страница 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Похожие работы
|
Николай Золотухин «Сумма к-мерных граней n мерного куба (к., n )» - страница №1/1
Николай Золотухин «Сумма к-мерных граней n-мерного куба (к=0,1,...,n)» Вначале введём некоторые понятия: вместо слова «точка» мы будем говорить «0-мерный куб», вместо слова «отрезок» - «1-мерный куб», вместо слова «квадрат» - «двумерный куб» и т д., а рассматривать мы будем произвольный n-мерный куб. Далее, вершину n-мерного куба будем называть 0-мерной гранью, ребро n-мерного куба - одномерной гранью и т. д. Сам n-мерный куб будет называться n-мерной гранью. Таким образом, у отрезка, или, что то же самое, одномерного куба две нульмерные грани и одна одномерная грань, у обычного трехмерного куба 8 нульмерных граней (вершин), 12 одномерных граней (ребер), 6 двумерных граней и 1 трехмерная грань - он сам. Поставим задачу: дан n-мерный куб. Определим количество k-мерных граней у этого куба, где k изменяется от 0 до n и найдём их сумму. Будет получен интересный результат. Всякая вершина n-мерного куба имеет свои координаты (a1, a2, a3 ... an), где a1, a2, a3, ... an это 0 или 1. 0 и 1 мы взяли для удобства, также можно взять любые два других числа. Задачу мы будем решать по индукции: (0) (1) 1-мерный куб имеет две 0-мерные грани и одну 1-мерную грань. 3. 2-мерный куб имеет четыре 0-мерные грани, четыре 1-мерных, одну 2-мерную. Причём, если точки лежат на 1-мерной грани, у них совпадает 1 координата. (0;1) (1;1) Первый пункт, который нам надо выяснить: сколько 0-мерных граней у n-мерного куба. Любая вершина имеет свои координаты - a1,a2,a3,a4,...,an. На каждое место можно подставить 0 или 1 (всего 2 случая на место), поскольку координат n, то случаев 2n. Рассмотрим количество 1-мерных граней у n-мерного куба (n-1 общая координата). A(a1,a2,a3,...,an) B(a1,a2,a3,...,bn) В подчеркнутом столбце находятся несовпадающие координаты, но он может быть не только последним (n-ым), но и (n-1), (n-2),...,1(всего n случаев). Рёбер - У 2-мерной грани n-2 общие координаты. Сколькими способами можно выбрать 2 несовпадающие координаты? - случаями. Мы получаем формулу: . У 3-мерной грани n-3 общие координаты. Формула - . Мы пришли к формуле, по которой можно рассчитать количество k-мерных граней у n-мерного куба: . Следуя этой формуле, мы составим таблицу, где запишем количество 0,1,2,3,4,5,6,7,8-мерных граней у 0,1,2,3,4,5,6,7,8-мерных кубов.
Главный вывод: сумма k-мерных граней n-мерного куба равна 3n |
|