Методические указания на выполнение индивидуального задания Хабаровск 2000 (075. 8) Ббк в 161. 3 Г 701 Рецензент - umotnas.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Методические указания по решению типовых задач, а также задания на... 3 1082.21kb.
Методические указания, контрольные задания и типовые примеры по теоретической... 8 994.88kb.
Методические указания к самостоятельной работе Красноярск сфу 2011... 1 278.45kb.
Методические указания Новосибирск 2005 ю (075. 6) 4 587.7kb.
Методические указания к практическим занятиям Красноярск сфу 2013... 3 481.55kb.
2638 Задания к контрольной работе по дисциплине «теория механизмов... 1 389.35kb.
Методические указания и задания на выполнение расчётно-графической... 1 118.4kb.
Методические указания по изучению дисциплины и задания для выполнения... 3 1086.26kb.
Методические указания разработаны на основании гос впо 653500 «Строительство» 2 404.4kb.
Методические указания и контрольные задания для студентов факультета... 1 242.1kb.
Методические указания по самостоятельному изучению дисциплины, задания... 3 1199.85kb.
Числовые ряды 1 28.85kb.
Викторина для любознательных: «Занимательная биология» 1 9.92kb.

Методические указания на выполнение индивидуального задания Хабаровск 2000 (075. - страница №1/2

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Дальневосточный государственный университет путей сообщения


Кафедра "Высшая математика"
М.А. Городилова

Г.В. Костина




ряды

Методические указания на выполнение

индивидуального задания

Хабаровск

2000

УДК 517.52 (075.8)



ББК В 161.3

Г 701


Рецензент:

Доцент кафедры «Высшая математика» ДВГУПС,

кандидат физико-математических наук

Э.Д. Кононенко




Г 701





Городилова М.А., Костина Г.В.

Ряды. Методические указания на выполнение индивидуального задания. – Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2000. – 35 с.


В методических указаниях изложены общие теоретические положе­ния по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры из всех разделов этой темы. Даны варианты индивидуальных заданий.

Указания предназначены для студентов всех специальностей железнодорожного вуза.

Рис. – 1, список лит. – 3 назв.



УДК 517.52 (075.8)

ББК В 161.3

© Издательство Дальневосточного государственного

университета путей сообщения (ДВГУПС), 1999

ВВЕДЕНИЕ
Методические указания содержат общие теоретические положения по теме "Ряды". Подробно рассмотрены примеры исследования числовых и степенных рядов, их применение к приближенным вычислениям и решению дифференциальных уравнений.

Указания содержат варианты индивидуальных заданий для студентов ДВГУПС дневной формы обучения.



1. РЯД И ЕГО СУММА
Числовым рядом называется выражение вида:

a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = , (1)

где a1, a2, a3, ... an ... образуют бесконечную числовую последовательность; an – общий член ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается Sn .

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an.
Если существует конечный предел S =, то ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда.

Ряд называется расходящимся, если не существует (в частности, если =).

Особое значение имеет задача об исследовании ряда на сходимость.
Теорема (необходимый признак сходимости ряда)
Если ряд (1) сходится, то предел его общего члена равен нулю:

= 0

Отсюда вытекает, что если 0, то ряд расходится. Если же = 0, то о сходимости ряда еще ничего сказать нельзя.


Пример 1. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о сходимости ряда?
а)

= = = 0

значит данный ряд расходится.


б)

= = = 0

т.е. о сходимости данного ряда еще ничего сказать нельзя.


2. Сходимость рядов с положительными членами
Если необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда (1), следующие достаточные признаки позволяют судить об этом.

Первый признак сравнения


Пусть даны ряды и с положительными членами, причем, начиная с некоторого номера n . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда ; из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Сравнение исследуемых рядов производится обычно с некоторыми стандартными рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при).

б) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).


Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Сравнивая общий член данного ряда с общим членом расходящегося гармонического ряда , убеждаемся что при всех n. Следовательно, исследуемый ряд расходится.



Второй признак сравнения. Если сходимость ряда известна и существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же =0, то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд . Сравним данный ряд со сходящимся рядом :

:==,

т.е. ряд тоже сходится.



Признак Даламбера. Если существует предел , то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. При = 1 ряд может сходиться или расходиться.
Пример 4. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера.

а)



; следовательно, ряд сходится.

б)



= = 3>1; значит ряд расходится.
Признак Коши (радикальный).

Если существует предел =, то при < 1 ряд сходится, а при > 1 – расходится. При =1 ряд может сходиться или расходиться.

Замечание. Если применение одного из признаков (Даламбера или Коши) не дает ответа о сходимости ряда, то применение другого признака тоже бесполезно.

Пример 5. Исследовать на сходимость с помощью признака Коши

а)



= = = 4>1, ряд расходится;

б)



= == <1.

Значит ряд сходится.


Интегральный признак Коши.

Пусть общий член ряда (1) an = f (n). Если непрерывная положительная функция f(x), принимающая в точках x=n (n= 1,2,3, ...) значения f (n), монотонно убывает на промежутке 1, то ряд (1) сходится, если сходится несобственный интеграл .



Пример 6. С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряды.

а)

Так как f (n)=, то f (x) = . Данная функция непрерывна на промежутке 1 и монотонно убывает на нем. Вычислим ===

Интеграл расходится, следовательно ряд тоже расходится.

б) , f (x) =

==ln= = ln 3

Несобственный интеграл сходится, значит ряд тоже сходится.



3. Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида:
a1 - a2 + a3 - a4 + ... + an (-1)n + ... (2)
где a1, a2... – положительные числа.

Теорема Лейбница. Если модуль n-го члена знакочередующегося ряда с возрастанием n монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Ряд (2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда.

Ряд (2) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей расходится. Исследование сходимости знакочередующихся рядов удобно начинать с исследований абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием абсолютной сходимости ряда.
Пример 7. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды

а) .

Составим ряд из модулей членов данного ряда . Он сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем = 2 > 1. Следовательно, сходится и данный ряд, причем абсолютно.

б) .

Ряд составленный из модулей членов данного ряда расходится по признаку Даламбера, т.к.: = 5.

Условия теоремы Лейбница для данного знакочередующегося ряда не выполняются, т.е. с возрастанием n модуль n-го члена ряда не стремится к нулю (= ). Отсюда следует, что данный знакочередующийся ряд расходящийся.




4. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +... или

= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... , если x0 = 0.

Областью сходимости всякого степенного ряда является интервал числовой оси, симметричный относительно точки x = x0, который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Половина длины интервала сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда R.

В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R=0, то степенной ряд сходится лишь при


x = x0, если же R =, то ряд сходится на всей числовой оси Ox.

Для определения области сходимости степенного ряда, обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения x, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.



Пример 8. Определить интервал сходимости степенного ряда

а)

По известному члену ряда un , заменяя в нем n через n+1, находим следующий за ним член un+1

un = , =

Далее, используя признак Даламбера, ищем предел

.

И определяем, при каких значениях x этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство



< 1; |x| < 5; -5 < x < 5.

Согласно признаку Даламбера, при любом значении x из найденного интервала данный ряд сходится, а при |x| > 5 расходится.

Граничные точки x = этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо. При x = -5 получим числовой знакочередующейся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница.

При x=5 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится (по интегральному признаку сходимости).

Следовательно, интервалом сходимости ряда является полуоткрытый интервал или -5£x<5 или

б)

Здесь un = , un+1 =

|x+4|2 < 1 |x+4| < 1 -1< x+4 < 1

-5< x < -3

Границы найденного интервала исследуем особо.

При x=-5 получим ряд с положительным членами

Исследуя его по интегральному признаку , выясняем, что он сходится.

При x=-3 получаем такой же ряд, следовательно интервал сходимости есть -5в)

un = (3x-4)n-1 , un+1 = (3x-4)n


|3x-4|<1; -1<3x-4<1; 3<3x<5;

Исследуем концы интервала:

x=1, 1-1+1-1+...,

x= , 1+1+1+...

Оба ряда расходятся, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости un = 0. Следовательно, интервал сходимости 1 ;

г)

,

Следовательно, интервал сходимости есть , т.е. вся числовая ось.


д)



>1 при любом x, кроме x=0.

Ряд сходится при x=0.


5. Приложения степенных рядов

Рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена (x-) вида



При =0 ряд Тейлора есть степенной ряд относительно переменной х:

который называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать для любой функции f(x), которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд представляет данную функцию f(x) только тогда, когда остаточный член ряда будет стремиться к нулю.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:












Пример 9. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложения элементарных функций.

а)





Ряд сходится к данной функции при всех значениях х.

б) sin2x

sin2x =





Ряд сходится при всех значениях х.

в) ln(3+x)

Преобразуем аргумент функции.

ln(3+x)=.

Воспользуемся разложением функции ln(1+t), полагая t=x/3

ln(3+x)=ln3 +

Так как разложение ln(1+t) имеет место при |t|<1, то данное разложение будет иметь место при |x/3|<1, то есть |x|<3


Пример 10. Пользуясь соответствующими рядами, вычислить с точностью до 0,0001.

а)



=

Применим биномиальный ряд, полагая х=1/16, m=1/4:



Чтобы определить, сколько взять первых членов этого знакочередующегося ряда для вычисления с точностью до 0,0001, вычислим



=1;

Ошибка искомого приближенного значения корня будет меньше 0,0001.Значит



 2(1+0,01562-0,00037) 2,0305.

б) .


следующая страница >>