алгоритму и на вы­ходе появляется выходное число у(пТ). В общем случае число у(пТ) является функцией ряда предыдущих значений как вход­ных х^ так и выходных у чисел:




у (nT) = f [х (п Т), х (п Т— Т), х(пТ — 2Т),...,

На выходе фильтра вырабатывается последовательность чисел у(пТ), следующих с интервалом Т. Таким образом, тактовый ин­тервал Т является общим для входных и выходных чисел.

Остановимся на основных структурных схемах линейных ЦФ.

Цифровые фильтры делятся на два большие класса: нерекур­сивные и рекурсивные. В нерекурсивных фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности у(пТ) = Р[х(пТ),х-(пТ — Т),.,.].

В рекурсивных фильтрах отклик зависит как от значений вход­ной последовательности, так и от предшествующих значений вы­ходной последовательности

y(nT)=f{x(nT),x(nTT), ...,у(пТ—Т),у(пТ—2Т),...}.

Нерекурсивный цифровой фильтр. На рис. 10.19 изображена структурная схема нерекурсивного цифрового фильтра, обрабаты­вающего сигнал в соответствии с алгоритмом





+ ... + Ьмх(пТ—МТ).

На схеме обозначены: z~l - - регистры сдвига, осуществляющие сдвиг цифровой последовательности на один такт Т\ bi — умно­жители на числа be, Е - сумматор.

Нерекурсивный ЦФ может быть практически осуществлен, если заданная импульсная характеристика содержит сравнитель­но небольшое число членов, т. е. быстро убывает с ростом п. В противном случае для получения заданной импульсной характе­ристики потребуется очень много ячеек памяти.

Рекурсивный цифровой фильтр. Рекурсивный ЦФ характери­зуется тем, что выходное число у(пТ) зависит от ряда поступив­ших на вход чисел и от предшествующих выходных чисел



(1)


Запишем алгоритм (1) ЦФ JV-ro порядка в виде разност­ного уравнения соответствующего порядка

y(nT)-aly(nT—T) — ...—aNy(nT-NT) = bQx(nT) + ...+ Ьмх(пТ—МТ),

которое эквивалентно линейному дифференциальному уравнению Лт-го порядка для аналогового фильтра.

Правая часть уравнения (10.65) описывает нерекурсивную, ле­вая - - рекурсивную части ЦФ. Коэффициенты ао, а\, ..., un, b\> &2, ..., Ьм определяются значениями элементов схемы фильтра.

Структурная схема рекурсивного фильтра, осуществляющего обработку в соответствии с алгоритмом (1), изображена на рис. 2.













Определим системную функцию Н (z) цифрового фильтра. Для этого применим к уравнению (10.65) г-преобразование и теорему смещения





(3)
Выражение (3) связывает системную функцию фильтра со зна­чениями его элементов. По известной (заданной) системной функ­ции Н (z) может быть определена структура .и значения коэффи­циентов ЦФ.

Основным достоинством рекурсивных фильтров является со­кращение числа элементов структурной схемы по сравне­нию с числом элементов в не­рекурсивных фильтрах. Благо­даря этому они позволяют реа­лизовать медленно.затухающие х(пт-т) импульсные характеристики.

Недостатком рекурсивных фильтров являются большие ошибки округления, нежели в нерекурсивных фильтрах.

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать любые алго­ритмы типа (1), т, е. получить весьма разнообразные частот­ные характеристики при соблюдении следующих условий:

а) все полюса системной функции Н (z) должны лежать на
2-плоскости внутри окружности радиуса ]z| = l, т. е. система дол­
жна быть устойчивой;





Рис. 4

б) ошибки округления не должны нарастать в такой степени,
чтобы нарушать нормальную работу фильтра

рекурсивный цифровой фильтр. Канонический рекурсивный ЦФ является результатом модификации структурной' схемы на рис. 2, реализующей фильтр с системной функцией вида (3).



Алгоритм определения M(z) no X(z) осуществляется рекурсивным фильтром N-ro порядка, а алгоритм опреде­ления Y-(z) по найденному М (z) —нерекурсивным фильт­ром М-го порядка. Из рис. 4 видно, что часть бло­ков задержки можно объеди­нить.



ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

  1. Гонаревский И. С. «Радиотехнические цепи и сигналы» , Москва, 1986 г.

  2. Баскаков И. С. «Радиотехнические цепи и сигналы» , Москва , 1988 г.

  3. Самойло К. А. «Радиотехнические цепи и сигналы» , изд. «Энергия» , 1975 г.