Определения, теоремы (1 семестр) Глава Числовые множества. Числовые последовательности

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ (1 СЕМЕСТР)

Глава 1. Числовые множества. Числовые последовательности.

Определение множества.
Определение конечного множества.
Определение Бесконечного множества.
Определение подмножества.
Определение объединения множеств.
Определение пересечения множеств.
Определение вычитания (разности) множеств.
Определение дополнения.
Определение симметрической разности.
Определение декартова произведения.
Определение функции (отображения).
Определение эквивалентности множеств.
Виды отображений (инъекция, сюръекция, биекция).
Определение счетного множества.
Теорема Кантора.
Определение мощности множеств.
Определение ограниченного сверху множества.
Определение ограниченного снизу множества.
Определение ограниченного множества.
Определение точной верхней грани множества.
Определение точной нижней грани множества.
Теорема о существовании точных граней ограниченного множества.
Определение числовой последовательности.
Определение предела числовой последовательности.
Определение сходящейся числовой последовательности.
Определение расходящейся числовой последовательности.
Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Теорема о единственности предела числовой последовательности.
Определение ограниченной сверху числовой последовательности.
Определение ограниченной снизу числовой последовательности.
Определение ограниченной числовой последовательности.
Определение неограниченной числовой последовательности.
Определение бесконечно малой числовой последовательности.
Определение бесконечно большой числовой последовательности.
Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
Лемма (теорема) о связи бесконечно малой и бесконечно большой числовых последовательностей.
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела числовой последовательности.
Теорема: арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.
Определение неубывающей числовой последовательности.
Определение невозрастающей числовой последовательности.
Определение монотонной числовой последовательности.
Утверждение об ограниченности неубывающей (невозрастающей) числовой последовательности.
Теорема существования предела монотонной ограниченной числовой последовательности.
Лемма Кантора.
Число е.
Определение частичного предела числовой последовательности.
Определение предельной точки.
Определение нижнего предела числовой последовательности.
Определение верхнего предела числовой последовательности.

Глава 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

Определение функции одной переменной.
Определение равных функций.
Определение предела функции по Коши.
Определение предела функции по Гейне.
Теорема о единственности предела функции.
Теорема об ограниченности функции.
Теорема о предельном переходе в неравенстве.
Теорема о двустороннем ограничении.
Определение предела функции на бесконечности.
Определения бесконечно малой функции.
Свойства бесконечно малых функций (теоремы).
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела функции.
теорема об арифметических операциях над пределами.
Определение бесконечно большой функции.
Определения односторонних пределов функции в точке.
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования предела функции (связь с односторонними пределами).
Определение непрерывной функции.
Коши.
Определение непрерывной функции по Гейне.
Теорема о локальных свойствах непрерывности функции.
Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Теорема (операции над непрерывными функциями).
Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.
Теорема о непрерывности сложной функции.
Определение точки разрыва функции.
Классификация точек разрыва функции.
Определение непрерывности функции на интервале.
Определение непрерывности функции на отрезке.
Теорема Больцано-Коши (о нуле функции).
Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
1-я теорема Вейерштрасса.
Определение точной верхней грани функции.
Определение точной нижней грани функции.
2-я теорема Вейерштрасса.
Определение наибольшего значения непрерывной функции.
Определение наименьшего значения непрерывной функции.
Теорема – аналог 2-й теоремы Вейерштрасса.
Определение равномерной непрерывности.
Утверждение о связи непрерывности и равномерной непрерывности.
Теорема Кантора.
Определения о порядке бесконечно малых.
Определение эквивалентных бесконечно малых.
Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными в пределах.
Теорема о необходимых и достаточных условиях эквивалентности.
Символы Ландау.

Глава 3. Производные и дифференциалы функции одной переменной (ф.о.п.).

Определение производной ф.о.п. в точке.
Определение производной ф.о.п. на интервале.
Определение касательной к графику ф.о.п. (к кривой) в точке.
Определение нормали к кривой в точке.
Определение правой производной для ф.о.п..
Определение левой производной для ф.о.п..
Определение бесконечной производной. Геометрический смысл.
Определение гладкой функции.
Определение дифференцируемости ф.о.п.
Теорема о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости ф.о.п.
Теорема о непрерывности дифференцируемой ф.о.п.
Правила дифференцирование.
Теорема существования обратной функции.
Теорема дифференцируемости обратной функции.
Определение дифференциала.
Инвариантность формы дифференциала.
Определение производных высшего порядка.
Определение дифференциалов высшего порядка.

Глава 4. Дифференциальные теоремы. Формула Тейлора.

Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).
Теорема Коши.
Правило Лопиталя (теорема).
Формула Тейлора для многочлена.
Формула Тейлора для ф.о.п.

Глава 5. Исследование функции одной переменной.

Определение неубывающей ф.о.п.
Определение невозрастающей ф.о.п.
Определение убывающей ф.о.п.
Определение возрастающей ф.о.п.
Определение монотонной ф.о.п.
Определение строго монотонной ф.о.п.
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования неубывающей функции.
Теорема о необходимых и достаточных условиях существования невозрастающей функции.
Утверждение о достаточном условии возрастания функции.
Утверждение о достаточном условии убывания функции.
Определение возрастающей в точке функции.
Определение убывающей в точке функции.
Теорема о достаточных условиях возрастания функции в точке.
Теорема о достаточных условиях убывания функции в точке.
Определение точки локального максимума функции.
Определение точки локального минимума функции.
Определение локального максимума функции.
Определение локального минимума функции.
Определение локального экстремума функции.
Теорема о необходимых условиях экстремума функции.
Определение критической точки ф.о.п.
Определение стационарной точки ф.о.п.
Теорема о достаточных условиях экстремума ф.о.п.
Определение интервала возрастания.
Определение интервала возрастания.
Теорема о достаточных условиях экстремума к раз дифференцируемой функции.
Определение выпуклости вниз графика ф.о.п..
Определение выпуклости вверх графика ф.о.п..
Определение точки перегиба графика ф.о.п..
Теорема о необходимых условиях перегиба.
Теорема о достаточных условиях перегиба.
Определение асимптоты.
Определение вертикальной асимптоты к кривой.
Определение наклонной асимптоты к кривой. Теорема существования наклонной асимптоты.
Определение горизонтальной асимптоты к кривой.