О роли спецкурсов в математической подготовке инженера-педагога - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Программа дисциплины Математика Направление подготовки: Государственное... 1 74.05kb.
Должностная инструкция старшего инженера-технолога отдела главного... 1 42.44kb.
Должностная инструкция инженера-системотехника 1 49.75kb.
Приказ № от 20 г. Рабочая программа педагога гончаровой Ольги Валентиновны... 1 148kb.
Инструкция Инженера-энергетика I. Общие положения Инженер-энергетик... 1 55.79kb.
Инструкция Инженера-технолога I. Общие положения Инженер-технолог... 1 70.66kb.
Профессиональные качества социального педагога 1 14.58kb.
Психокоррекционная работа по развитию самовосприятия детей дошкольного... 1 127.28kb.
Ошибки, допускаемые при подготовке и представлении технических планов... 1 206.95kb.
Ростовцева О. К. П. С. Ростовцев: жизненный и творческий путь 1 25.98kb.
Основные понятия математической логики 1 64.84kb.
Лекции 1 лекция. Множества, операции над ними. Промежутки числовой оси 1 65.61kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

О роли спецкурсов в математической подготовке инженера-педагога - страница №1/1

УДК 512.5
 Недорезов С.С.

О РОЛИ СПЕЦКУРСОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ ИНЖЕНЕРА-ПЕДАГОГА

Одним из основных элементов фундаментальной подготовки инженеров и инженеров-педагогов является математическая подготовка. Учебные программы для инженеров-педагогов содержат дополнительные (по сравнению с инженерами) дисциплины, связанные с педагогической частью их инженерно-педагогической подготовки. Это приводит к необходимости уменьшения количества часов, отводимых на высшую математику (как, впрочем, и на другие дисциплины фундаментального цикла). В то же время требования к уровню математической подготовки инженеров-педагогов, согласно государственной системе стандартов высшего образования, остаются столь же высокими, что и для инженеров.

В рамках выделенного на курс высшей математики времени приходится значительную часть материала выносить на самостоятельную работу студентов, что явно неприемлемо. Об этом свидетельствует многолетний опыт работы с заочниками. Возможным решением данной проблемы является введение спецкурсов по некоторым разделам высшей математики в зависимости от потребностей специальности, определяемых выпускающей кафедрой.

В данной статье [1] предлагается спецкурс «Асимптотические методы» для инженеров-педагогов технических специальностей. Наличие вычислительной техники и математических программ, таких как MathCAD 2000, Maple 8 и др., не исключает эффективность применения асимптотических методов и оценок. Имеющаяся литература [2-6] по данной тематике, в основном, рассчитана на математически хорошо подготовленного читателя. Поэтому самостоятельное изучение асимптотических методов может вызвать определенные трудности.

Изложение асимптотических методов основывается на базе стандартной программы высшей математики для технических вузов и использует такие ее разделы, как пределы, производные, интегралы, функциональные ряды, функции комплексного переменного и т.д. Это приводит к необходимости повторения и углубленного изучения указанных разделов высшей математики и, соответственно, к более полному их усвоению. Таким образом, кроме изучения асимптотических методов учитываются и проблемы непрерывной математической подготовки студентов.

В статье наряду с обсуждением необходимости изучения асимптотических методов для полноценной математической подготовки инженеров-педагогов рассматривается методика применения асимптотических методов и оценок.

1. При решении многих задач прикладного характера возникает необходимость применения асимптотических методов. Например, нужно решить относительно уравнение

, (1) где - параметр. Данное уравнение можно решить численно (с помощью ПЭВМ) для каждого фиксированного значения параметра и, в результате, получить таблицу значений c заданной точностью. Но, может оказаться, что при это уравнение с той же точностью можно решить с использованием асимптотических методов и получить явное выражение для функции .

Другой пример, асимптотическое вычисление интеграла

, (2)

содержащего большой параметр . Здесь функции и могут быть как вещественными, так и комплексными. И в этом случае возможно получение явной зависимости интеграла (2) от параметра , что предпочтительнее численной таблицы значений данного интеграла.

Применение асимптотических методов часто приводит к использованию расходящихся бесконечных рядов, при этом вычисляемая величина в некотором смысле является суммой такого ряда. Рассматриваемая функция разлагается в функциональный ряд, причем приближение, даваемое несколькими первыми членами ряда, тем лучше, чем ближе независимая переменная к некоторому предельному значению . Во многих случаях члены ряда сначала быстро убывают (тем быстрее, чем ближе независимая переменная к предельному значению), а затем члены ряда начинают возрастать. Такие ряды принято называть (согласно Пуанкаре) асимптотическими рядами.

Примером асимптотического ряда является ряд



, (3)

впервые исследованный Эйлером (1754). При всех данный ряд расходится. Однако при достаточно малых значениях члены ряда сначала весьма быстро убывают и можно найти приближенное значение .

Теория асимптотических рядов ведет свое начало от Стилтьеса (1886) и Пуанкаре (1886). Эту теорию можно разбить на две части. В первой из них изучаются такие вопросы, как «суммы» асимптотических рядов («асимптотические пределы», «асимптотическая сходимость»), во второй – операции над асимптотическими рядами (алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование, подстановка асимптотических выражений в асимптотические и сходящиеся ряды).

2. Методику анализа асимптотических рядов и получения асимптотических оценок рассмотрим на примере ряда (3). Преобразуем данный ряд, используя эйлеров интеграл

. (4)

Из (3) и (4) имеем



. (5)

Частичная сумма ряда (5) принимает вид



= . (6)

Сумма в правой части равенства (6) является суммой геометрической прогрессии



. (7)

Из (6) и (7) получаем



() . (8)

Функцию () (9)

можно определить формулой

() (). (10)

Здесь, соответственно,



, (11)

() () (12)

частичная сумма и остаточный член ряда (3). Если >, то и, следовательно, , т.е. меньше первого отбрасываемого члена ряда (3). Остаточный член () стремится к нулю при и, в то же время, не стремится к нулю при .

Пример. Найти минимальную погрешность аппроксимации функции () частичной суммой ряда (3) при = 0,1 в зависимости от .

Результаты вычислений сводим в таблицу. Из таблицы следует, что при = 9 погрешность минимальна, далее с увеличением она возрастает. С точностью 0,000177 в интервале 0 0,1 имеем



(). (13)

Таблица


Значение погрешности аппроксимация функции ()




0

1

2

3

4

5

6



0,1

0,02

0,006

0,002

0,001

0,0007

0,0005



-0,0844

0,0156

-0,0044

0,0016

-0,00077

0,00043

-0,00029






77

8

9

10

11

12



0,0004

0,00036

0,00036

0,00040

0,00048

0,00062



0,00022

-0,000186

0,000177

-0,000186

0,000213

-0,000266

Таким образом, с помощью асимптотического ряда (3) можно исследовать функцию (), определяемую интегралом (9).

3. Существует ряд методов получения асимптотических разложений функций, заданных определенными интегралами. Наиболее важные из них: интегрирование по частям, метод Лапласа, метод стационарной фазы, теория вычетов и метод перевала.

Асимптотическое поведение интегралов определяется поведением подынтегральных функций вблизи некоторых точек. Такие точки принято называть критическими. Методы нахождения асимптотических разложений, обусловленных критическими точками, рассмотрим на примере интегралов вида (2).

Если имеет максимум в точке и при , то при больших значениях модуль подынтегральной функции имеет резко выраженный максимум в точке, близкой к . Поэтому поведение интеграла (2) при больших зависит в основном от значений функций и в окрестности точки . В этом случае асимптотику интеграла (2) можно получить, используя разложения функций и в окрестности точки . Это является центральной идеей метода Лапласа.

В результате для асимптотики интеграла (2) при имеем



, (14)

где точка максимума функции ( ).

В качестве приложения формулы (14) рассмотрим асимптотическое поведение гамма-функции

. (15)

Сделав замену переменной интегрирования с использованием тождества , приводим интеграл (15) к виду



. (16)

Сравнивая (16) с (14), имеем , , ; ; Отсюда и из (14) получаем асимптотическое разложение гамма-функции


, . (17)
Учитывая , из (17) имеем формулу Стирлинга

, . (18)
Область применения асимптотических методов весьма широка. Она далеко не исчерпывается асимптотическим вычислением интегралов. Наряду с решением уравнений (1) асимптотические разложения используются при решении дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр. Метод решения таких уравнений называется методом ВКБ или квазиклассическим приближением. Основным толчком к созданию асимптотической теории дифференциальных уравнений послужило развитие квантовой механики. Асимптотические методы существенно используются в теории вероятностей математической статистике.

Многие технические задачи имеют асимптотическую природу и могут быть решены с помощью асимптотических методов. Поэтому весьма желательно дать будущим инженерам-педагогам (а также, естественно, и инженерам) возможность овладения асимптотическими методами и техникой асимптотических оценок.


Литература
1. Недорезов С.С. Асимптотические методы в курсе «Специальные разделы математики». Збірник наукових праць, 37 науково-практична конференція, секція 8, фізико-математичні науки. - Харків: УІПА, 2004. - с.23- 25.

2. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе.ИЛ, М., 1961.248с.

3. Эрдейи А. Асимптотические разложения.Физматгиз, М., 1962. 128с.

4. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции.Физматгиз, М.,1962.200с.

5. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). Мир, М., 1965.238с.

6. Копсон Э. Асимптотические разложения. Мир, М., 1966.160с.


Недорезов С.С.

О роли спецкурсов в математической подготовке инженера-педагога


В статье наряду с обсуждением необходимости введения спецкурсов для полноценной математической подготовки инженера-педагога рассматривается методика применения асимптотических методов и оценок.
Недорезов С.С.

Про роль спецкурсів в математичній підготовці інженера-педагога


В статті разом з обговоренням необхідності введення спецкурсів для повноцінної математичної підготовки інженера-педагога розглядається методика застосування асимптотических методів і оцінок.
Nedorezov S.S.

About the Role of the Special Courses in Mathematical Preparation of Engineer-Pedagogue

In the article along with the discussion of necessity of introduction of the special courses for valuable mathematical preparation of engineer-pedagogue the method of application of asymptotic methods and estimations is considered.