Методические указания Волгоград 2009 (07)

федеральное агентство по образованию

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Волгоградский государственный технический университет

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

волгоградского технического университета

КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Ряды и их приложения

Методические указания

Волгоград

2009

УДК 517.5(07)

Р98
Ряды и их приложения: методические указания / Сост. И. Э. Симонова, В. Ф. Казак, Б. В. Симонов; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2009. – 26 с.

Содержат 27 вариантов заданий к семестровой работе по теме «Ряды и их приложения».

Приведены образцы решения основных типов задач, и даны указания по их выполнению. Показана возможность использования общематематического пакета «Mathcad» при решении этих задач.

Предназначены для студентов ВПО 1–2 курсов технических и экономических специальностей.
Рецензент: С. В. Мягкова

Ил. 6. Табл. 3. Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета.

 Волгоградский

государственный

технический

университет, 2009

ВВЕДЕНИЕ

Теория рядов имеет большое теоретическое и практическое значение. Она дает возможность представления широких классов функций в виде сумм рядов, составленных из степенных, тригонометрических и ряда других специальных функций. С 18 века регулярное применение рядов Тейлора стало мощным аппаратом исследования функций, приближенного вычисления значений функций и интегралов, приближенного решения дифференциальных уравнений.

Аппарат рядов Фурье наиболее широкое применение находит в задачах функционального анализа и в задачах математической физики.

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов.

2. Необходимый признак сходимости, его недостаточность.

3. Сравнение рядов с положительными членами.

4. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный).

5. Интегральный признак сходимости Коши.

6. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Ряды с комплексными членами.

8. Функциональный ряд, его область сходимости.

9. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.

10. Свойства степенных рядов (непрерывность, дифференцирование, интегрирование).

11. Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.

12. Разложение в ряд Тейлора функций е^z, sin z, cos z, ln (1+x), (1+x)^m, arctg x.

13. Ряд Фурье функции с периодом 2l. Теорема о виде его коэффициентов.

14. Теорема Дирихле.

15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд по синусам и ряд по косинусам функций, заданных на отрезке [0, l].
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд с комплексными членами

1.1.	1.10.	1.19.
1.2.	1.11.	1.20.
1.3.	1.12.	1.21.
1.4.	1.13.	1.22.
1.5.	1.14.	1.23.
1.6.	1.15.	1.24.
1.7.	1.16.	1.25.
1.8.	1.17.	1.26.
1.9.	1.18.	1.27.

Задача № 2. Найти область сходимости функционального ряда.

2.1.	2.10.	2.19.
2.2.	2.11.	2.20.
2.3.	2.12.	2.21.
2.4.	2.13.	2.22.
2.5.	2.14.	2.23.
2.6.	2.15.	2.24.
2.7.	2.16.	2.25.
2.8.	2.17.	2.26.
2.9.	2.18.	2.27.

Задача № 3. Найти интервал и область сходимости степенного ряда.

3.1.	3.10.	3.19.
3.2.	3.11.	3.20.
3.3.	3.12.	3.21.
3.4.	3.13.	3.22.
3.5.	3.14.	3.23.
3.6.	3.15.	3.24.
3.7.	3.16.	3.25.
3.8.	3.17.	3.26.
3.9.	3.18.	3.27.

Задача № 4. Вычислить приближенное значение величины с точностью до 0,01.

4.1.	sin 10º	4.10.		4.19.	arctg 0.3
4.2.	ln 1.2	4.11.	e^-0.15	4.20.
4.3.	arctg 0.1	4.12.		4.21.	ln 1.9
4.4.		4.13.	ln 1.3	4.22.
4.5.	sin 18º	4.14.	arctg 0.4	4.23.	e^-0.3
4.6.	e^-0,3	4.15.	e^-0.2	4.24.	ln 1.3
4.7.		4.16.	arctg 0.2	4.25.	cos 18º
4.8.	ln 1.1	4.17.	sin 18º	4.26.	ln 1.8
4.9.	cos 10º	4.18.	ln 1.4	4.27.	e^-0.4

Задача № 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с точностью до 0.001.

5.1.	5.10.	5.19.
5.2.	5.11.	5.20.
5.3.	5.12.	5.21.
5.4.	5.13.	5.22.
5.5.	5.14.	5.23.
5.6.	5.15.	5.24.
5.7.	5.16.	5.25.
5.8.	5.17.	5.26.
5.9.	5.18.	5.27.

Задача № 6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

6.1.	;	6.15.	;
6.2.	;	6.16.	;
6.3.	;	6.17.	;
6.4.	;	6.18.	;
6.5.	;	6.19.	;
6.6.	;	6.20.	;
6.7.	;	6.21.	; ;
6.8.	; ,	6.22.	;
6.9.	;	6.23.	; ;
6.10.	; ;	6.24.	; ;
6.11.	;	6.25.	;
6.12.	; ;	6.26.	;
6.13.	;	6.27.	;
6.14.	; ;

Задача № 7. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном промежутке. В задачах 14–20 разложить f(x) по синусам кратных дуг, в задачах 21–27 – по косинусам. Построить график данной функции и суммы ряда.

7.1.	,	7.15.
7.2.	,	7.16.	,
7.3.	,	7.17.
7.4.	,	7.18.
7.5.		7.19.	,
7.6.	,	7.20.
7.7.	,	7.21.	,
7.8.	,	7.22.
7.9.	,	7.23.	,
7.10.		7.24.
7.11.		7.25.
7.12.	,	7.26.	,
7.13.	,	7.27.
7.14.	,

3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

3.1. Числовые ряды

Ряды широко используются в прикладных задачах. Но сначала для числового ряда надо выяснить, сходится ли он, а для функционального – при каких значениях аргумента он сходится.

Признаки сходимости числовых рядов приведены в таблице 1. Признаки 2-5 относятся к знакоположительным рядам. Для произвольного ряда ∑ u_n их можно применить к ряду из модулей ∑ | u_n|.

В примерах 1-3 требуется исследовать ряды на сходимость.

Пример 1.

К этому ряду удобно применить радикальный признак Коши.

. Значит, ряд расходится.

Пример 2. . Для исследования применим интегральный признак Коши. Заменим в выражении общего члена индекс n на аргумент x, т.е. запишем функцию , которая убывает и непрерывна для

Вычислим

т.е. интеграл расходится. Следовательно, и ряд расходится.

Проведем исследование этого ряда в ППП Mathcad. Определим ряд и попробуем найти его сумму. В меню Simbolic предусмотрено символьное вычисление суммы ряда (знак символьного равенства ), пределов и т. д.

Вывод: ряд расходится. Об этом же свидетельствует поведение частичных сумм ряда . Эти суммы неограниченно возрастают, что подтверждает и график.(рис.1)

Рис.1. Поведение частичных сумм S(n)

Числовые ряды

Таблица 1

Название признака	Метод исследования	Примечание
Необходимый признак	(вопрос о сходимости не решен)	Если , то ряд расходится.
Признак сравнения (1) (2) 0  a_n  b_n	Возможные варианты: 1. Ряд (1) сходится ? 2. Ряд (2) сходится ряд (1) сходится. 3. Ряд (2) сходится ? 4. Ряд (1) расходится ряд (2) расходится.	Ряды, обычно используемые для сравнения: Геометрический ряд а) сходится при 0 б) расходится при Ряд Дирихле а) сходится при p>1 б) расходится при
Признак Даламбера	а) pб) p>1 – ряд расходится в) p=1 – вопрос о сходимости не решен.	Признак применяется, в основном, если имеет: 1).показательный вид: содержит , , … 2) в формуле общего члена присутствует факториал. 3.в записи формулы общего члена содержится n множителей.
Радикальный признак Коши	а) p – ряд сходится б) 0 p – ряд расходится в) p=1 – вопрос о сходимости не решен.	Признак применяется, если a_n имеет вид: , ,…

Окончание табл. 1

Название признака	Метод исследования	Примечание
Интегральный признак Коши убывает на	1. сходится ряд расходится. 2. расходится ряд расходится.	Применяется, если известен
Признак Лейбница	Если I) … , то ряд сходится	Оценка остатка знакочередующегося ряда:
Исследовать на сходимость ряд (1) (2)	Если ряд (2) сходится, то ряд (1) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (2) расходится, а (1) – сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

1>1>следующая страница >>